微观经济学数学分析方法

第二章微观经济学分析的数学方法,凸集,定义,例子,1维空间：单个点2维空间：直线、射线、线段圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等,三维空间呢？,总结,“没有任何孔，边缘不能有缩进”蒋中一,意义,经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。,问题,经济学分析中，有哪些约束集合？,练习题：判断下列集合是否为凸集,凹函数（concave）,凹函数的定义,以最简单的单变量函数为例来定义：，和是定义域中的两个量，令，如果满足则称为凹函数（小于等于，凸函数）若则称为严格凹函数（小于，严格凸函数）,直观图形,严格凹函数,A,B,C,D,直观图形,非严格凹函数,总结,两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。,用一阶导数来定义,x,f(x),图示,总结,该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。过曲线上任何一点的做切线，该曲线均在切线或切线下方。,凹函数的定义,对双变量函数来说：,图示,A,B,C,D,z,y,总结,在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函数。,一阶导数的定义,当且仅当：,即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。,对于多变量函数,凹函数的二阶导数的判定方法,若函数存在二阶连续偏微分，则：,与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵,多变量函数：该函数的一阶全微分表示为：,二阶全微分表达式,简化表达,海塞矩阵（二阶导数矩阵）,二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）,二阶导数的判定方法,当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于零当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零,顺序主子式值正负交替变化,二阶导数的判定方法,当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。正半定：即顺序主子式值全部大于等于零当（非当且仅当）海塞矩阵为正定时，该函数为严格凸函数。正定：即即顺序主子式值全部大于零,练习,检验下列函数的凹凸性：,（使用顺序主子式方法检验）,拟凹函数（quasiconcave）,定义,定义,图示,N,函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N点外，该弧段上的点均高于或等于M点，则该函数为拟凹函数。,A,B,思考：与凹函数的关系？,凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。拟凹性是比凹性要弱的条件。,典型图示,X,f(x),上等值集判定方法,如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函数。上等值集的定义：,例子：,一阶导数定义,拟凹函数的二阶必要条件,加边海塞矩阵,拟凹函数的充分条件,拟凸函数的充分条件,练习,无约束条件下的极值问题,最优化的一阶条件,满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？,双变量的情形,A,A,二阶条件,二阶必要条件,回忆：关于凹函数,等式约束条件下的最优化问题,自由极值、约束极值,在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此独立的。但是当存在约束条件时，决策变量之间就要受到相互影响。,x,y,z,自由极值,约束极值,多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量,约束条件下求极值的方法,拉格朗日乘数法目标函数：约束条件：构造一个新函数：,面临多个约束时的一阶条件,面临多个约束时的一阶条件,拉格朗日乘数的含义,单个等式约束情形下极值的二阶条件,极大值的二阶充分条件：用海塞加边行列式,注意：与前面自由极值不同，所加的边是约束条件函数的一阶导数，而非目标函数的一阶导数；二阶矩阵是关于新函数F的二阶导数。,负定,多重等式约束的二阶条件：略，参见蒋中一P504,拟凹函数与极大值,当函数为二阶连续可微的严格拟凹函数时，则在满足一阶