数学建模--微分方程第二讲

微分方程模型第二讲,数学建模培训,一、微分方程的基本理论,1、基本概念,2、一阶微分方程的初等解法,3、高阶微分方程的求解（1）形如，直接进行n次积分。（2）形如，令化为一阶方程求解。（3）形如，令化为一阶方程求解。,（4）二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,(r为待定常数),所以令的解为,其根称为特征根.,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,（5）二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,结论,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,当是特征方程的k重根时,可设,特解,结论:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,3、线性方程组求解,线性非齐次方程组,线性齐次方程组,特征方程式,二、微分方程的定性、稳定性理论人们曾经以为所有的微分方程都能用初等解法来求解，但是在求解过程中，遇到的困难越来越大，1841年刘维尔指出看似简单的Riccatti方程一般也不能用初等解法求解，这个结果使微分方程的研究方法发生了一个转折。定性理论和稳定性理论正是在这种情况下发展起来的，它们的共同特点是在不求出方程的解的情况下，完全根据微分方程本身的结构与特点，来研究解的性质。,在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的定性和稳定性理论。,1、定性理论基础知识我们从最简单的二维一阶微分方程组开始研究。,例第一讲中的Logistic模型,共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。,当NoK时，则位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。,图3-17,自治系统的相空间是指以（x1,xn）为坐标的空间Rn。,特别，当n=2时，称相空间为相平面。,空间Rn的点集(x1,xn)|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,n称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。,定义设x0是（3.28）的平衡点，称：,（1）x0是稳定的，如果对于任意的0，存在一个0，只要|x(0)-x0|0，相应的相轨线应保持在第一象限中。,求（3.31）的相轨线,将两方程相除消去时间t，得：,令,用微积分知识容易证明：,有：,与的图形见图3-20,易知仅当时（3.32）才有解,当时，轨线退化为平衡点。,当时，轨线为一封闭曲线（图3-21），即周期解。,证明具有周期解。,只需证明：存在两点及，时，方程无解。,由的性质，而，使得：,。同样根据的性质知，当x1时,。此时：,由的性质，使成立。,当x1=或时，,仅当时才能成立。,而当x1时，由于，,故无解。,得证。,确定闭曲线的走向,在每一子区域，与不变号，据此确定轨线的走向（图3-22）,将Volterra方程中的第二个改写成：,将其在一个周期长度为T的区间上积分，得,等式左端为零，故可得：,同理：,解释DAncona发现的现象,引入捕捞能力系数，（00，共栖系统。,（ii）a20（或a20，b10），捕食系统。,（iii）a2K2，见图3-26。,有以下几个引理:,引理1若初始点位于区域I中，则解（x1(t)、x2(t)）从某一时刻起必开此区域而进入区域II,引理2若初始点（x1(0)、x2(0)）位于区域II中，则（x1(t)，x2(t)）始终位于II中，且：,引理3若初始点位于区域III中,且对于任意t，（x1(t)，x2(t)）仍位于III中，则当t+时，（x1(t)，x2(t)）必以（K1,0）为极限点。,由引理1和引理2，初始点位于像限I和II的解必趋于平衡点（K1,0）。由引理3，初始点位于III且（x1(t)，x2(t)）始终位于III中的解最终必趋于平衡点（K1,0），而在某时刻进入区域II的解由引理最终也必趋于（K1,0）。易见只有上述三种可能，而在三种可能情况下（x1(t)，x2(t)）均以（K1,0）为极限，定理得证。,定理4的证明：,在研究实际课题时，数值解方法也许会用得更多。当解析解无法求得时，计算机作为强大的辅助工具发挥了它应起的作用。浙大学生在研究1999年美国大学生数学建模竞赛题A（小行星撞击地球）时就遇到了一个棘手的问题：如何描述南极地区的生态系统，如何定量化地研究小行星撞击地球对南级生态环境的影响？在上网查阅了南极附近的海洋生态状况后，他们将南极附近的生物划分成三个部分：海藻、鳞虾和其他海洋生物。鳞虾吃海藻，其他海洋动物吃鳞虾，运用基本建模技巧建立了一个三房室系统模型。小行星的撞击会影响大气层的能见度，从而影响到海藻的生长（光合作用），进而影响到生物链中的其他生物。他们无法得到模型中的参数值（事实上，小行星撞击南极的事件并未发生过），就取了一系列不同的参数值，对不同参数值下模型的数值解进行了分析对比，研究了解对各参数变化的灵敏度，取得了十分有意义的结果并获得了当年国际竞赛的一等奖。,1.微分方程的解析解,求微分方程（组）的解析解命令:,dsolve(方程1,方程2,方程n,初始条件,自变量),运行结果：u=tan(t-c),三、用MATLAB求解微分方程,解输入命令：dsolve(Du=1+u2,t),解输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),运行结果为:y=3e-2xsin（5x）,解输入命令：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t)；x=simple(x)%将x化简y=simple(y)z=simple(z),运行结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2ty=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,2.用Matlab求常微分方程的数值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.,注意:,解:令y1=x，y2=y1,1、建立m-文件vdp1000.m如下：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0，tf=3000，输入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,03000,20);plot(T,Y(:,1),-),3、结果如图,解1、建立m-文件rigid.m如下：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2、取t0=0，tf=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,012,011);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3、结果如图,图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.,导弹追踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,解法一（解析法）,由(1),(2)消去t整理得模型:,解法二(数值解),1.建立m-文件eq1.mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：x0=0，xf=0.9999x,y=ode15s(eq1,x0 xf,00);plot(x,y(:,1),b.)holdony=0:0.01:2;plot(1,y,b*),结论:导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰,令y1=y,y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组。,解法三(建立参数方程求数值解),设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t)，导弹的坐标为(x(t)，y(t).,3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t,4.解导弹运动轨迹的参数方程,建立m-文件eq2.m如下：functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：t,y=ode45(eq2,02,00);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,-)，holdonplot(y(:,1),y(:,2),*),轨迹图如下,例：饮酒模型,模型1：快速饮酒后，胃中酒精含量的变化率,模型2：快速饮酒后，体液中酒精含量的变化率,即,用Matlab求解模型2：,symsxyk1k2Mtx=dsolve(Dx+k2*x=k1*M*exp(-k1*t),x(0)=0,t),运行结果：,M*k1/(-k1+k2)*exp(-k2*t+t*(-k1+k2)-exp(-k2*t)*M*k1/(-k1+k2),即：,用以下一组数据拟合上述模型中的参数k1、k2：,M=64000/490=130.6122（毫克百毫升）,建立函数文件：functionf=curvefun1(k,t)f=k(1)*64000/490*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t)/(k(1)-k(2),输入拟合数据：t=00.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516;c=