复变函数论1-1

1,一、1545年意大利米卡当（JeromeCardan15011576）在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想，后人称为“卡当公式”。,复数的来源,二、法国数学家笛卡尔（15961650）给出“虚数”这一名称，他在几何学（1637年发表）中使“虚数”有了几何表示，从此，虚数流传开来。,三、瑞士数学家欧拉（Euler）1777年系统的建立了复数理论，创立了复变函数论的基本定理，首创了虚数单位“i”,使虚数的表示简洁而美观。,2,四、19世纪，经法国数学家柯西Cauchy,德国数学家黎曼Riemann和魏尔斯特拉斯Weierstrass的巨大努力，复函理论形成了非常系统的理论，并且渗透到数学的其他领域，在力学、电学等方面也有广泛的应用。,复数的来源,复变函数,解析函数论,函数论,解析函数,3,怎么学好复变函数?,复变函数就是复数域上的微积分,复变函数研究复函数的极限、连续、微分、积分、级数,复变函数的基础是数学分析,学习复变函数，可以更好的回顾数学分析的知识，还能更深刻的理解数分的相关知识,学好复变函数，可以用它的相关理论解决三角、几何、代数、分析中的一些问题,4,第一章复数与复变函数,1、复数域,2、复平面,3、复数的模与辐角,4、复数的乘幂与方根,5、复数的应用举例,第一节复数,5,1、复数域,1.1虚单位:,对虚数单位的规定:,6,虚数单位的特性:,7,1.2复数的代数形式的定义:,虚部记做：Imz=x,实部记做：Rez=x,8,例1,解,令,9,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.设：,当且仅当,Rez=0且,Imz=0,则有,10,1.3复数的代数运算,1.两复数的和:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,注：复数的加、减、乘法运算按多项式的运算规则,复数的除法运算按分母实数化进行,复数的四则运算与实数的四则运算保持一致,共轭复数,11,全体复数关于上述运算做成一个数域.称为复数域，用C表示.即,结论：一切代数恒等式在复数域内仍成立,12,由此可见,在复数中无法定义大小关系.,注：复数不能比较大小,复数域是无序域,13,1.4共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,14,15,例2,解,16,例3,解,17,例4,解,18,2、复平面,一一对应,有序实数对,一一对应,平面点,向量OZ,注：以后复数和点不加区别，,复平面,平面向量与复数一一对应,19,结论:,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,20,3、复数的模与辐角,模：,向量OZ的长度，称为复数Z的模，记为,模可以比较大小,几个常用的不等式,21,三角不等式：,点与点的距离：,表示以点a为圆心，R为半径的圆,注：复数差的模表示两点的距离,22,辐角：,实轴正向旋转至向量oz的角称为复数z的辐角，记为,规定：逆时针为正，顺时针为负,任一非零复数z有无穷多个辐角，,则称主辐角,则有,注：Argz与argz的区别,argz表示一个特定的辐角，,满足,23,辐角的求法：,先求主辐角argz,0,24,例1.2求,答案：,例1.3已知流体在某点M的速度,求其大小和方向.,答案：大小方向,25,复数的三角形式和指数形式,当r=1时，称为单位复数,引入欧拉公式：,三角形式：,指数形式：,以上式子中通常指主辐角,26,例1.4求下列复数的三角形式和指数形式,本节重点：掌握复数的代数运算,会写出复数的三角形式或指数形式,会求复数的模和辐角,27,例1.5将复数,化为指数形式.,解：原式=,28,利用指数形式做乘除运算,性质：,29,复数乘法的几何意义,对应的向量是把对应的向量伸缩倍，,再旋转的角度得到的.,(逆为正，顺为负),30,复数除法的几何意义,表示向量旋转至向量的角,几何中长度和角度问题可以用复数解决,31,4、复数的乘幂与方根,设,为正整数,乘幂,|z|=1时，得棣莫弗（DeMoivre）公式,32,方根,若,则称w为z的n次方根，记作,设,则有,z的n次方根为,33,有n个不同的值，记作,即,记,，则n个根分别为：,34,几何意义：非零复数z的n次方根均匀分布在中心在原点，半径为的圆周上.,n=6的情形,n个根分别为：,满足,所以,即z的n个n次方根的和为0,35,例计算下列数值,分别为：,分别为：,分别为：,36,例1.7求,解：有棣莫弗公式,因此,37,5、共轭复数的性质:,38,例1.9求复数的实部、虚部和模.,解：,所以,39,例1.10设是两个复数，试证,并用此等式证明三角不等式.,证,40,因为,即,减号的情形类似可证,41,例1.11,试证,解两端平方，即比较的大小,即,得证,42,6、复数在几何上的应用举例:,（1）曲线的复数方程,例1.12连接两点的线段的参数方程为.,过两点的直线的参数方程为.,43,三点共线,44,表示z平面上以为心，R为半径的