第3章：离散系统动力学参数

第一篇离散系统的线性振动,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3-1结构系统的离散化方法,离散化将结构系统简化为有限自由度系统,关键：合理考虑惯性力的作用，合理选择动力自由度,3.1.1质量集中法,将分布质量集中在有限个离散点，质点之间通过一定的弹性连接。,图3.1.2三层剪切框架及简化模型,只考虑竖向的惯性力，三个自由度；若考虑转动惯量，六个自由度；(3)再考虑水平位移，九个自由度。,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.1.2广义位移法,三个广义坐标，近似为三自由度,推广:,一维问题:,二维问题:,3.1.2广义位移法,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.1.3有限单元法,数学思想:,分片插值和变分原理,应用有限单元法进行结构系统动力分析的基本步骤:,(1)单元划分：选择合适的单元对结构进行离散；,(2)单元分析：计算单元的动能和势能及外力和阻尼力的功，应用哈密顿原理建立单元的运动方程；,(3)单元集总：组装所有的单元，形成整体运动方程；,(4)引入边界条件，消除刚体位移，修改运动方程；,(5)解动力方程，求固有频率、固有振形及结点动位移；,(6)用插值公式求出各单元内部各点的动位移和动应力。,F(t)等效激振力列阵。,M质量矩阵；,C阻尼矩阵；,K刚度矩阵；,3.1.3有限单元法,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3-2质量参数及其确定方法,质量参数与系统的动能密切相关！,例3.2.1图示等截面简支梁，设质量块在振动过程中梁的挠曲线可用单个正弦波函数来表示，试计算系统的动能，并确定作为单自由度系统的等效质量。,解：,梁挠曲线方程：,Y(t)是质量块的竖向位移，为广义坐标。,系统的动能：,等效质量：,3-2质量参数及其确定方法(例3.2.1),第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,例3.2.2考察例3.2.1中的简支梁，假设梁的挠曲线可用三个正弦波的和来表示，试计算系统的动能，并确定系统的质量参数。,解：,梁挠曲线方程：,系统的动能：,将式(3.2.4)代入式(3.2.5)，并利用正弦函数的正交性，得,矩阵形式：,例3.2.2,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,质量矩阵：,多自由度离散系统动能的一般表达式:,动能的矩阵形式:,多自由度离散系统动能的一般表达式,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,例3.2.3考察某一维的弹性体，长度为l，分布质量为m(x)。设弹性体的振动位移可用满足边界条件的位移函数的和来表示:,试求系统的质量矩阵。,解：,动能:,质量矩阵的系数:,对于有限单元法，质量矩阵与单元划分及单元形式有关。不论采用哪种方法，最后系统的动能都可以表达为式(3.2.8)的形式。,例3.2.3,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3-3能量耗散与阻尼参数的确定,系统的阻尼系数与系统在运动过程中所耗散的能量密切相关。,阻尼的主要形式:,内阻尼和外阻尼,内阻尼:也称结构阻尼，由材料的非弹性部分所致；,外阻尼：介质阻尼、库仑阻尼、连接阻尼等,3.3.1粘滞阻尼模型,阻尼力：,3-3能量耗散与阻尼参数的确定,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.3.2滞变阻尼模型,特点：振动时结构材料的应变的相位总是落后于应力的相位一个角度。,应力应变关系：,称为结构阻尼参数，远小于1,近似应力应变关系：,复弹性模量：,复刚度：,复阻尼理论：复阻尼的实部就是刚度系数，虚部代表的阻尼。,3.3.2滞变阻尼模型,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.3.3能量耗散与等效阻尼,运动方程：,对数衰减率:,各振动周期开始的能量:,能量耗散比:,3.3.3能量耗散与等效阻尼,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,阻尼系数的等效:,结构阻尼:,振动一个周期阻尼所耗散的能量相等。,等效粘滞阻尼：,一般等效原理:,在一个振动周期内阻尼力所做的虚功相等。,阻尼系数的等效,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,例3.3.1图示悬臂梁，自由端固定一个质量块。梁在l/3和2l/3处各安装一个阻尼器，阻尼系数分别为c1和c2，求等效阻尼系数ceq。,解：,近似取悬臂梁在自由端集中荷载作用下的静挠度曲线为梁的位移函数，以自由端的竖向最大位移为广义坐标。,例3.3.1,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.3.4多自由度粘滞阻尼系统的能量耗散与阻尼矩阵,N质点系统,l个完整约束，,n自由度，,广义坐标：,i质点所受的阻尼力:,广义力:,瑞雷(Rayleigh)耗散函数:,比较式(3.3.19)和(3.3.20)：,3.3.4多自由度粘滞阻尼系统的能量耗散与阻尼矩阵,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,用广义坐标表示广义力：,粘滞阻尼系统的拉格朗日方程：,除阻尼力以外的非保守力。,广义坐标表示R:,C为阻尼矩阵:,3.3.4续,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,矩阵形式:,阻尼矩阵:,瑞雷耗散函数:,例3.3.2图示双自由度系统，质量块的质量分别为m1和m2，刚度系数和阻尼系数分别为ki和ci(i=1,2,3)，试求系统的质量矩阵M和阻尼矩阵C。,解：取质量块的水平位移x1(t)和x2(t)为广义坐标,质量矩阵:,例3.3.2,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,弹性参数，包括刚度和柔度，与系统的变形能有关。,3-4弹性参数及其确定方法,弹簧的相对变形:,外力变形关系:,软弹簧:弹簧刚度随变形的增大而减少;,硬弹簧:弹簧刚度随变形的增大而增大。