复变函数论1-2

第二节复平面上的点集,1.2.1复平面点集的几个基本概念,1.2.2区域与约当(Jordan)曲线,1.2.3典型例题,1.2.4小结与思考,一、平面点集的几个基本概念,定义1.1邻域:,记作:N(z0),N(z0)=z|z-z0|,记作：N(z0)-z0=z|00:N(z0)E=,（或极限点）,定义1.3内点:,如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.,如果在z0的任意一个邻域内,都有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。,z0为E的内点0:N(z0)E,点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为：E,定义1.4有界集和无界集:,z,x,y,有界！,o,以下五种说法彼此等价：,z0为E的聚点或极限点,z0的任一邻域含有E的无穷多个点（z0不必属于E）,z0的任一邻域含有异于z0而属于E的一个点,z0的任一邻域含有E的两个点,存在E的一个点列以z0为极限,定义1.5区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1)D是一个开集；,(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,二、区域与Jordan曲线,D加上D的边界称为闭域。记为DD+C,z1,z2,D,说明,(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(1)区域都是开的.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,不包含边界！,课堂练习,判断下列点集是否是区域?,区域,闭域,区域,区域,不是区域也不是闭域,表示右半平面,(1)圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2)上半平面:,(3)角形域:,(4)带形域:,答案,(1)有界;(2)(3)(4)无界.,定义1.7连续曲线:,平面曲线C的复数表示:,C的实参数方程,C的复参数方程,起点z(),C终点z(),z,x,y,C,o,C的正向：起点终点,没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).,重点,重点,重点,换句话说,简单曲线自身不相交.,定义1.9光滑曲线:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为逐段光滑曲线.,特点,（1）光滑曲线上的各点都有切线,（2）光滑曲线可以求长,简单闭曲线的性质约当定理,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：,I(C),E(C),边界,（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.,（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.,（3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C相交.,（4）C是I(C)，E(C)的公共边界.,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,定义1.11单连通域与多连通域,复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于D,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,单连通域,多连通域,连续点集：至少含两个点，且不能划分成两个无公共点的非空闭集的集合。,退化连续点集：空集与只含一个点的集合。,区域D边界为一个连续点集（包括退化），则称D为单连通区域。,区域D边界为互不相交的两个、三个、n个连续点集，则称D为二连通、三连通、n连通的区域。,如：,都表示二连通区域,三、典型例题,例1,指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.,解,无界的单连通闭域(如图).,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,表示到1,1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,例2,解,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,是多连通域.,不是区域.,单连