常微分1.2 2课件

1.2基本概念,定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,一、常微分方程与偏微分方程,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.,都是常微分方程,1.常微分方程,如,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.,注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.,2.偏微分方程,如,都是偏微分方程.,定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,二、微分方程的阶,如:,n阶微分方程的一般形式为,是线性微分方程.,三线性和非线性,如,1.如果方程,是非线性微分方程.,如,2.n阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,四微分方程的解,定义4,例2,证明:,1显式解与隐式解,相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.,隐式解.,注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.,例如,有显式解:,和隐式解:,2通解与特解,定义5如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.,例如:,n阶微分方程通解的一般形式为,注1:,例3,证明:,由于,故,又由于,注2:,注3:,类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.,以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.,在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.,例如,定义6,3定解条件,为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.,求满足定解条件的求解问题称为定解问题.,常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:,当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.,注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为,注2:,例4,解,由于,且,解以上方程组得,思考,1、微分方程的解是否连续？是否可导？2、微分方程解的定义区间是否可以是一个点？3、通解是否一定包含了全部解？4、所有方程都有通解吗？,五积分曲线和方向场,1积分曲线,一阶微分方程,称为微分方程的积分曲线.,2方向场,在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.,所规定的方向场.,方向场画法：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.,例画出方程所确定的方向场示意图.,解,方程的等斜线为,画出五条等斜线,再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场。,根据方向场即可大致描绘出积分曲线经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线如左图所示。,例5,例6,积分曲线,方向场,方向场示意图,积分曲线,例7,六、微分方程组,定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。,Lorenz方程,Volterra两种种群竞争模型,(1.18),(1.19),高阶微分方程的另一种形式（如果可能！）,如果把都理解为未知函数，并作变换,上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组,并可以记为向量形式,其中均为向量函数,分析：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。,七、驻定与非驻定、动力系统,如果方程组的右端不含自变量，即,则称为驻定（自治）的，否则就称为非驻定的（非自治）的。,注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。,把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统。动力系统分为连续和离散系统两种类型，对应有连续动力系统和离散动力系统。,注：记为单参数的的映射（变换），则映射满足恒同性和可加性，即：,和,八、相空间、奇点和轨线,把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间；积分曲线在相空间中的投影称为轨线；把驻定方程组的解称为微分方程组的平衡解（驻定解、常数解）或奇点（平衡点几何定义）；,九、雅可比矩阵与函数相关性,对于个变元的个函数定义雅可比矩阵为,当时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为,1676年詹姆士贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具1846年,数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星海王星1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多在微分方程的发展史中，数学家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献,贝努利（JacobBernoulli1654-1705），著名数学家。他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。雅可布在学艺上发表了一系列重要的论文，微分方程中的“伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结果还是对数螺线。,约翰.贝努利（JohannBernoulli1667-1748），雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、莱布尼茨和牛顿都得到了解答。,丹尼尔.贝努利（DanielBernoulli1700-1782），起初也像他父亲弟约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流