数学分析-第二版-第一次课、导论

2020/5/30,数学是什么？,恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。,高度的抽象性是数学的重要特征，它不是从实验出发，而是从一系列定义、公理出发，由此推导出一系列的命题和定理在概念之间、命题之间、定理之间建立各种联系。正是这种高度抽象性使得数学能够揭示最普遍、最一般的规律，从而在其他学科领域之中有着广泛的应用，成为一种工具。,2020/5/30,现代数学研究的基本对象：,集合是一些对象的全体,集合被赋予某一种结构或运算后便是空间。,空间映射,2020/5/30,2020/5/30,映射是两个集合中的元素之间的一种对应。,例如函数就是从一个数集到另一个数集的映射。,2020/5/30,简明数学思想史,数学是人类最古老的科学知识之一，它主要是研究现实生活中数与数、形与形，以及数与形之间的相互关系的一门科学。,就人类对数的认识和运用来看，一般讲从公元前3000年左右的埃及象形文字就已开始，迄今已有5000年的历史。,研究数学，必须了解数学史。M.克莱因称：“一个时代的总体特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。”,2020/5/30,数学思想史的四个阶段,第一阶段：数学的萌芽阶段（公元前3000年公元前600年）,这一阶段，我们称之为数学的萌芽阶段，或者说准学科阶段。在这一阶段里，数学还没有发展成为一门有明确结构的独立的理性的学科，还不具备抽象，还没有方法论，还没有论证和推理。,数学文化在这一阶段的杰出代表是古巴比伦数学、中国数学、埃及数学、印度数学等。,这一阶段的世界数学文化呈一种多元发展态势。,2020/5/30,数学思想史的四个阶段,第二阶段：数学的形成阶段（公元前5世纪公元16世纪）,这一阶段，通常称之为数学科学的形成时期，它的开始是以希腊人的出场为典型标志，结束于公元16世纪，也就是在变量数学产生之前，人们常称此阶段为常量数学阶段，也就是数学学科完成了以常量为主要内容的框架体系。,这一时期，希腊数学家取得辉煌成绩，他们引入了证明，提出了抽象，发现了自然数，发现了无理数，但不敢面对。最大的光荣是欧几里得写的原本和阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论。这一阶段,中国的数学文化也是最辉煌的时代，九章算术可以说是东方的原本，圆周率的定值比世界上其他国家最先进的成就早了1000年。,2020/5/30,数学思想史的四个阶段,第三阶段：变量数学阶段（公元17世纪公元19世纪）,这一时期是世界数学文化史上的第三个辉煌时期，人们通常称之为牛顿时代。这一时期是欧洲人的天下，最典型的学科标志就是由常数数学转向变量数学。,笛卡儿的几何学的出版（1637年），奠定了解析几何的基础，恩格斯曾指出“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”；,以牛顿、莱布尼兹为顶尖代表人物创立了微积分学。,18世纪中叶，欧拉和其他数学家创立了微分方程这门学科。,2020/5/30,数学思想史的四个阶段,第四阶段：现代数学阶段（公元19世纪）,这一时期是在数学经过17、18世纪以及19世纪上半叶的发展，许多突出问题已经解决，数论、分析、几何，特别是非欧几何的产生，射影几何、代数结构方面都取得成绩之后的时期，数学家们最热心的工作是关于数学基础的研究，产生集合与代数结构的思想。这一时期最典型的特征是以集合论为标志。,集合论的创立，唤起数学家们对实无穷的研究，开拓了点集拓扑的领域；推动了测度论和泛函分析的研究；激发人们对数理逻辑和数学基础的深入研究。,数学“新三基”的产生：泛函分析、抽象代数、拓扑学。,2020/5/30,数学与经济学之间的关系：基础、工具、方法,经济-Economy,Economy一词在不同时期有不同的含义,古希腊：Oikonomia=Oikos(房子，家产)+nomos(管理，规律),经济学-Economics,十七世纪：法国经济学家蒙克莱斯钦(AntoinedeMontchrestien，1575-1621)提出了“政治经济学(PoliticalEconomy)”一词。