常微分方程ODE复习

1,常微分方程,2,基本概念,微分方程：含有未知函数的导数,（或微分）的方程。,常微分方程：未知函数是一元函数,的微分方程。,偏微分方程：未知函数是多元函数,的微分方程。,3,微分方程的阶：方程中未知函数的,导数的最高阶数。,一个微分方程，则称它为该微,分方程的解。,微分方程的解：若函数满足,微分方程的解可以是显函数，也可,为隐函数。,4,通解：如果微分方程的解中含有任意,常数，且任意常数的个数与微,分方程的阶数相同，该解称为,微分方程的通解。,初始条件：当自变量取某数值时，要,求未知函数及其导数取给定的,值，这种条件称为初始条件。,5,特解：满足给定初始条件的解，称为,微分方程的特解。,的几何图形，称为微分方程的,一条积分曲线。,积分曲线：微分方程的特解,6,一阶微分方程,一、变量可分离的微分方程：,行如：,解法：,两边积分有,7,例：1、求微分方程的通解。,2、求微分方程,满足初始条件的特解,3、,=,8,二、齐次型微分方程,行如：,代入有,如,9,三、一阶线性微分方程,行如：,当自由项时，即,称为一阶线性齐次微分方程。,称为一阶线性非齐次微分方程。,若,10,1、线性齐次微分方程的通解：,解法：,两边积分,11,2、线性非齐次微分方程的通解：,解法：采用常数变易法,设非齐次线性方程的通解为,代入方程经计算有,通解：,12,可降阶的二阶微分方程,一、型的微分方程：,解法：连续两次积分，通解含有,两个任意常数。,类似地，高阶方程,解法：n次积分。,13,二、型的微分方程：,特点：方程的右端不显含y,自变量，函数为一阶,微分方程。,14,三、型的微分方程,特点：方程的右端不显含x,解法：设,则,于是方程化为,此方程为一阶微分方程。,15,二阶线性微分方程,形如：,称为二阶线性微分方程,当时，方程,称为二阶线性齐次微分方程,16,一、线性微分方程解的结构,定理1：如果是线性齐次方程,的解，则和,也是线性齐次方程的解。,17,18,定理2：如果是线性齐次,方程,的两个线性无关解，则该方,程的通解为,19,定理3：如果是二阶线性非齐次,方程,齐次方程,的通解，则非齐次方程的通解为,的一个特解，是相应的,20,二、二阶线性常系数齐次微分方程,形如：,特征根法：,1、特征方程,2、求特征方程的根，即特征根,3、根据特征根的不同情况，写,出相应的齐次方程的通解。,21,若特征根为,（1）当是两个不相等的实根,齐通解为：,（2）当是两个相等的实根，齐通解为,复根，齐通解为,22,例：1、求微分方程,的通解。,2、求微分方程,的通解。,3、求微分方程,满足,的特解。,23,三、二阶线性常系数非齐次微分方程,非齐通解=非齐特解+齐通解,因此求二阶常系数非齐次微分方程的通解时，须先求出相应的齐次方程的通解，再求出非齐次微分方程的一个特解即可。,24,（1）自由项,的m次多项式,其中是常数，是关于x,特解形式为,其中是与同次的多项式,25,26,（2）当自由项,其中是常数，和分别,是次和次多项式,特解形如：,27,28,例：1、求微分方程,的通解,2、求微分方程,满足,的特解。,3、,29,若是x=A(t)x的基解矩阵，则向量函数=是x=A(t)x+f(t)的满足初始条件的解；向量函数=是x=A(t)x+f(t)的满足初始条件的解.,若