专升本辅导-第8讲常微分方程

第8讲常微分方程,台州职业技术学院数学教研室,复习要求：,理解微分方程的概念，理解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解的概念.掌握变量可分离微分方程与齐次方程的解法.会求解一阶线性微分方程.,理解二阶常系数线性微分方程解的结构.会求解二阶常系数齐线性微分方程.会求解二阶常系数非齐线性微分方程（非齐次项限定为:,在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系.,第1节微分方程的基本概念,常微分方程,方程的阶数,线性方程、非线性方程,方程的解、通解、特解、所有解,初始条件（定解条件）,积分曲线（解的几何意义）,初值问题、初值问题的解,齐次方程、非齐次方程,常微分方程,含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.,未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程.,未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程.,常微分方程,偏微分方程,常微分方程的阶数,微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的,最高阶数，称为微分方程的阶数.,一阶,二阶,一阶,线性方程、非线性方程,若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，,且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称,该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程.,非线性,线性,非线性,齐次方程、非齐次方程,在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项.,自由项为零的方程，称为齐次方程.,自由项不为零的方程，称为非齐次方程.,一阶齐次非线性方程,二阶非齐次线性方程,一阶非齐次非线性方程,微分方程的一般表示形式,方程的解、通解、特解、所有解,解,代入方程，得,微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来.,此时可求数值解,故函数,初始条件（定解条件）,由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件.,解,微分方程,初始条件,通解,特解,解,微分方程,初始条件,通解,特解,有何想法？,积分曲线（解的几何意义）,常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线.,通解的图形是一族积分曲线.,特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线.,常微分方程的初等方法,介绍常微分方程的解法,分离变量法,常数变易法,积分因子法,变量代换法,二阶线性常系数微分方程解法,特征值法,变量分离,常数变易,第2节一阶微分方程,变量替换,变量分离,常数变易,变量替换,一、变量可分离方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为变量可分离的方程.,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：,其中C为积分后出现的任意常数。,积分的结果,解,原方程即,对上式两边积分，得原方程的通解,解,对上式两边积分，得原方程的通解,隐函数形式,经初等运算可得到原方程的通解为,你认为做完了没有？,原方程的解为,解,两边同时积分，得,故所求通解为,你认为还需要讨论吗？为什么？,解,原方程即,两边积分，得,故通解为,曲线族的包络。,二、齐次方程,一阶方程,则称方程为齐次方程，,对齐次方程,引入新的未知函数,则有,原方程化为可分离变量的方程,或,分离变量，得,两端积分，得,便得所给齐次方程的通解,例解方程,解原方程写成,令,则,于是原方程为,即,分离变量，得,两端积分，得,或,得所给方程的通解为,三、一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程.,方程称为一阶齐次线性方程.,方程称为一阶非齐次线性方程.,习惯上，称,为方程,所对应的齐方程.,一阶齐线性方程的解,运用分离变量法，得,两边积分，得,故,是一变量可分离的方程,的解存在，且唯一，其通解为,解,故该一阶齐线性方程的通解为,套公式！,解,先求此一阶齐线性方程的通解：,故该初值问题的解为,一阶非齐线性方程的解,比较两个方程：,请问，你有什么想法？,请问，你有什么想法？,行吗?!,故,即,上式两边积分，求出待定函数,解,所以，方程的通解为,解,原方程可以改写为,这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中,故原方程的通解为,理解二阶常系数线性微分方程解的结构.会求解二阶常系数齐线性微分方程.会求解二阶常系数非齐线性微分方程（非齐次项限定为:,复习要求：,第3节二阶常系数线性微分方程,一、高阶线性微分方程的一般理论,二、二阶常系数齐次线性微分方程的解,三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解,一、高阶线性微分方程的一般理论,n阶线性方程的一般形式为,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称(2)为(1)的相对应的齐次方程。,1.二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构,(1)叠加原理,的解，则它们的线性组合,也是方程(2)的解，,证,的解，则它们的线性组合,也是方程(2)的解。,(2)线性无关、线性相关,证,由三角函数知识可知，这是不可能的，故,证,(3)二阶齐线性微分方程解的结构,的两个线性无关的解，则,是方程(2)的通解。,2.二阶非齐线性微分方程解的结构,(1)解的性质,的一个特解，则,是原方程的一个特解。,的一个特解，则,是方程,的一个特解。,是其对应的齐方程,的一个特解。,可以直接验证性质1性质3.,如何求特解？,的通解，则,是方程(1)的通解。,二阶常系数线性微分方程,特征方程,特征根,二、二阶常系数齐次线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程，,即,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,由求根公式,另一个解为：,于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,3)特征方程有一对共轭复根：,是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为,由线性方程解的性质：,均为方程(1)的解，且它们是线性无关的.,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特征根,通解形式,解,解,解,故所求特解为,二阶常系数线性微分方程,特征方程,特征根,复习,二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特征根,通解形式,三、二阶常系数非齐线性微分方程,形如,的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，,它对应的齐方程为,我们只讨论函数f(x)的几种简单情形下(2)的特解。,方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为,单根,二重根,一对共轭复根,假设方程,有下列形式的特解：,则,代入方程(2)，得,即,由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,当二阶常系数非齐线性方程,它有下列形式的特解：,其中：,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,综上所述，原方程的通解为,二阶常系数线性微分方程,特征方程,特征根,复习,