高等数学常微分方程的基本知识

2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,1,常微分方程,常微分方程基本知识线性微分方程组理论高阶线性微分方程微分方程定性方法初步,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,2,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。,常微分方程,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,3,微分方程:,联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.,为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,4,例1镭的衰变规律:,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,5,解:,即镭元素的存量是指数规律衰减的.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,6,将某物体放置于空气中,在时刻,时,测得它的温度为,10分钟后测量得温度为试决定此物,体的温度和时间的关系.,例2物理冷却过程的数学模型,Newton冷却定律:1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,7,设物体在时刻的温度为根据导数的物理意义,则温度的变化速度为由Newton冷却定律,得到,其中为比例系数.此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.,注意:此式子并不是直接给出和之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得与之间的关系式,以后再介绍.,解:,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,8,例3R-L-C电路,如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,9,电路的Kirchhoff第二定律:,设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),则电流经过电感L,电阻R和电容的电压降分别为其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律,得到,因为于是得到,这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.,解:,在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,10,例4传染病模型:长期以来,建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,11,解:,根据题设,每个病人每天可使,由于病人总人数为,所以每天共有,于是病人增加率为,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,12,练习,1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数,求该曲线所满足的微分方程.,解:,由题目条件有:,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,13,2.求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程.,解:设所求的曲线方程为,由导数的几何意义,应有,即,又由条件:曲线过(1,3),即,于是得,故所求的曲线方程为:,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,14,基本概念,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,15,定义:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,一、常微分方程与偏微分方程,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,16,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.,都是常微分方程,1.常微分方程,如,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,17,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.,注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.,2.偏微分方程,如,都是偏微分方程.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,18,定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,二、微分方程的阶,如:,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,19,n阶微分方程的一般形式为,一般要求解出最高阶导数：,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,20,通过引入n-1个新的未知变量，可以把n阶微分方程化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组：,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,21,一阶微分方程组的一般形式：,向量形式,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,22,是线性微分方程.,三线性和非线性,如,1.如果方程,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,23,是非线性微分方程.,如,2.n阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,24,四微分方程的解,定义,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,25,例2,证明:,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,26,1显式解与隐式解,相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.,隐式解.,注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,27,例如,有显式解:,和隐式解:,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,28,2通解与特解,定义如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.,例如:,n阶微分方程通解的一般形式为,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,29,注1:,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,30,注2:,注3:,类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.,以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,31,在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.,例如,定义,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,32,3定解条件,为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.,求满足定解条件的求解问题称为定解问题.,常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:,当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,33,注1:,注2:,用向量表示一阶微分方程组的初值问题通常记作：,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,34,例4,解,由于,且,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,35,解以上方程组得,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,36,五积分曲线和方向场,1积分曲线,一阶微分方程,称为微分方程的积分曲线.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,37,2方向场,在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.,所规定的方向场.,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,38,例5,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,39,例6,积分曲线,方向场,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,40,方向场示意图,积分曲线,例7,2007年8月,南京航空航天大学理学院数学系,41,六解的存在唯一性定理,在闭域,上满足Lipschitz条件：,则上述初值问题在下属区间