数学分析考试课件复数与复变函数

第一章、复数与复变函数第二节复平面1、平面点集的几个概念2、区域与若当曲线,第二讲,一.平面点集的几个基本概念:,z0的-邻域：以z0圆心，为半径的-圆盘N(z0)定义为：,点z0的去心邻域N(z0)-z0定义为：,z0的-闭邻域定义为：,1.邻域：设,2.聚点、孤立点、内点、边界点:,中有无穷个点，则称a为E的聚点或极限点；孤立点：若a属于E而不是聚点，则称a为E的孤立点；外点：若a既不属于E也不是E的聚点则称a为E的外点；,则称a为E的内点；,中既有属于E的点又有不属于E的点，则称a为的E边界点。,聚点：,内点：,边界点：,3.开集、闭集、有界集:,导集：,内部：,边界：,开集：所有点为内点的集合；,闭集：E包含了它的所有聚点；,E的闭包：,记为,注：、没有聚点的集合是闭集；,、任何集合的闭包一定是闭集；,则称E是有界集，即对任意的有，无界集：否则称E是无界集；紧集：复平面上的有界闭集称为紧集。,有界集：如果存在r0，使得,4.点与集合关系图示,注意：孤立点一定属于E，且是边界点。集合E开圆环并上81个离散点，如下图：,5.聚点的等价定义,a为E的聚点或极限点；a的任何领域含有E的无穷多个点；a的任何领域含有E中的异于a的点；a的任何领域含有E的两个点；存在E中点列zn使得对任意的0,存在正整数N=N(),当nN(),有|zn-a|.,6.区域、曲线:,复平面C上的集合D，如果满足：（1）D是开集；（2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。称为闭域，注意区域总是开的，不含边界。结合前面的定义，可以定义有界区域、无界区域。,区域,折线上的所有点完全属于D,闭区域,7.区域的例子:,例1、圆盘N(a)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合z|z-a|=r是以为a心，r为半径的圆周，它是圆盘N(a)和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界闭集，复平面也是无界开集。例4、对于去心圆盘N(a)-a,圆心a是E的边界点，它是E边界的孤立点，是集合E的聚点。,8.扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.,9.扩充复平面上的几个概念,无穷远点的邻域:,无穷远点的去心邻域:,注1：,注2类似地，我们可以定义聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。我们也称扩充复平面为复平面的一点紧化。,10.扩充复平面性质:,在扩充复平面上，不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。注意：加上无穷远点后，许多性质将有很多变化。,11.连通性:,上述区域概念中的性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。,D=AB不是区域是开集,D=AB不是区域是闭集,如图：A表示带边界的圆盘，B表示直线段,二.曲线、若当曲线：,设复数方程,如果x(t)和y(t)都是闭区间,上连续函数，则称其所决定的点集为z-平面上一条连续曲线，记为C，z()，z()分别称为曲线C起点和终点。如果对,上任意不同两点t及s，但不同时是C的端点，我们有:,即是一条除端点外不自交的连续曲线，称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z()=z()，则C称为一条简单连续闭,注：无重点若当曲线,若当闭曲线简单闭曲线,非若当曲线,若当曲线简单曲线,曲线，或若尔当闭曲线。,例1,解,1.若尔当定理:,定理1.1（若尔当定理）：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。,有界简单闭区域边界曲线的定向：右手螺旋系定正向。,2.曲线长度:,定义1.8,设连接弧AB的参数方程为,并且考虑弧AB上对应的点列,3.光滑曲线:,光滑曲线：如果x(t)和y(t)都在闭区间,上连续，且有连续的导函数，在,上，其导函数x(t)、y(t)恒不全为零，则称此曲线为一条光滑曲线；如果还有z()=z()，x()=x()，y()=y()，则称其为光滑闭曲线。类似地，可以定义分段光滑曲线。,设复数方程,4.单连通区域:,设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;否则称D是多连通区域。,例2.集合,为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线：,即,，事实上，,例3.集合,为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：,例4.集合,为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：,例5.集合:,为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆：,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,例6,单连通域.,5.在扩充复平面上单连通区域:,解,例7,注考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的