工科数学微分方程

做人别太滑，自己像乱麻。天天算计人，迟早要挨砸。做人别太奸，都有一片天。你若想玩人，山外有座山。做人别太懒，经常把漏捡。没事多勤奋，何必去走险。做人别怕累，总得遭点罪。你要想轻松，那就做残废。,常微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第六节-1,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求s=s(t).,制动时,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数或偏导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本部分内容),(n阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,本部分研究的对象,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,例3.验证函数,是微分方程,的通解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,求所满足的微分方程.,例4.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,第二节,转化,可分离变量微分方程,第六节-2,解分离变量方程,可分离变量方程,分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,当一个原子在放射中失去一些质量时，原子的剩余部分就重新组为某种新的元素的原子，这个放射过程和变化称为放射性衰减，自然地经历这一过程的元素，则是放射性元素。实验指出在任何给定的时间，放射性元素衰减的速率近似地正比于现存的放射性原子核的数目。,例4.,子的含量M成正比,求在,衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.,解:根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知t=0时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例5（利用碳-14测定年代）,注：,即,半衰期,已知样本中原有的10%的原子核已经衰减。,求样本的年代。,解：由,得,古生物学家利用这种方法来测定贝壳、种子和木质人造物的年龄，比如古画、衣物等含碳物。,碳-14的半衰期为5700年。,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,根据几何关系、物理规律或微量分析平衡关系列方程,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,说明:1、通解不一定包含方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,y=x及y=C,2、解微分方程应用题的方法和步骤,思考练习,利用牛顿冷却定律：物体的温度在任何给定时刻变化的速率大致地正比于它的温度和周围温度之差（同样适用于加热）,一个煮熟的鸡蛋有98度，把它放在18度的水池里，五分钟之后鸡蛋的温度为38度。假定没有感到水温变化，鸡蛋到达20度要多久？,大约13分钟,又是一年高考时，上了大一才知道，高考已成过去，当初觉得如何如何重要，现在也不觉得了，其实也就是一次普普通通的考试，并不能决定一个人的成败。大学过得有没有意义，关键在于自己是否一直奋斗。,一阶线性微分方程,第六节-3、4,一、一阶线性微分方程,二、齐次方程,三、伯努利(Bernoulli)方程,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次线性方程.,1.解齐次线性方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次线性方程;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,的通解.,解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可变形为,所求通解为,C为任意非零常数,例2.求方程,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例3.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(C为任意常数),(当C=0时,也是方程的解),例4.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,注意:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,三、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利,例5.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,铁饭碗的真正含义不是在一个地方吃一辈子饭，而是一辈子到哪儿都有饭吃,可降阶高阶微分方程,第六节-5,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,一、,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,类似的可解下面方程,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:线密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例5.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶齐次线性方程),故所求通解为,解:,(为任意常数）,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,判别:,P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1凑微分法;,方法2利用积分与路径无关的条件.,1.求原函数u(x,y),2.由du=0知u(x,y)=C.,四、全微分方程,则称,为全微分方程.,例8.求解,解:因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,法1,法2此全微分方程的通解为,则有,两边对y求导得,由得,与比较得,因此方程的通解为,例9.求解,解:,这是一个全微分方程.,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,思考:如何解方程,这不是一个全微分方程,就化成例9的方程.,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,注:若存在连续可微函数,积分因子.,一双手健全却不肯做事，就是一个“残疾”的人。,高阶线性微分方程,第六节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,一、二阶线性微分方程,第七章,n阶线性微分方程的一般形式为,(二阶线性微分方程),时,称为非齐线性次方程;,时,称为齐次线性方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,则,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,将来谁来营救人类？一头北极熊正在海浪中挣扎的照片，在世界各国的网站上吸引了人们的注意。它和另外8头北极熊因所住冰面消融而掉进汪洋大海。由于地球变暖，冰面不断融化，这9头北极熊离最近冰面也有644公里，它们可能因超负荷游泳力竭身亡。有人建议开船去营救它们。央视二套主持人在报道这张照片时这样问道。,常系数,第七节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,特征方程,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,取u=x,则得,因此原方程的通解为,2.当,则，,特征方程,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应部分项,则其通解中必含,对应部分项,特征方程:,推广:,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例4.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,例5.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:,例6.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,第八节,一线万金1923年，福特公司有一台大型电机发生了故障，全公司所有工程师会诊了两三个月，也没有找出毛病在哪儿，不得已，公司邀请了专家斯泰因梅茨。斯泰因梅茨在这台大型电机旁边搭了帐篷，整整检查了两昼夜，仔细地听电机发出的声音，反复进行各种计算，最后用梯子上上下下测量了一番，就用粉笔在这台电机的某个地方划了条线作记号，然后对福特公司的经理说：“打开电机，把作记号地方的线圈减少十六圈，故障就可排除。”工程师们半信半疑地照办了，结果电机恢复了正常，大家都为之一惊。事后，斯泰因梅茨向福特公司要一万美金作为酬劳。有人嫉妒地说：“画一条线就要一万美金，这简直是勒索。”斯泰因梅茨听后一笑，提笔在付款单上写道：“用粉笔画一条线，一美元；知道在哪里画线，九千九百九十九美元！”,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,为m次多项式.,(1)若不是特征方程的根