六校联考理数演练学本校答案

书书书 六校联考数学? 理科? 试题参考答案? ? 湖南省? ? ? ?届高三六校联考试题 数学? 理科? 参考答案 命题学校? 长沙市一中 一? 选择题? 本大题共? ?小题? 每小题?分? 在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符合题目要求的? 题?号 ? ? ? ? 答?案 ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 考虑? ? ? ? ?在? ? ? ? ?方向上的投影即可? ? ? ? 解析? 由? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的对称轴方程为? ?可知? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? 又 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的对称中心为 ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? 选? ? ? ? 解析? 直线? ?在过点?且与?垂直的平面内? 又点?在内切球的球面上? 故点?的轨迹是正方体 的内切球与过?且与?垂直的平面相交得到的小圆?可求得点?到此平面的距离为? 截得小圆的半径为 ? 所以点?的轨迹的长度为? ? ? ? ? ? ? 解析? 依题意? 存在? ? 使得? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因而? ? ? ? ? ? ? ? ? 即函数? ? ? ?与? ? ? ? ? 的图象在? 上有交点? 如图所示? 可 知若函数? ? ? ?与? ? ? ? ? 的图象在? 上有交点? 则当? ?时? 满足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ?槡 ? 易知当? ?时? 函数? ? ? ?与? ? ? ? ? 的图象在? 上恒有交点? 故?的取值范围是? 槡 ? 六校联考数学? 理科? 试题参考答案? ? 二? 填空题? 本题共?小题? 每小题?分? ? ? ? ? ? 解析? 由条件易知?层中抽取的样本数是? 设?层总体数是? 则又由?层中甲? 乙都被抽到的概 率是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可得? ? 所以总体中的个数是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由三视图知? 商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成? 由题意得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? 解析? 设双曲线的左焦点为? ? 连结? ? ? 易知点?到双曲线的渐近线的距离为? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 由任意两项之和? ? 是数列 ? ? ? ? 中的一项知? 公差?是? ? ? ? 的约数? 即? ? ? ? ? ? 则?的所有可能取值的和为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 三? 解答题? 解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤? ? ? ? ? 解析? ? 如图? 连接? ? 在? ? ?中? 由余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在? ? ? ? ?中? 所以? ? ? ? ? ? 槡 ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 槡? ? ? ? ? ?分? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在? ? ?中? 由正弦定理? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当? ? ? ? 即? ? ?时? ? ? ?取得最大值为 槡? ? ? ? ? ? ? 即生活区? ? ?面积的最大值为 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 注? 第? 问也可用余弦定理和均值不等式求解? 六校联考数学? 理科? 试题参考答案? ? ? ? ? ? 解析? ? 当?为? ?中点 即? ? ? ? ? ? ? 时? 平面? ? ?平面? ? ? ?分? ? ? 证明如下? 由于? ? ? ?且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故?四点共面? ? ?分? 连接?交? ?于?在正方形? ? ?中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? ? ? 即? ?又?平面? ? ? ? ?平面? ? ? 所以? ? ? 又因为? ? 故? ?平面? ? 从而平面? ? ?平面? ? ?分? ? ? 三棱柱? ? ?中? ? ? ? ? ? ?底面? ? ? 于是可以以? 为原点? ? ? ? ?所在的直线分别为?轴建立空间直角坐标系? 如图 所示? 因为? ? ? ?分别是棱? ? ?的中点? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? 知平面? ?的法向量为? ? ? ? ? ? ?分? ? 设平面? ?的法向量为? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ?得? ? ? ? ?分? ? 设平面? ?与平面? ?所成的锐二面角为? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? 解析? ? 设?为?瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数? 所求的概率为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以?瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为? ? ? ? ? ?分? ? ? 设? ? ? 则? ? ? ? 方案一? 设所需化验的次数为? 则?的所有可能取值为? ?次? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 方案二? 设所需化验的次数为? 则?的所有可能取值为?次? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? 所以方案二更适合? ? ?分? ? ? ? ? 解析? ? 由题设知? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? 故所求椭圆?的方程是? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 六校联考数学? 理科? 试题参考答案? ? ? ? ? ? 则有? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 化简得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 对于直线? ? ? ? 同理有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是? ?是方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的两实根? 故? ? ? ? ? ?分? ? 考虑到? ?时?是椭圆的下顶点?趋近于椭圆的上顶点? 故? ?若过定点? 则猜想定点在?轴上? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线? ?的斜率为? ? ? ? ? ? ?分? ? 直线? ?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故直线? ?过定点? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? ? ? ? 故? 单调递增? 故不可能存在两个零点? 不符合题意? 当? ?时? ? ? ? ? ?有唯一解? 此时? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? 注意到? ? ? ? 因此? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? 当? ?时? ? 单调递增? 的值域为? 不符合题意? 当? ?时? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? 也不符合题意? 当? ?时? 由? 可知? ? ? ? ? 故只需? ? ? ? 令? ? ? 上式即转化为? ? ? ? ?分? ? 设? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? 因此? ? 在? 上单调递增? 在? 上单调递减? 从而? ? ? ? ? 所以? ? ? ? 因此? ? ? ? ? ? 从而有? ? ? ? ? ? ? 故满足条件的实数为? ? ? ?分? ? ? 由? 可知? ? ? ? ? ? ? ? 因而只需证明? ? 恒有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注意到前面已经证明? ? ? ? ? ? 因此只需证明? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 当? ?时? 恒有? ? ? ? ? ? ? ? ? 且等号不能同时成立? 当? ? ?时? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? 时? ? ? ? ? 是单调递增函数? 且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因而? ? 时恒有 ? ? ? ? ? 从而? 时? 单调递减? 从而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 请考生在第? ? ? ? ? ? 两题中任选一题做答? 如果多做? 则按所做的第一题计分? ? ? ? ? 解析? ? 已知曲线?的标准方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则其左焦点为 槡? ? ? ? ? ? 六校联考数学? 理科? 试题参考答案? ? 故? 槡? ? ? 曲线?的方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? 直线?的参数方程为 ?槡? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 与曲线?的方程? ? ? ? ? ? ? ?联立? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡?槡? ? ? 故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? 解析? ? 当? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 无解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得?