第12.4-节-二阶线性微分方程课件

第12章微分方程,12.4二阶线性微分方程,12.4二阶线性微分方程,高等数学,高等数学第12章微分方程,12.4二阶线性微分方程,一、二阶线性微分方程的形式,形如,（12.4.1）,的方程称为二阶线性微分方程，,（12.4.2）,称为二阶齐次线性微分方程，,否则，称为二阶非齐次线性微分方程,对应的二阶齐次线性微分方程,方程（12.4.2）称为二阶非齐次线性微分方程(12.4.1),12.4二阶线性微分方程,高等数学第12章微分方程,微积分第8章微分方程初步,8.4二阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程的通解结构,1、二阶齐次线性微分方程解的结构,定理12.4.1,（12.4.3）,也是方程方程（12.4.2）的解，,证明：,将（12.4.3）直接代入（12.4.2）的左端，,有,定理12.4.1,（12.4.3）,定理12.4.1表明方程（12.4.2）的两个解的线性组合仍是,该方程的解,但要注意，虽然（12.4.3）在形式上含有两个,但它却不一定是方程（12.4.2）的通解,（为常数）自然也是（12.4.2）的解，,由此两个解所构成的解,实质上只含有一个任意常数,因此，它不是二阶方程,（12.4.2）的通解,则,事实上，,不是通解的主要原因是,相互独立（即线性无关）的,为了解决这一问题，下面引入函数的线性相关与线性无关的概念,线性相关与线性无关:,使得,上的个函数，,在区间上线性相关;,则称这个函数,如果存在不全为零的常数,线性无关,例如，,是线性相关的，,因为,定理12.4.2,则,是方程（12.4.2）的通解,即它们是线性无关的,，(,(是任意常数),证明：直接验证即可,两个解,，,2、二阶非齐次线性微分方程解的结构,定理12.4.3,是其对应的齐次线性方程（12.4.2）的通解，,则,（12.4.4）,是非齐次线性微分方程（12.4.1）的通解,而,（12.4.1）,（12.4.2）,的一个特解，,由定理12.4.3可知，求二阶非齐次线性微分方程（12.4.1）,的通解，,关键在于求出它的一个特解和其对应齐次线性微分方程,（12.4.2）的通解,例如，对于二阶非齐次线性微分方程,由前面,又容易验证,是该方程的一个特解，,(是任意常数),是方程的通解,故,定理12.4.4,与,的解，,的解,另外，还可以用直接验证的方法证明下面定理,三、二阶常系数齐次线性微分方程,形如,（12.4.5）,为二次方程,（12.4.6）,的根,称（12.4.6）为方程（12.4.5）的特征方程，而称其根为,特征根,（12.4.5）,故方程的通解为,根的不同情况分三种情形讨论,下面根据特征,性无关的特解,将,，,代入方程（12.4.5），并化简得,代入方程（12.4.5），并化简得,将,，,（12.4.5）,所以有,及,积分两次得,积分两次得,故取,由此得,（8.4.5）的另一个特解,由定理12.4.2得方程（12.4.5）的通解为,则,由欧拉公式,另取（12.4.5）的两个线性无关解为,为方程（12.4.5）复数形式的解,由于这种复数形式的解在应用时不方便，在求解实际问题时，,常常需要实数形式的通解为此，,则得方程（12.4.5）实数形式的通解,方程（12.4.5）实数形式的通解为,则得方程（12.4.5）实数形式的通解,解,故所求通解为,的特解,解,微分方程对应的特征方程为,故方程的通解为,可得,解,所求通解为,通解的具体步骤如下：,第三步根据特征方程的两个根的不同情形，按照下表写出微分,求二阶常系数齐次微分方程,方程的通解：,两个不相等的实根,两个相等的实根,第三步根据特征方程的两个根的不同情形，按照下表写出微分方程的通解：,四、二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是,（12.4.7）,方程的通解，,一般非齐次线性微分方程（12.4.7）的特解与右端函数,有关，,由解的结构定理12.4.3，非齐次线性微分方程（12.4.7）的,而在一般情况下求（12.4.7）的特解是非常困难的，,1、,的特解,化简整理后，得,（12.4.8）,（12.4.7）,要使等式恒成立，两边的多项式次数相同且同次幂的系数也相等,，,可设,（12.4.8）,要使等式恒成立，两边的多项式次数相同且同次幂的系数也相等,的特征根分三种情况考虑：,此时（12.4.8）式左边的,可设,从而,此时(12.4.8)中的,应为m次多项式，因此可设,即有,即有,分方程（12.4.7）具有,的特解，,其中,是一个待定的,次的多项式，,而按,不是特征方程的根，,是特征方程的单根或是特征方程的重根,形如,（12.4.7）,2、,可以证明方程（12.4.7）具有形如,（12.4.9）,的特解，,；,上式均为常数，,或是特征方程单根，,是特征方程的单根,不是特征方程的根,是特征方程的重根,是特征根,不是特征根,解,本题中,为,型，,其中,对应齐次线性微分方程的特征方程为,解得特征根,对应齐次线性微分方程的通解为,故可设原方程的一个特解为,比较同类项系数有,非齐次方程的一个特解为,故所求通解为,设特解为,解,本题中,为,型，,其中,对应齐次线性微分方程的特征方程为,从而对应齐次线性微分的通解为,故设方程的特解为,代入原方程得,比较同类项的系数有,所以,为原方程的一个特解，,故所求方程的通解为,故可设原方程的一个特解为,解,其中，,微分方程对应齐次线性微分方程的特征方程为,解之得特征根,从而对应齐次线性微分方程的通解为,0次多项式，,可设方程的特解为,代入原方程得,从而得到方程