第12.2节-一阶微分方程课件

12.2一阶微分方程,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,高等数学,第12章微分方程,一阶微分方程的一般形式为,下面主要讨论能够解出导数的方程,12.2一阶微分方程,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,一阶微分方程的通解中仅含一个任意常数，其定解条件,一、可分离变量的微分方程,形如,（12.2.2）,的微分方程，称为可分离变量的微分方程,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,上式两端积分得,解,原方程分离变量得,上式两边积分,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,得,即有,故所求的通解为,从而,上式两边积分,得,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,解,原方程化为,分离变量得,两边积分得方程通解为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,两边积分得方程通解为,将,代入上式得,故所求的特解为：,例12.2.2求方程,的特解,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,解,方程化为,分离变量得,两边积分得,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,去对数得方程的通解,两边积分得,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,或,解,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,例12.2.4,确定1h后桶中还剩下多少盐？,即,两边积分得：,因此，,一个桶内有100L溶液，其中含有10kg盐。按5L/min,的速度不断地向桶中注入水，水与桶内溶液迅速混合，并以同一,速度流出。,因此，,故1h后桶中盐量为,解,即,两边积分得：,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,二、齐次方程,形如,（12.2.3）,的一阶微分方程称为齐次微分方程(简称为齐次方程).,对齐次方程（12.2.3）可以经过变换,化为可分离变量的方程，从而求出通解,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,具体过程如下：,，,则,，,代入方程（12.2.3），化为可分离变量方程,，或,两边积分得,（12.2.3）,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,上面的推导要求,如果,即,则方程（12.2.3）为,这已是一个可分离变量方程，不必作变换就可求出其通解为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,原方程可化为,解,代入上式得,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,这是齐次方程，,则,，即,分离变量两边积分得,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,分离变量两边积分得,即,化简得,显然，,(为任意常数）,于是所求的通解为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,解,原方程可化为,令,则,，代入上式有,分离变量并积分得,（C为任意常数）,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,即,便得原方程的通解为,于是，所求的特解为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,分离变量并积分得,（C为任意常数）,三、可化为齐次方程的方程,(12.2.4)为齐次方程；,(12.2.4)可用下列变换将它,化为齐次方程.令,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,从而方程(12.2.4)成为,（12.2.5）,若,将,代入（12.2.4）式得齐次方程,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,求出该方程的通解后，,即可得到(12.2.4)的通解.,若,从而方程（12.2.4）成为,此时令,将,代入（12.2.4）式得齐次方程,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,令,则,于是由上式得,这是可分离变量的方程,可用前面介绍的方法求解.,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,例12.2.7解微分方程,解,代入上式有,原方程化为,令,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,解方程组,得,于是令,则原方程化为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,再令,则,代入上式得,分离变量,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,两边积分得,即有,将,代入得原方程的通解为,(C为任意常数).,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,三、一阶线性微分方程,形如,（12.2.6）,的微分方程称为一阶线性微分方程,（12.2.7）,称（12.2.5）为一阶线性齐次方程；,否则,称（12.2.6）为一阶线性非齐次方程,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,（1）一阶线性齐次方程的解法,一阶线性齐次方程（12.2.7）是可分离变量的微分方程，,分离变量后易求出其通解为,（12.2.8）,其中C为任意常数,(2）一阶线性非齐次方程的解法,设方程（12.2.6）有如下形式的解,（12.2.9）,将式（12.2.9）代入方程（12.2.6）得,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,即,故得,代入（12.2.9）式，即得方程（12.2.6）的通解为,（C为任意常数）,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,的特解,解,由（12.2.10）式得通解为,因此所求特解为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,解,将方程写成,此为一阶线性非齐次方程，,且,，,由公式（12.2.10）得所求通解为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,解,此方程不是一阶线性方程，不易求解,则原方程化为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,则原方程化为,且,由公式（12.2.10）得方程的通解为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,解,此方程的通解为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,故所求函数为,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,五、贝努利（,）方程,形如,（12.2.11）,12.2一阶微分方程,高等数学第12章微分方程,则得到关于z与x的一阶线性方程,从而可用公式（12.2.10）求出其通解后，,便可得方程（12.2.11）的通解,再回代原变量，,即