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第六章常微分方程初值问题的数值解法,6.1欧拉方法6.2龙格库塔方法,问题的提出,数值求解方法,6.1欧拉方法,6.1.1引言,6.1.1欧拉公式与后退欧拉公式与梯形公式,算法：,选择不同的数值积分公式来求近似值就得到初值问题的各种数值解法,1.欧拉公式,2.后退欧拉公式,这称为后退欧拉公式,后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。,3.梯形公式,-梯形公式也是隐式单步法公式,用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算，即采用下式,(1),(2),例6.1以h=0.2为步长，用欧拉公式、后退欧拉公式与梯形公式求常微分方程初值问题,计算结果见表6.1,6.1.3改进欧拉公式,这称为改进欧拉公式,例6.2仍取步长h=0.2，采用改进欧拉法重新计算例6.1的常微分方程初值问题。,(计算结果见表6-2),6.1.4计算公式的误差分析,定义6.1,为该方法的整体截断误差.如果,则称该方法是收敛的.,设单步显式公式的一般形式为,一般地,微分方程初值问题精确解不满足(6.1.15),即,定义6.2称,截断误差的估计,设y(x)C3x0,b,则,（1）对欧拉公式，有局部截断误差,因此，欧拉公式的局部截断误差为O(h2),对(6.1.16)中的积分,用习题五第2题中的右矩形公式,得,其中,定义6.3称,（2）对后退欧拉公式，有如下分析：,因此，后退欧拉公式的局部截断误差为O(h2),其中,（3）对梯形公式，对(6.1.16)中的积分使用数值积分得,其局部截断误差为,因此，梯形公式的局部截断误差为O(h3),（4）改进欧拉公式可以改写为,其局部截断误差为,因为,因此，改进欧拉公式的局部截断误差为O(h3),而,从而改进欧拉公式的局部截断误差为,定义6.4若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该方法为p阶精度，或称该方法为p阶方法。,由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯形法与改进欧拉方法为二阶精度。,6.2龙格-库塔方法,由中值定理，有,因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜率f(,y()进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其基本思想是基于泰勒展式的待定系数法。,6.2.1二阶Rung-Kutta公式,问题：建立二阶精度的计算格式形为,在y(xi)=yi的假设下，有,故,解,根据格式为二阶精度，即y(xi+1)yi+1=O(h3)比较两式系数得,而,系数满足(6-13)的形为(6-12)计算格式统称为二阶R-K公式。当令=1/2时，解得=1/2，a=b=1，即为改进欧拉公式。若令=0，解得=1，a=b=1/2，则得另一计算公式,6.3.2四阶R-K公式,1965年，Butcher研究发现显式R-
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