,小变形情况:,弹性恢复力:,3-4弹性参数及其确定方法,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,储存在弹簧内部的变形势能V等于外力在变形过程中所做的功,3.4.1并联弹簧和串联弹簧,并联弹簧的特点,总外力:,等效刚度系数:,各弹簧的变形相等:xi=x,3.4.1并联弹簧和串联弹簧,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,(2)串联弹簧的特点,各弹簧所受的力相等：,各弹簧的变形：,串联弹簧总变形：,等效刚度系数:,(2)串联弹簧的特点,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.4.2单自由度系统等效刚度系数的计算,关键：计算实际系统的变形势能！,例3.4.1图示简支梁，已知抗弯刚度EI，质量M和刚度系数k,试计算等效刚度系数。,解：以跨中的最大挠度Y(t)为广义坐标，分三种情况讨论：,(1)若M较小，用均布荷载作用下简支梁的挠曲线来表示变形。,等效刚度系数:,3.4.2单自由度系统等效刚度系数的计算，例3.4.1,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,(2)若M较大，用跨中受集中力作用的简支梁挠曲线来表示变形。,等效刚度系数:,(3)取梁的位移函数为单个正弦波,等效刚度系数:,结论:三种结果接近，为并联的弹簧组合。,例3.4.1,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.4.3等效激振力的计算,等效激振力与外力所做的功有关！,仍用例3.4.1的梁来说明计算过程。设梁受均匀分布的激振力作用：,等效条件：外力和等效激振力在任一虚位移上所做的虚功相等！,3.4.3等效激振力的计算,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.4.4多自由度系统的变形势能与刚度矩阵,考察在系统的平衡位置处对变形势能V作泰勒展开:,平衡位置:,保守力:,变形势能的矩阵形式：,刚度矩阵K的元素：,弹性恢复力矢量:,3.4.4多自由度系统的变形势能与刚度矩阵,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,例3.4.2试求例3.3.2中双自由度系统的刚度矩阵。,解：仍取两质量块的水平位移x1(t)和x2(t)为广义坐标,系统的势能:,矩阵形式:,刚度矩阵:,例3.4.2,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,3.4.5计算刚度系数的两种常用方法,(1)刚度法,为使系统沿qj方向产生单位位移而要在qi方向施加的力。,kij的物理意义:,平衡条件：,3.4.5计算刚度系数的两种常用方法,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,例3.4.3确定图示三层框架的质量矩阵和刚度矩阵。,解：集中质量系统,刚度系数:,例3.4.3,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,刚度矩阵:,(2)柔度法,柔度矩阵:,柔度系数ij的物理意义:,系统沿qj方向施加单位力而在qi方向产生的位移。,(2)柔度法,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,例3.4.4图示可忽略质量的弹性悬臂梁，上面有三个集中质量块，质量均为m，梁的抗弯刚度EI=常量。求系统的柔度矩阵和刚度矩阵。,解：用单位荷载法求柔度系数,例3.4.4,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,例3.4.5用柔度法重新计算例3.4.3。,解：,例3.4.5,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.1,3.1图示的三层框架，各层的层高为h，设各层立柱每单位长度总的质量为mi(i=1,2,3)，并假定各层立柱的变形可用直线形状来近似，试求系统的等效质量矩阵。,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.2,3.2在习题2.2中，若梁单位长度的质量为m=M/5a，试求系统的等效质量。,题2.2图,线性关系:,系统有两个自由度，取y1和y2为广义坐标。,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.3,3.3如图所示，质量块与支承面的摩擦系数为，阻尼力与接触面正压力之间的关系为FD=FN，这种阻尼机制称为库仑阻尼。(1)求等效阻尼和等效刚度；(2)建立系统的运动方程；(3)确定受迫振动的振幅A与激振频率p之间的关系。,(1)求等效刚度:,(2)求等效阻尼系数:,库仑阻尼力：,粘滞阻尼力：,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.3(续),(3)系统的运动方程:,(4)质量块动位移的振幅:,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.4,3.4五根弹簧的刚度系数分别为ki(i=1,2,5)，(1)k1和k2串联，k3和k4串联后，再与k5三者并联；(2)k1和k2并联，k3和k4并联后，再与k5三者串联。求两种情况下的等效刚度系数。,(2),第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.5,3.5不计梁的质量时，试求习题2.4所示系统的等效质量，等效阻尼和等效刚度；若梁单位长度的质量为m=M/l，求等效质量。,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.6,3.6在习题2.5中，设梁单位长度的质量为m=M/2l,求系统的等效质量。(提示：用自由端作用水平集中力时L形刚架的挠度曲线近似表示刚架的变形)。,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.7,3.7试求习题2.6所示系统的等效质量，等效阻尼和等效刚度。,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.8,3.8一根弹簧的原长为l0，刚度系数为k。现将弹簧截成两段，两段的长度分别为l0/3和2l0/3，试求两弹簧的刚度系数。,第3章离散系统的动力学参数及其确定方法,习题3.9,3.9外伸梁的尺寸如图所示，弹簧的刚度系数为k，伸臂的端点固定一质量为M的重物。(1)不计梁的质量，EI=，求系统的等效刚度和等效质量；(2)考虑梁的抗弯刚度和质量，设梁