微分方程的基本概念课件 (6)

,一、引例,二、微分方程基本概念,三、小结思考题,第一节微分方程的基本概念,一、引例,为什么要学习微分方程？,全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是投资品；储蓄是国民收入的函数；生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本，这两种要素之间相互不能替代；劳动力按照一个固定不变的比率增长；不存在技术进步，也不存在资本折旧问题；生产规模报酬不变。,多马(Domar,E.D.)经济增长模型,多马(Domar,E.D.)经济增长模型的基本假设:,设S(t)为t时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济增长模型：,其中、均为正的常数，为初期国民收入，.,第一个方程表示储蓄与国民收入成正比（称为储蓄率），第二个方程表示投资与国民收入的变化率成正比（称为加速数）第三个方程表示储蓄等于投资.由（1）中前三个方程消去S(t)和I(t)，可得关于Y(t)的微分方程:,1.微分方程:含有自变量、关于自变量的未知函数以及函数的导数或微分的方程，叫做微分方程.,如：,微分方程的实质:,二、基本概念,体现自变量,函数以及函数的某些导数(或微分)之间关系的等式,这个必须有！,分类(1):根据未知函数是一元或多元来分,常微分方程,偏微分方程.,2.微分方程的分类:,(布莱克舒尔斯随机微分方程),布莱克舒尔斯期权定价模型,课外阅读（从第8页至第28页均为课外阅读）,深化第五章中期权定价的概念，尤其是二叉树定价方法期权的风险实际上在标的物的价格及其运动中就得到反应，而且标的物的价格还反映了市场对未来的预期，因此，要研究期权的定价必须首先刻画标的物股票价格运动的规律,股票价格运动的规律,证券价格可能取任何值研究股票价格运动规律得出二叉树定价的合理性,随机过程,一族无穷多个相互有关的随机变量S(t)如果t=0，则是随机过程如果t的变化是离散的，则是随机序列或随机链S(t)可以是一维的变量，也可以是多维的向量,股票价格运动规律,每天的收益率,年利率,利用连续计息方式计息的连续复利,推广,连续计息的年利率,股票价格运动方式的基本假设,1）所有的都是独立同分布的；2）股票的价格变化是连续的。由假设条件可知：当时间间隔取很小，即n可以取很大数值时r（股票的连续复利收益率）服从正态分布，价格的年变化就服从对数正态分布说明：鉴于正态分布是统计学上最常见的现象，人们自然会设想金融资产的价格服从正态分布，然而这种假设会带来若干问题，最明显的就是服从正态分布的随机变量可以取负值，但负的资产价格却没有意义；既然可以认为资产收益率服从正态分布，那么通过考察资产价格与收益率之间的关系，便可探求资产价格的变化规律,二叉树定价的合理性,二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的，而且变化的概率分布是同分布的，因此满足条件1二叉树定价中所分阶数越来越多，适当的选择二叉树中的u和d，使他们都足够快的趋于1，当所分阶数趋于无穷大时，股票的价格变化就趋向于对数正态分布（收益率变化趋于正态分布）适当选择参数，二叉树无限细分确实能够描述股票价格的运动规律,布莱克舒尔斯期权定价模型,假设条件：1）市场的无摩擦性2）从时刻t=0到t=T，都可以以一相同不变的利率借贷，利率按连续复利r计算3）从时刻t=0到t=T股票不分红4）标的物股票价格的变化遵循对数正态分布的随机过程,伊藤过程,在以上假设条件下，股票价格的运动遵循一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律，在数学上则表现为称作伊藤过程的一种随机过程,漂移率,波动率,布朗运动,连续计算收益率的股票在单位时间内收益的自然对数实际就是单位时间连续计息的复利收益率满足上述伊藤过程的股票的连续计息复利收益率服从正态分布，所以这一伊藤过程的数学模型确实描绘了股票价格的连续变化规律（附录中证明）,伊藤引理,如果是衍生品的价格（取决于标的物股票的价格S和时间t），则有以下的关系显然，可以统一地表示买权或买权的价格,动态复制过程,1）与复制1份欧式买权相对应，股票的头寸始终小于1股2）3）套头比不停的变化，所以为了复制一份期权，需要随时调整复制组合中股票的头寸，但这种调整是自融资的这一动态复制过程就是用期权、标的物股票和一种无风险证券来构筑一个无套利均衡的组合头寸,布莱克舒尔斯随机微分方程,布莱克舒尔斯的期权定价公式,注：N（.）