数学分析总习题课课件

一、可分离变量方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,典型例题,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,二、线性方程,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.线性非齐次方程常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,三、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将代入即得,代入上式,例4.求方程,的通解.,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,解:两边同除以得,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,四、齐次方程,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),(h,k为待,五、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出h,k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,例5.求解,解:,令,得,再令YXu,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解:,得C=1,故所求特解为,思考:若方程改为,如何求解?,提示:,六、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,将二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程,例1求的通解.,七、不显含未知函数的方程,若上式可解,设通解为,则有,积分便得通解,解令,代入方程并分离变量得,积分，得,再积分,得,所求特解为,八、不显含自变量的方程,可设，把p当作新的未知函数，把y当作自变量,代入方程有,如果此微分方程是可解的，设其通解为,分离变量后再积分，便得方程的通解,解此方程不显含自变量x,令,代入原方程得,从而,前者对应解,后者对应方程,积分得,即,再分离变量后积分得,因此原方程的解为,九、二阶常系数齐次方程求解,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,十、二阶常系数非齐次线性微分方程,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例1,解,对应齐方通解,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,例,第九章一、多元函数求极限的方法,（1）连续函数极限值等于这点的函数值；（2）转化为一元函数，利用一元函数求极限的方法：有理化，化不定式为定式变量代换有界变量与无穷小的性质利用夹逼准则利用等价无穷小代换利用重要极限,二、判断二重极限不在的方法,（1）找一条特殊路径使其极限不存在或找两条不同路径使其极限不相等；（2）两个累次极限不相等。,三、偏导数的定义及其计算法,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如在处,解,可偏导未必连续,连续未必可偏导,4、偏导数的几何意义,O,z,y,x,x0,y0,P0,曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线,(平面y=y0上的曲线),纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,四、高阶偏导数,五、全微分,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,多元函数连续、可导、可微的关系,六、多元复合函数求导,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论u,v是自变量还是因变量,链式法则如图示,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,解,令,记,同理有,于是,（分以下几种情况）,七、隐函数的求导法则,隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,解,法1,法2(微分不变性),解,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对求导并移项,将所给方程的两边对求导，用同样方法得,设空间曲线的方程,八、空间曲线的切线与法平面,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,曲线在M处的切线方程,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,所求切线方程为,法平面方程为,法向量为,切平面方程为,九、曲面的切平面与法线,曲面方程为,法线方程为,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,其中,解,切平面方程为,法线方程为,十一、条件极值-Lagrange乘数法,求目标函数,在约束条件,下的极值.,方法：引进辅助函数(Lagrange函数),解,则,求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,多元函数的最值,解,如图,十一、定理(方向导数导计算公式),若函数,在点,处可微，,则函数,在点,处,沿任一方向,的方,向导数存在，且,其中,各导数均为在点,处的值。,运用向量的数量积，可将方向,导数计算公式表示为：,其中，,称为梯度,设,求函数在点,沿方向,的方向导数。,解,例,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为（X型）,则,若积分区域为（Y型）,则,第十章重积分,所表述的区域D为X-型：,一、特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点;,二、化二重积分为二次积分(注意被积函数先对y积分，第一步的结果再对x积分),三、二次积分上下限的确定(注意下限小于上限)：,1:外层上下限为常数（x的最小值为下限，x的最大值为上限）;2：内层上下限确定的方法：用垂直于x轴的直线穿过区域D的内部，与D的两交点的y的值即为上下限。（下面交点y的值为下限，上面交点y的值为上限。）,所表述的区域D为Y-型：,一、特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点;,二、化二重积分为二次积分(注意被积函数先对x积分，第一步的结果再对y积分),三、二次积分上下限的确定(注意下限小于上限)：,1:外层上下限为常数（y的最小值为下限，y的最大值为上限）;2：内层上下限确定的方法：用垂直于y轴的直线穿过区域D的内部，与D的两交点的x的值即为上下限。（下面交点x的值为下限，上面交点x的值为上限。）,解,积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换,最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分.,在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆域,被积函数为形式,利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便.,利用极坐标计算二重积分,则,极坐标系情形:若积分区域为,设,则,1)极点在D之外,2)极点在D的边界上,3)设极点D之内,解,(2)一般换元公式,且,则,在变换,下,三重积分三种坐标的选择,通常根据被积函数和积分区域所具有的特点选择。,1、如果被积函数含有三个变量的平方和或者积分区域为球面或球面的一部分时，则利用球面坐标计算；,2、如果被积函数含有任意两个变量的平方和或者积分区域为柱面或者投影为圆域时，则利用柱面坐标计算,3、若被积函数仅含一个变量，则可采用“先二后一”法计算。,4、若以上三种特征都不具备，则采用“先一后二”法计算。,球面坐标计算三重积分的步骤：,Step1:画空间闭区域图及在xoy平面上的投影区域D的图形；,Step2:被积函数（x,y,z换成r，）先对r积分。作原点出发,穿过的任意射线OM（它与z轴正向的夹角为，在xoy平面投影射线OP上的点的极角为），若射线OM上内的点的r的值从r1(,)变为r2(,)，则它们就是先对r积分的下限与上限值；,Step3:第2步的结果对积分，若上述射线OM与z轴正向的夹角从1()变为2()，则它们就是先对积分的下限与上限值；,Step4:第3步的结果对积分，积分上下限的确定方法与柱面坐标下的上下限的确定方法完全一样；,柱面坐标计算三重积分的步骤：,Step1:画空间闭区域图及在xoy平面上的投影区域D的图形；,Step2:过D内任意一点（x,y)做z轴的平行线，若该直线上与,边界的交点z的值从z1(x,y)变到z2(x,y)，则z1(r,)与z2(r,)就是先对z积分的下限与上限值；,Step3:第2步的结果对r积分，积分后的结果最后再对积分。积分上下限由D确定。具体的确定方法与极坐标下二重积分化为二次积分时上下限的确定方法完全一样。,截面法(“先二后一”),（投影法）三重积分化为三次积分的过程：,得到,事实上，,例13.用三种坐标系计算三重积分,：,1.曲线,第一型曲线积分的计算公式,则,2.曲线,3.曲线,则,则,例,解,于是，,注意：这里曲面方程均是单值函数。,第一型曲面积分,例,解,第十一章第二型曲线积分与第二型曲面积分,一、计算第二类曲线积分的基本步骤：,一、计算第二类曲线积分的基本步骤（叙上页）：,思路:,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,典型例题,解,解,(如下图),例试应用曲线积分求,的原函数.,解这里,在整个平面上成立,由定理2,曲线积分,线段于是有,只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.,二、计算第二类曲线积分的基本步骤：,三、计算第二类曲面积分的基本步骤：,四、计算第二类曲面积分的基本步骤：,向量点积法,例4,解,利用向量点积法,例3,解,利用两类曲面积分之间的关系,解,(如下图),第十二章无穷级数,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,例判别下列级数的敛散性：,解(i)因为,由比式判别法，原级数为收敛.,(ii)因为,由根式判别法,原级数为收敛.,例.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:(1),P1时,绝对收敛;,0p1时,条件收敛;,p0时,发散.,因,所以原级数绝对收敛.,二、函数项级数的一致收敛判别法,定理(魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法),敛的正项级数，,例3函数项级数,(1)定义,幂级数,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,例1.求下列各幂