复变函数第1讲课件

1,复变函数与积分变换,主讲教师：吕巍然,中国石油大学应用数学系,2,复变函数与积分变换,主要内容：1.复变函数自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）.主要包含复数与复变函数；解析函数；复变函数的积分理论；级数理论；留数理论及其应用；共性映射等.2.积分变换主要包括傅立叶变换和拉普拉斯变换.,3,序言,预备知识、参考书主要用到高等数学的相关知识.1.西安交通大学复变函数2.南京工学院积分变换3.祝同江积分变换4.钟玉泉复变函数论学习进度、建议,4,序言,复数的引入及其发展过程：16世纪中叶，意大利人Cardano在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思想.例如，解简单的方程x2+1=0时就会遇到1开平方的问题.为了使负数开平方有意义，需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域.,然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，用它们进行计算时还有一些矛盾产生.例如后面要介绍莱布尼兹和贝努利的一个悖论.,5,怪杰,卡丹诺(GirolamoCardano;15011576),一个多才多艺的学者一个放荡不羁的无赖他精通数学、医学、语言学、天文学、占星学一生充满传奇，人们称他为怪杰.,6,1545年，卡丹诺在他的著作大术（ArsMagna）中，介绍了解三次方程的方法.,从此，解三次方程的方法，就被称为卡丹诺公式.,7,卡丹诺公式,解方程,公式：,例1解x3+6x=20,注意：m=6、n=20,x=,=2,8,解方程,公式：,例2解x3=15x+4,注意：m=15、n=4,x=,（无解）,但非常明显，x=4是方程的一个解！,为什么？,9,虚数,笛卡尔（RenDecartes;15961650）,法国著名的哲学家坐标几何的创始人1637年，他称一个负数的开方为虚数(imaginarynumber)但他不承认虚数是数字的一种.,10,序言,复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的虚数.直到十七和十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：,1.微积分的发展；2.复数与平面向量联系起来解决实际问题.,关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉作出的.他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的积分理论等.,11,序言,复变函数理论的重要意义十九世纪，复变函数的理论经过Cauchy、Riemann和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支.,复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用.比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一.,12,第一章复数与复变函数,主要内容,1、复数及其表示方法,2、复数运算,3、平面点集,4、复变函数的连续性,13,注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.,1复数及其四则运算,1、复数的概念,其中,实部,虚部,共轭,14,加、减：,乘法：,注:,2、复数的四则运算,除法：,15,容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.,另外，还经常用到以下性质：,提示：,16,2复数的表示法,1.复平面,基于这样一种原因，我们把此时的坐标平面称为复平面.,17,18,显然,把其中满足的0称为辐角Argz的主值，记作0=argz.,Argz=0+2k，k为整数.,19,复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式：,还容易看出,20,2、复数的三角表示,根据,上式称为复数的三角表示.,O,x,y,可以得到,3、复数的指数表示,由欧拉公式,21,x,y,O,N,S,z,P(z),z,球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,4.复球面,用来表示复数的这个球面称为复球面.,全体复数与复球面-N成一一对应关系.,22,因而球面上的北极N就是复数的几何表示.,x,y,O,N,S,z,P(z),z,扩充复平面的定义,规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应.,这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.,复平面加上后称为扩充复平面，记作C,23,这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为复球面.,把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面.,对于来说,实、虚部与辐角的概念无意义，其模为，对于其它复数z,则有z+.,24,例1.下列方程各表示什么曲线？,4）写出直线的复数形式方程.,1）,2）,解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，,所以，1）表示圆周，,3）,2）表示直线.,25,3）化为实方程，为此代入,，得,化简，得,，表示一条直线.,4）关键：由,得,，代入直线方程,，得,因而直线的方程为,，其中为实数.,26,27,28,本讲小结：,1、复数的各种表示法,2、复数的四则运算、共轭运算,29,另辟蹊径,韦达（FranoisVite;15401603）,法国人，律师兼业余数学家.在三角学、代数学、方程理论及几何学都有杰出贡献.1591年，利用恒等式cos3A=4cos3A3cosA，解三次方程.,30,一大突破,棣美弗（AbrahamdeMoivre;16671754）,法国数学家，早期概率理论著作者之一最著名的成就，是发现棣美弗定理，把三角函数引入复数运算之中.,31,复变函数的引入,欧拉（LeonhardEuler,1707-1783）,瑞士数学家.13岁入大学，17岁取得硕士学位，30岁右眼失明，60岁完全失明.著作非常多，深入每个数学分支，对后世影响深远.,32,复变函数的引入,1748年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，並写出以下公式：,1777年，在他的著作微分公式中，首次使用i來表示虚数.他创立了复变函数论，并把它们应用到水力学、地图制图学上.,33,几何解释,1797年，挪威数学家维塞尔（CasparWessel;17451818）提出复数的几何解释.,1806年，法国数学家阿根（JeanRobertArgand;17681822）亦提出