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第三章哈密顿正则方程,Lagrange方程：一组N个广义坐标表示的二阶常微分方程,Hamiltonian方程：引入一组2N个广义动量表示的一阶常微分方程,处理思路：将微分方程降阶以便于求解。,两方程组完全等价。,特点：,简单对称正则变换不变性,1.哈密顿正则方程,设有一完整约束系统，N个自由度，受有势力作用，其Lagrange方程：,Lagrange函数称为以Lagrange变量，表示的状态函数。,广义动量,称为Hamiltonian变量或正则变量。,取广义坐标和广义动量为独立变量，,定义：系统的Hamiltonian函数,用Hamiltonian变量替代Lagrange变量描述系统的状态，得,对哈密顿函数进行微分得,对哈密顿函数定义式微分得,上式中,由,得,从而,比较上两式得哈密顿正则方程：,又,Hamiltonian正则方程与Lagrange方程等价；,一般情况时的Hamiltonian正则方程,Hamiltonian函数H的物理意义,定常约束时H的物理意义,以Hamiltonian变量表示的系统广义能量，即,以Hamiltonian变量表示的系统的机械能。,以表示,Hamiltonian函数H随时间的变化,代入正则方程得,Hamiltonian函数H对时间t的偏导数等于H对t的全导数。,2.正则方程的初积分,广义能量积分,广义保守系统,机械能量积分,正则方程的循环积分,3.Poisson括号.Poisson定理,对（326）求导得,引入Poisson括号（f,H），定义,则,上式为f成为正则方程的初积分的条件。,正则方程的初积分f必然满足上式；,满足上式的函数f必定是正则方程的初积分。,Poisson括号的一般定义,C为常数,再设WW（qk,pk,t)则,Poisson定理说明，由正则方程的两个已知初积分可找出第三个初积分；第一第三或第二第三组合又可找出第四个初积分可不断求出初积分，这种方法称为Poisson方法。,注意：1.可能发生新的初积分为零或与原来初积分不独立,2.在物理学的其他领域有广泛应用,4.相空间,2N个变量(qk,pk)构成的2N维空间称为Hamiltonian相空间，简称相空间。,某瞬时力学系统的位置和动量（qk,pk)对应相空间的一点；相空间的一点与系统的某运动状态对应相点.,相迹：相点在相空间描画
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