数学分析考试课件分式线性变换

第二节分式线性变换,2011年6月7、9、14日,第二十五、二十六讲,1.分式线性变换及其分解,2.分式线性变换的共形,3.分式线性变换的保交比性,4.分式线性变换的保圆周(圆)性,5.分式线性变换的保对称性,6.线性变换的应用,1.分式线性变换概念,(1)函数,称为分式线性变换,简记为,(2)在扩充z平面上补充定义,一、分式线性变换及其分解,(4)由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的,2.分式线性变换的分解,分式线性变换(7.3)是如下变换的复合,(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合,(2)(I)(II)型变换的几何性质,旋转,位似(伸缩),平移,旋转、伸长(或缩短)、平移变换,b,下列两个映射的复合：,复平面上。显然，,是关于单位圆周的对称变换;,.,.,.,规定:无穷远点的对称点是圆心O.,解,因此可分解为,的复合.,证明,线性变换(7.3),的不动点适合,即,上面系数不全为零,这时(7.3)为,有不动点,不动点,由定义7.3引入两个反演变换,二、分式线性变换的共形,定理7.7,分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.,注1,在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.,定义7.4,注2,定理7.8,在分式线性变换下，四点的交比不变。,证明,三、分式线性变换的保交比性,因此,注3,只需指定三对对应点:,定理7.9,且除相差一个常数因子外是唯一的.,注4,三对对应点唯一确定一分式线性变换.,证明,先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是,那么，由,得,同理，有,因此，有,由此，我们可以解出分式线性函数。由此也说明这样的分式线性函数也是唯一的。,那么，由,同理有,由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。,解,所求的分式线性变换为,即,整理得,对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).,对(II)型:,因圆周(或直线)可表为,它表示圆周或直线.,2008年6月2、4日,第二十七讲,四、分式线性变换的保圆周(圆)性,定理7.10分式线性变换将平面上圆周(或直线)变为圆周(或直线).,注5,在扩充z平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.,事实上,(7.11)可写成,注6,同时圆被共形变换成圆,-分式线性变换的保圆性.,d1,d2=dc1,d2=dc1,d1,D1,D2=Dc1,D2=Dc1,D1=L(d1),D2=L(d1),D1,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,D2=L(d1),.,.,.,.,.,.,.,.,.,n,N=L(n),注7,在扩充平面上给定区域d及D,其边界都是圆周,则d可共形变换成D.,注8,解,(1)因系数为实数,从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为,边界的两个区域,即上下两个半平面,(2)扩充z平面上的圆周由三个点决定,定义7.5,注9,五、分式线性变换的保对称性,则,所以,“充分性”,证明,“必要性”,.,.,.,定理7.11,证明“必要性”,.,.,.,“充分性”,以下定理说明了分式线性变换的保对称性,定理7.12,分析,应用定理7.11，只需证明w平面上经过,证明,由分式线性变换的保角性,由定理7.11,由分式线性变换的保角性,解,由定理7.12,由线性变换的保交比性,所求的线性变换为,即,整理后得,由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型.,例6,六、线性变换的应用,事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时,即实轴变为实轴是同向的,或,解,例7,解,故,即,故,解该方程组得,故所求线性变换为,例8,解,由线线变换的保对称性,因此这个变换应具有形式,故可令,从而所求的变换为,注10,确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.,注11,解,由线性变换的保对称性,因此所求变换具有形式,利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令,从而所求的变换为,注12,确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.,注13,例10,解,作线线变换,复合上述两个变换得,整理得,即由,得,从而所求的变换为,例11,解,(1)先作伸缩变换,(2)再作平