,Political一词源于古希腊语Politicos，意指社会。,经济的含义由“家庭财富管理”上升为“社会财富管理”,2020/5/30,十九世纪末以前:德国人用“(Nationalokonomie,NationalEconomy)”作为政治经济学的同义词，意为“国民经济学”，其含义多半停留在较窄的意义上。,1890年：英国经济学家马歇尔(AlfredMarshall,1842-1924)的著作“PrinciplesofEconomics”出版，“economics”替代“politicaleconomy”正式登场，并沿用至今。,2020/5/30,西文的“economy”怎么译成了汉语的“经济”？,19世纪日本人把希腊文的Oikonomia用汉字译成日文“经济”后，“经济”一词的这种含义就在我国所广泛采用。类似的词汇还有“函数”、“映射”等等。,19世纪中叶以前的一千多年中国是日本的老师，而19世纪中叶以后的一百多年日本是中国的老师。,西文的“economy”与汉语的“经济”含义是否一样呢？,我国古代就有“经济”这个词，意指“经国济民”，包括财富、文化、军事、外交等一切治国方针，范围很广，这与“economy”的含义存在着较大的偏差。,2020/5/30,现代经济学（economics）究竟是研究什么的呢？,萨缪尔森(P.Samuelson)在他的经济学一书中的所述：经济学研究人和社会如何作出最终抉择，在利用或不利用货币的情况下，使用可以有其他用途的稀缺的生产性资源来在现在或将来生产各种商品，并把商品分配给社会的各个成员或集团以供消费之用。它分析改善资源配置方式所需的代价和可能得到的利益。,核心思想：优化,消耗尽可能少的资源产生尽可能多的产出或“用效”（utility），这从本质上说明了经济学与数学的联系,2020/5/30,2020/5/30,解：利润函数为,2020/5/30,更复杂一点的：,2020/5/30,2007年：莱昂尼德赫维奇、埃里克马斯金以及罗杰迈尔森将博弈论的方法用于机制设计,2005年：罗伯特-奥曼和美国的托玛斯-谢林将博弈理论用于合作与冲突的研究。罗伯特-奥曼还是数学博士，多家数学杂志的编委。,2003年：罗伯特恩格尔和英国经济学家克莱夫格兰杰用“随着时间变化的易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济时间数列，即“自回归条件异方差性”（）理论,近年来因数学理论与方法的创新而获得诺贝尔经济学奖的例子：,2020/5/30,2001年：乔治阿克洛夫、迈克尔斯彭思和约瑟夫斯蒂格利兹；非对称信息市畅分析，以博弈论为工具。,1997年：罗伯特默顿和迈伦斯科尔斯；前者对布莱克斯科尔斯公式所依赖的假设条件做了进一步减弱，在许多方面对其做了推广。后者给出了著名的布莱克斯科尔斯期权定价公式，该法则已成为金融机构涉及金融新产品的思想方法。,1994年：约翰纳什、约翰海萨尼和莱因哈德泽尔腾；这三位数学家在非合作博弈的均衡分析理论方面做出了开创性的贡献，对博弈论和经济学产生了重大影响。,2020/5/30,如何学好数学？,学数学的目的：应用数学、创造数学,数学思维具体方法数学知识,数学知识和数学方法是基础，学习数学的终极目的是形成有特质的数学思维，以提高自身应用数学、创造数学的能力。,2020/5/30,大学数学学习与中学的不同之处：,1、内容多且深，定义、定理抽象，计算、推理过程延长，方法技巧多样灵活，常常让人陷入只见树木不见森林的困境；,2、时间紧迫，自学尤其重要，自学能力是大学学习期间最应该培养的能力，它很大程度决定了你在今后的社会竞争中的成败。,2020/5/30,趣味思考题：在电视台举办的你猜我猜节目中，参赛者面对三扇关闭的门，其中有一扇门的后面有一辆BW汽车，其余两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中的一扇，结果发现后面藏着一只山羊，这时主持人问参赛者，要不要