求导积分与微分方程数值解第1次课

内容：本讲针对一元微积分学补充极限、导数、积分相关运算；介绍Funtool符号计算器目的：学习极限/导数/积分相关函数的指令实现，为学习微分方程数值解作准备要求：能够解决高等数学中的极限/导数/积分求解问题；了解并会使用Funtool符号计算器掌握极限(左、右极限)函数limit掌握导数(1阶导、高阶导、偏导)函数diff掌握积分(不定积分、定积分、数值积分)函数inttrapzquadquadlquad8,第三讲极限、导数、积分(补充),求极限、求导数与求积分.,极限,导数,积分是我们在高等数学学习中接触过的最基本也是最重要的概念.一方面它们是很多数学工具的基础(比如微分方程);另一方面它们又是工程计算和科学研究直接面对的问题.微分(导数)运算比较简单,任何一个由基本初等函数经过四则及复合运算构成的函数,都可以用导数公式和求导法则算出它们的导数.积分运算则相对复杂得多,仍有许多函数“积不出来”,由于它们的原函数无法由基本初等函数经过四则及复合运算构成,计算这类定积分问题我们也只能采用数值方法.借助MATLAB我们得以快速解决这些问题!,基本调用格式：limit(f)功能:计算limit(f,x,a)功能:计算limit(f,x,inf)功能:计算limit(f,x,a,right)功能:计算limit(f,x,a,left)功能:计算,求极限运算的调用格式,注意：默认x趋于0；在左，右极限不相等，或有一个不存在时，默认为求右极限；,求极限运算的应用示例,应用示例（熟悉应用类型）：例1求极限symsx;y=(1+tan(x)/(1+sin(x)(1/x3);limit(y)例2求极限symsn;y=(1+1/n)n;limit(y,n,inf)例3求极限symsx;y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x);limit(y,x,3,left),求导数运算的调用格式,1一元函数求导基本调用格式：diff(f)功能-求函数f的一阶导数diff(f,n)功能-求函数f的n阶导数应用示例：例4求的一阶、二阶导数symsabx;y=(a*x+tan(3*x)(1/2)+sin(x)*cos(b*x);d1y=diff(y),disp(*),pretty(d1y),disp(*)d2y=diff(y,2),disp(*),pretty(d2y),求导数运算的调用格式,2多项式拟合求导（表达式未知或不易求导）方法说明：先利用polyfit将函数拟合成多项式函数，然后利用多项式函数求导命令polyder求导或diff求导应用示例：例5用5阶多项式拟合函数并求x=2处的二阶导函数值x=0:.1:8;y=cos(x).*log(3+x.2+exp(x.2);p=polyfit(x,y,5),y2=polyval(p,x);plot(x,y,b,x,y2,r);legend(y,y2,2);%产生数据点，拟合成5阶多项式函数，并作图比较p1=polyder(p);p2=polyder(p1);ans1=polyval(p2,2),%利用多项式函数专用求导函数polyder求导，并代值y2=poly2sym(p,x),y2d2=diff(y2,2),ans2=subs(y2d2,2),%利用通用求导函数diff求导，并代值,求导数运算的调用格式,3参数方程求导方法说明：对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出dy/dt和dx/dt然后代入公式dy/dx=dy/dt/dx/dt即可应用示例：例6求参数方程symst;x=t*(1-sin(t);y=t*cos(t);ezplot(x,y);gridon;dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);dydx=dy/dx;pretty(dydx)%下面在t=4.1处作出参数方程的切线（导数）holdon;t=4.1;x=eval(x);y=eval(y);plot(x,y,ro);k=eval(dydx);line(x,x+1,y,y+k,color,r),求导数运算的调用格式,4多元函数求导方法说明：对指定变量求导，求偏导数应用示例：例7求对z的偏导数symsabxyz;u=a*exp(b*x+y+z2);pretty(diff(u,z)例8对symsxy;z=x3*y2+sin(x*y);diff(z,x,3),求导数运算的应用示例,例9以为例验证罗必塔法则：symsabxf=ax-bx;g=x;l1=limit(f/g,x,0)df=diff(f,x);dg=diff(g,x);l2=limit(df/dg,x,0)ifl1=l2disp(罗必塔法则得到验证！)end,求不定积分运算的调用格式,1不定积分方法说明：int(f)对默认变量积分；int(f,v)对指定变量积分应用示例：例10计算symsx;y=1/(sin(x)2*cos(x)2);pretty(int(y)例11计算symsax;y=1/(a2-x2);pretty(int(y,x)例12计算二重不定积分symsxy;F=int(int(x*exp(-x*y),x),y),求定积分运算的调用格式,2定积分-解析解法方法说明：int(f,x,a,b)依据微积分基本公式计算应用示例：例13计算symsax;f=sqrt(x2+a);pretty(int(f,x,-2,2)例14对变上限函数求导symstx;f=sqrt(1-t2);pretty(diff(int(f,t,0,x2),求定积分运算的调用格式,3定积分-数值解法方法说明：当定积分-符号解法失效时，必须用定积分-数值解法来近似计算定积分的值。矩形公式sum，复合梯形公式trapz，复合辛普森公式quad/quad8的区别在于替代等距曲边梯形的方式不同：,求定积分运算的应用示例,应用示例：sum使用一次用于求向量或矩阵每一列的和，若使用两次则先按列求和再按行求和(行列总和)例15矩形法计算在x=0与x=10之间所围面积dx=0.1;x=0:dx:10;y=-x.2+115;sum(y(1:length(x)-1)*dx(的近似值),求定积分运算的调用格式,trapz(x,y)用复合梯形公式计算定积分，x为积分变量分点向量，y为被积函数分点函数值向量quad(fun,a,b,tol,trace)用复合辛普森公式计算定积分，fun为被积函数表达式字符串或m函数文件名，a，b是积分下上限，tol表示精度(缺省0.001)，trace=1图示积分过程(默认=0不显示)%quadl采用Lobatto算法，精度和速度要优于quad%quad8采用8阶NewtonCotes算法，精度优于quad,求定积分运算的应用示例,例16用两种方法求定积分x=2:.1:5;y=log(x)./(x.2);tt=trapz(x,y)%复合梯形公式fun=inline(log(x)./(x.2),x);ss=quad(fun,2,5)%复合辛普森公式,Funtool符号计算器-界面,Funtool符号计算器-功能,图形化符号函数计算器的使用：f=为图形窗口1的控制函数，其缺省值为x；g=为图形窗口2的控制函数，其缺省值为1；x=为两窗口函数的自变量取值范围，缺省-2*pi,2*pia=为常数，缺省值为1/2。df/dx计算函数f对x的导法式，并赋给f。intf计算函数f的积分函数，并赋给f。simplef计算函数f的最简表达式，并赋给f。(symsx)simplify(cos(x)2+sin(x)2);simplify(x2+5*x+6)/(x+2);expand(cos(x+y);expand(x-2)*(x-4);symsxy;factor(x3-y3);factor(x3+3*x2+3*x+1);numf取表达式f的分子，并赋给f。denf取表达式f的分母，并赋给f。1/f求f的倒数函数，并赋给f。finv求f的反函数，并赋给f。,Funtool符号计算器-功能,fa计算f(x)a，并赋给f。f*a计算f(x)*a，并赋给f。f/a计算f(x)/a，并赋给f