北京海淀区高三下学期期试数学理

高三理科 1 / 8 海淀区高三年级第海淀区高三年级第二二学期期学期期中中练习参考答案练习参考答案 数学（数学（理理科）科） 2017.4 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B C C D B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题小题,每小题每小题 5 分分, 有两空的小题，第一空有两空的小题，第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分，分， 共 30 分） 9 2，21 n 10 2 2 1 3 y x 11. 1 90 , 3 12. 120 13 1 2 142 2 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分) ) 15.（本小题满分 13 分） 解： （）由题意可知 ( )0 3 f，即 2 2 ( )2cossin10 333 fa 即 2 13 ( )210 322 fa ， -4 分 说明：说明：每个三角函数值每个三角函数值 2 2 分分 解得3a . -1 分 （）由（）可得 2 ( )2cos3sin21f xxx cos23sin22xx -2 分 5 2sin(2)2 6 x -2 分 函数sinyx的增区间为 2 ,2 , 22 kkkZ. -2 分 由 5 2 22 262 kxk，k Z， -1 分 得 2 36 kxk，k Z， 所以，( )f x的单调递增区间为 2 , 36 kk，k Z. -1 分 说明：其它解法对照上述评分原则相应给分说明：其它解法对照上述评分原则相应给分 16.（本小题满分 13 分） 解： （）本次协议的投资重点为能源，-1 分 高三理科 2 / 8 因为能源投资 340 亿，占总投资 460 亿的 50%以上，所占比重大， -2 分 理由评价标准： 若无数据说明理由评价标准： 若无数据说明 0 0 分； 若分； 若只说只说 3 34040 亿给亿给 1 1 分分； 若； 若阐述数据比例关系阐述数据比例关系或指明能源投资或指明能源投资 340340 亿大于其它项目总和亿大于其它项目总和，给满，给满 2 2 分分 （）设事件 A：从 12 个月中任选一个月，该月超过 55 百万吨. -1 分 根据上面提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是： 56，49，58，54，54，57，59，58，58，56，54，56， -2 分 其中超过 55 百万吨的月份有 8 个， -2 分 所以， 82 ( ) 123 P A ； -2 分 （）X 的数学期望8EX .-3 分 17.（本小题满分 14 分） 解： 说明：本题下面过程中的标灰部分说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分不写不扣分 （）在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面ABC， 故 ACCC1， -1 分 由平面 CC1D平面 ACC1A1且平面 CC1D平面 ACC1A1=CC1，-1 分 所以 AC平面 CC1D，-1 分 又 C1D平面 CC1D， 所以 ACDC1. -1 分 （）在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC， 所以 1 AAAB， 1 AAAC， -1 分 又 BAC=90 ， 所以，如图建立空间直角坐标系Axyz-， 依据已知条件可得(0, 0, 0)A，(0, 3, 0)C， 1(2, 3,0) C， (0, 0,1)B， 1(2,0, 1) B，(1, 3, 2)D， 所以 1 (2,0,0)BB ，(1, 3,1)BD，-1 分 设平面 1 DBB的法向量为( , , )x y zn， 由 1 0, 0, BB BD n n 即 20, 30. x xyz -1 分 令1y ，则3z ，0 x ，于是(0,1,3)n，-1 分 因为M为 1 DC中点，所以 3 ( , 3,1) 2 M，所以 3 ( , 3,1) 2 AM ， 由 3 ( , 3,1) (0,1,3)0 2 AM n可得AM n，-1 分 所以AM与平面 1 DBB所成角为0， -1 分 即/AM平面 1 DBB. （）由（）可知平面 1 BB D的法向量为(0,1,3)n 设BPBC ，0,1， -1 分 M x y 高三理科 3 / 8 则(0, 3 ,1)P，( 1,33,1)DP . 