实变函数论课件19

第19讲Lebesgue积分的极限定理,本讲目的：掌握控制收敛定理，并能熟练运用，了解一个函数Riemann可积的充要条件。重点与难点：控制收敛定理及其证明。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,基本内容：如所周知，函数序列的积分之极限与该函数序列的极限之积分是否相等是微积分中的重要问题，也是困难的问题，同时，它又是应用十分广泛的问题。有时，为了讨论这类问题，人们常常要进行十分复杂的推导与演算。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,由Levi定理知，对于E上非负单调递增可测函数列fn，其积分与极限可以交换顺序，即limEfn(x)dx=Elimfn(x)dx(1),对一般非负可测函数fn，由Fatou引理知有如下的不等式：Elimfn(x)dxlimEfn(x)dx(2),第19讲Lebesgue积分的极限定理,问题1：对非负可测函数列fn，上述不等式中严格不等式能否成立？举例说明。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,第19讲Lebesgue积分的极限定理,既然对一般的可测函数列fn，等式(1)未必成立，下面的问题便是自然的：问题2：对一般可测函数列fn，等式(1)何时成立？,第19讲Lebesgue积分的极限定理,一个平凡的事实是：如果有限测度集E上的Lebesgue可积函数列fn一致收敛到f，则f也是E上的Lebesgue可积函数，且等式（1）成立。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,然而，一致收敛性条件太强，大部分情况下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启示。假设fn是有限测度集E上的Lebesgue可积函数列，且一致收敛到f，则对任意0，存在自然数N，当nN时，有|fn(x)-f(x)|0，使得当c,da,b，且d-c时，有,这一性质通常称之为积分绝对连续性。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,注意到E-E的测度可以充分小，而且函数序列fn可以由F控制，那么从不等式E-E|fn(x)|dxE-EF(x)dx（4）及Riemann积分的绝对连续性能得到何种启发呢？,第19讲Lebesgue积分的极限定理,上述分析启示我们：等式（1）能否成立取决于Lebesgue可积函数是否具有积分绝对连续性。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,仍然假设E是有限测度集，f(x)是E上的L-可积函数，则|f(x)|也是E上的L-可积函数，因此不妨设f(x)是E上的非负函数。如果f(x)是有界函数，即,第19讲Lebesgue积分的极限定理,则由不等式知对只要就有,第19讲Lebesgue积分的极限定理,于是，问题最终归结为：问题4：若f(x)是E上非负的无界可积函数，f(x)是否具有积分绝对连续性？,第19讲Lebesgue积分的极限定理,由无界函数积分定义，可以作有界函数列如下：则单调递增收敛到f(x)，且。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,于是对任意存在N，使得进而对E的任意可测子集A，有。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,这说明，只要便有由的任意性知f(x)确有积分绝对连续性。,第19讲Lebesgue积分的极限定理,以上种种分析揭示了一个基本事实,同时也给出了这一事实的一个大概的证明思想。这个事实即下面的重要定理:定理(Lebes