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1.5.2二项式系数的性质及应用,一.复习回顾,1.(a+b)n的二项展开式是_.,2.通项公式是_.,Tr+1=,3.第r+1项的二项式系数是什么？,二、新课,二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数的有关性质。我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：,11,121,1331,14641,15101051,1615201561,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴：,（2）增减性与最大值,由于：,所以相对于的增减情况由决定,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二项式系数是逐渐增大的。,可知，当时，,二项式系数的性质,由对称性可知：它的后半部分是逐渐减小的；且中间项取得最大值。,（2）增减性与最大值,因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；,当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。,二项式系数的性质,（3）各二项式系数的和,在二项式定理中，令，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于，上式还可以写成：,这是组合总数公式,二项式系数的性质,一般地，展开式的二项式系数有如下性质：,（1）,（2）,（3）当时，,（4）,当时，,（对称性）,二项式系数的性质,例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例2用二项式定理证明：能被1000整除。,例3的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416,例4已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,则(1)a1+a2+a3+a7=_(2)a1+a3+a5+a7=_(3)a0+a2+a4+a6=_(4)a0-a1+a2-a3+-a7=_,赋值法,变式：若已知(1+2x)200=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a200(x-1)200求a1+a3+a5+a7+a199的值。,余数是1，,所以是星期六,例5、今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？,1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握;,小结,2.要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆;只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项;,3.尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,练习：课本P3
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