微积分X11-0二次曲面

第11章多元函数微分法11-0平面及其方程.二次曲面,知识逻辑关系图,二次曲面定义,柱面坐标如何表示空间区域,球面坐标如何表示空间区域,重点：常见曲面方程难点：曲面围成的空间区域在坐标面投影,复习：1、平面一般式方程,2、直线方程一般式方程,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,引例:,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,一、二次曲面,定义.,如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:,(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;,则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,故所求方程为,求动点到定点,特别,当M0在原点时,球面方程为,设轨迹上动点为,即,依题意,距离为R的轨迹,表示上(下)球面.,（一）球面,例.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,P(x,y,z),如果定直线为z轴，讨论此柱面的方程？,柱面上任取一点P(x,y,z)沿母线与xoy平面交点P(x,y,0),P(x,y,0),P(x,y,0)在准线上，从而柱面上任一点P的坐标均满足方程F(x,y)=0.,准线C方程,柱面方程：F(x,y)=0,定义.,平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成,的轨迹叫做柱面.,C叫做准线,l叫做母线.,（二）柱面,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于x轴;,平行于y轴;,平行于z轴;,准线xoz面上的曲线l3.,母线,柱面,准线xoy面上的曲线l1.,母线,准线yoz面上的曲线l2.,母线,例.分析方程,表示怎样的曲面.,解:，,表示准线为xoy面的圆C,圆柱面.,母线平行于z轴,表示抛物柱面,母线平行于z轴;,准线为xoy面上的抛物线.,z轴的平面.,表示母线平行于,(且z轴在平面上),定义.一条平面曲线,（三）旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,例如:,建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕z轴旋转时,若点,给定yoz面上曲线C:,则有,则有,该点转到,思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？,例1.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L的方程为,绕z轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例2.求xoz面上的双曲线,分别绕x轴和z轴旋转一周,所生成旋转曲面方程.,解:绕x轴旋转,绕z轴旋转,叫做单叶旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,叫做双叶旋转双曲面.,例3,解,由于高度不变,故所求旋转曲面方程为,空间曲线的一般方程,1、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,二、空间曲线的一般方程,注：表示同一条曲线的方程不唯一。,例2方程组表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例1柱面f(x,y)=0的准线方程：,例3方程组表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,(2),(1),练习,空间曲线的向量函数表示,空间曲线的参数方程,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,例.将下列曲线化为参数方程表示:,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,例.求空间曲线:,绕z轴旋转,时的旋转曲面方程.,解:,点M1绕z轴旋转,转过角度后到点,则,这就是旋转曲面满足的参数方程.,例如,直线,绕z轴旋转所得旋转曲面方程为,消去t和,得旋转曲面方程为,绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为,又如,xoz面上的半圆周,说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如,三、画二次曲面的截痕法,三元二次方程,画二次曲面的基本方法:截痕法,基本类型:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为0),例方程的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,最底点（1，2，-1）,1.椭圆锥面,椭圆,在平面x0或y0上的截痕为过原点的直线.,2.椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,图形有界，并且关于坐标面对称。,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆绕轴旋转而成,方程可写为,球面,方程可写为,3.单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x轴；,虚轴平行于z轴）,双曲线:,y,o,z,双曲线:,3),x,4.双叶双曲面,双曲线,椭圆,双曲线,假如将方程中的1换为0，得到椭圆锥面的方程,则称双曲面渐近于这个锥面,(1)与平面的交线为椭圆.,（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线,与平面y=k的交线为抛物线,x,y,z,o,5.椭圆抛物面,（3）用坐标面与曲面相截,截得抛物线.,椭圆抛物面的图形如下：,特殊地：当时，方程变为,旋转抛物面,6.双曲抛物面（马鞍面）,o,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕z轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行z轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,抛物线,平面解析几何中,空间解析几何中,方程,平行于y轴的直线,平行于yoz面的平面,圆心在(0,0),半径为3的圆,以z轴为中心轴的圆柱面,母线平行y轴的抛物柱面,练习,指出下列方程的图形:,四、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线C的一般方程为,消去z得投影柱面,则C在xoy面上的投影曲线C为,消去x得C在yoz面上的投影曲线方程,消去y得C在zox面上的投影曲线方程,例,在xoy面上的投影曲线方程为,消Z得过曲线C的投影柱面方程为：,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,五、空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,所围的立体在xoy面上的投影区域:,例求上半球面,和锥面,xoy面上的投影曲线,解先求二者交线,所围圆域:,求下列空间区域在坐标面的投影,1),所围立体区域,（2）,3)：z0,x2+y2+z2=R2,x2+y2=z2所围。,(5):由曲面：z=