若直线DP与平面 1 DBB成角为 3 ，则 2 2 3 3 cos, 2 2 445 DP DP DP n n n ， -1 分 解得 5 0,1 4 ， -1 分 故不存在这样的点 -1 分 说明：说明：如果学生如果学生如右图建系，关键如右图建系，关键量的量的坐标如下：坐标如下： （） 1 (0,2,0)BB ，( 3,1,1)BD， 由 1 0, 0, BB BD n n 即 20, 30. y xyz (1, 0,3)n， 3 ( 3,1) 2 M，所以 3 ( 3,1) 2 AM ， （） 由 （） 可知平面 1 DBB的法向量为(1, 0,3)n 设BPBC ，0,1， 则( 3 ,0,1)P，( 33,1,1)DP . 18.（本小题满分 13 分） 解：法 1： （）由 2 ( )24(1)ln(1)f xxaxax可得 函数定义域为( 1,) ， -1 分 4(1) ( )22 1 a fxxa x -1 分 2 2(1)(2 ) 1 xa xa x 2(1)(2) 1 xxa x , -1 分 由( )0fx 得 12 1,2xxa.-1 分 因为3a ，所以21a. 当1a 时，21a ，所以( )( )fxf x，的变化如下表： M 高三理科 4 / 8 x ( 1,1) 1 (1,) ( )fx 0 ( )f x 极小值 -1 分 当13a时，121a ， ( )( )fxf x，的变化如下表： x ( 1,2)a 2a (2,1)a 1 (1,) ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 -1 分 综上，1x 是函数( )f x的极值点，且为极小值点.-1 分 （）易知(0)=0f， -1 分 由（）可知， 当2a 时，函数( )f x在区间0,1上单调递减， -1 分 所以有( )0f x 恒成立； -1 分 当23a时，函数( )f x在区间0,2a上单调递增， -1 分 所以(2)(0)0f af，所以不等式不能恒成立； -1 分 所以2a 时有( ) 0f x 在区间0,1上恒成立. -1 分 法 2： （）由 2 ( )24(1)ln(1)f xxaxax可得 函数定义域为( 1,) ， -1 分 4(1) ( )22 1 a fxxa x -1 分 2 2(1)(2 ) 1 xa xa x 令 2 ( )(1)(2)g xxa xa，经验证 (1)0g ， -1 分 因为3a ，所以 ( )0g x 的判别式 222 (1)4(2)69(3)0aaaaa，-1 分 高三理科 5 / 8 说明说明：写写明明 222 (1)4(2)69(3)0aaaaa也可以也可以 由二次函数性质可得，1 是 2 ( )(1)(2)g xxa xa的异号零点， -1 分 所以 1 是 ( )fx的异号零点， -1 分 所以1x 是函数( )f x的极值点. -1 分 （）易知(0)=0f， -1 分 因为 2(1)(2) ( ) 1 xxa fx x ， 又因为3a ，所以21a， 所以当2a 时，在区间0,1上 ( )0fx ，所以函数( )f x单调递减， -1 分 所以有( )0f x 恒成立； -1 分 当23a时，在区间0,2a上 ( )0fx ，所以函数( )f x单调递增， -1 分 所以(2)(0)0f af，所以不等式不能恒成立； -1 分 所以2a 时有( ) 0f x 在区间0,1上恒成立. -1 分 19.（本小题满分 14 分） 解： （）由已知可知 1( 1,0) F ，又直线l的斜率为 1，所以直线l的方程为1yx 设 A( 11 ,x y)，B( 22 ,xy)， 由 2 2 1, 1, 2 yx x y 解得 1 1 0 1 x y ， 2 2 4 3 1 3 x y ，-2 分 所以 AB 中点 M 2 1 (, ) 3 3 ，-1 分 于是直线OM的斜率为 1 3 2 3 1 2 -2 分 （）解法 1： 假设存在直线 l，使得 2 AMCMDM成立 当直线 l 的斜率不存在时，AB 的中点( 1,0)M ， 所以 2 2 AM ，( 21)( 21)1CMDM，矛盾； -1 分 高三理科 6 / 8 故可设直线 l 的方程为：(1)(0)yk xk，联立椭圆 G 的方程， 得： 2222 (21)42(1)0kxk xk， 设 A( 11 ,x y)，B( 22 ,xy)，则 2 12 2 4 21 k xx k ， 2 12 2 2(1) 21 k x x k ，-1 分 于是， 2 1212 2 2 (1)(1) 2221 yyxxk kk k 2 21 k k ， 点 M 的坐标为( 2 22 2 , 21 21 kk kk ), -1 分 22 12 (1)()ABkxx= 22 22 22 42(1) 1()4 2121 kk k kk = 2 2 2 2 (1) 21 k k -2 分 直线 CD 的方程为： 1 2 yx k ，联立椭圆 G 的方程，得： 2 2 2 4 21 k x k ，-1 分 设 C(x0，y0)，则 2 222 000 2 1 (1) 4 OCxyx k 2 2 41 21 k k ， 由题知， 2 22 44(|)(|)4(| )ABCMDMCOOMCMOMCOOM， 即： 22 22 8 (1) (21) k k 222 222 41(41) 4() 21(21) kkk kk ，-1 分 化简，得： 2 1 2 k ，故 2 2 k ，-1 分 所以直线 l 的方程为： 22 (1),(1) 22 yxyx-1 分 （II）解法 2： 假设存在直线l使得 2 AMCM DM成立 由题意直线l的斜率不与x轴重合，设直线l的方程为1xmy，-1 分 由 22 1 22 xmy xy ， 得 22 (2)210mymy ， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B x y则 1212 22 21 , 22 m yyy y mm ，-1 分 2 222 12 222 242 2(1) 1(1) () 222 mm ABmyym mmm ，-2 分 2 1212 22 24 ()22 22 m xxm yy mm ， 所以AB中点M的坐标为 22 2 (,) 22 m mm ，-1 分 所以直线CD的方程为： 2 m yx ， 高三理科 7 / 8 由 22 2 22 m yx xy ， 得 2 2 4 2 x m ， 由对称性，设 00 (,)C x y，则 00 (,)Dxy，即 2 0 2 4 2 x m ，-1 分 22222 22 000 22 (4)(1) 11(1) 444(2) MMM mmmmm CM DMxxxxxx m ， 由| 2|ABAM， 2 AMCM DM得 2 4ABCM DM， 即 2 222 222 2 2(1)(4)(1) 4 2(2) mmm mm ，-1 分 解得 2 2m ，故2m ，-1 分 所以直线l的方程为：21,21xyxy.-1 分 20.（本小题满分 13 分） 解： （） 12 1,2aa. -2 分 （）先证必要性 因为 12 1,2aa，又 12 , n a aa成等差数列，故 n an，所以 (1) ( ) 2 n n S A ；-1 分 再证充分性 因为 12n aaa， 12 , n a aa为正整数数列，故有 1234 1,2,3,4, n aaaaan, 所以 12 ( ) n S Aaaa (1) 12 2 nn n , 又 (1) ( ) 2 n n S A ，故 m am(1,2, )mn，故 12 , n a aa为等差数列. -4 分 （）先证明 1 2(1,2, ) m m amn . 假设存在 1 2p p a ，且p为最小的正整数. 依题意3p,则 21 121 12221 pp p aaa ，又因为 12n aaa, 故当 1 (21,) p p ka 时，k不能等于集合A的任何一个子集所有元素的和. 故假设不成立，即 1 2(1,2, ) m m amn 成立. 高三理科 8 / 8 因此 1 12 201712221 nn n aaa , 即22018 n ，所以11n . -2 分 因为2017S ，则 121 2017 nn aaaa ， 若20171 nn aa时，则当(2017,) nn ka a时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k， 故20171 nn aa，即1009 n a . -2 分 此时可构造集合1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A. -1 分 因为当2,2 1k时，k可以等于集合1,2中若干个元素的和， 故当 2222 2