是累计正态分布函数,对定价公式的说明（看涨期权）,当上述一个变量改变，而其他变量不变时，看涨期权的价值特征：1）标的物股票的价格S越高，看涨期权的价值也就越高2）期权执行价X越高，看涨期权的价值越低3）期权的到期时间T越长，看涨期权价值越高4）无风险利率越高，看涨期权价值越高5）标的物股票的价格波动率越大，看涨期权的价值越高,关于波动率:在这个公式中，最难理解的莫过于波动率（），其实这是期权定价法中最重要的变量。这个变量体现的是：金融市场上，吸收了全部当前“信息”之后，对未来该股票价格走势的“不确定性”的判断。,也就是说，越小，说明市场对该股票价格的判断就越明确，市场上投资人相信其价格在未来不会出现大的波动，投资人根据当前市场上掌握的信息，可以比较容易地判断该股票未来价格走势，因而该股票未来价格的不确定性也就越低。如果越大，说明市场对其价格的判断越困难，市场上投资人相信该股票在未来会出现剧烈的价格波动。投资人根据当前市场上掌握的信息，很难判断该股票未来价格走势，因而该股票未来价格的不确定性也就越高。,利用布莱克舒尔茨公式求解期权价格例1假设年利率为20，有效期限为半年，敲定价格为$105，股票现行价格为$100，股票价格波动率为5%。那么，该股票欧式看涨期权的价格为多少？显然，S01OO，X105，r0.20，T-t0.50，0.05用公式计算：d1=1.47；d2=1.43查正态分布数值表（标准正态曲线下的面积累积概率）：N(d1)=N(1.47)=0.9292；N(d2)=N(1.43)=0.9236用公式计算：C=$5.17,微分方程的阶:微分方程中出现的函数导数的最高阶数.,一阶微分方程,高阶微分方程,分类(2):按阶数分,练习：P385第1题,分类(3):根据未知函数导数的最高次数.,非线性微分方程.,线性微分方程.,一次,高次,3.微分方程的解:代入微分方程能使方程成立的函数.,满足,例：函数,是微分方程：,的解,c是任意的常数.,解,通解的图像:积分曲线簇.,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,A.微分方程的解的分类：,解,积分曲线族,(2)特解:利用初始条件确定了通解中任意常数以后的解.,特解的图像:一条积分曲线.,初始（值）条件:用来确定任意常数的条件.,解,初始条件,一条积分曲线,说明:,微分方程的初等解法:初等积分法.,一句话概括：用积分的方法解决微分的问题,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值（始）问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题,（如：刚才例3）,解：,例4验证:函数,并求满足初始条件,是,的解，,的特解,类似P385第2题,所求特解为,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,三、小结,本节基本概念：,思考题,从此页开始往后均为课外阅读,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,练习题,练习题答案,伯努利（Bernoulli）方程,形如的方程，称为伯努利方程(它是由JamesBernoulli在1695年提出的)，可以化成一阶线性方程来求解，其中n为常数.,将方程两端除以，得到,令,有,将(5)代入(4),得到,这是一阶线性方程，可以求解.求出后再用代回，即得伯努利方程的解.,这是以,为未知函数的伯努利方程.,这是关于的一阶线性方程，其通解为,将,代入上式，得,如果,则由上式有,令,则有,于是有,其中设,索洛经济增长模型的一些结论与意义,增长必须用人均数据（outputpercapita）来衡量，强调技术进步时人均收入增长的源泉。所有增长最终可以归结到两种途径：资本（物质和人力）积累和技术进步。重新假定生产要素（资本与劳动）具有相互替代性，使资本产出比由固定不变成为可变。强调市场机制