四校联考高二理科数学

高二理科数学答案第 1 页（共 8 页） 2018201820192019 学年下学期佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中学年下学期佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中 期末联考高二年级理科数学答案期末联考高二年级理科数学答案 命题学校：石门中学命题学校：石门中学命题人：刘振龙命题人：刘振龙 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。分。 题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212 答案答案D DA AC CB BA AB BC CC CA AB BD DA A 二、填空题：二、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13 34 55 i；14 113 2 ；1521n；16 3 3 8 ； 选择题和填空题部分题目详解选择题和填空题部分题目详解 4【解析】【解析】当汽车停止时， 20 ( )1240 1 v tt t ，解得：4t 或2t （舍去负值） 所以 4 24 0 0 20 (124)(12220ln(1)|1620ln5 1 stdtttt t 12【解析】【解析】不妨设 12 xx， 12 12 ()() 1 f xf x xx ，可得： 1122 ()()f xxf xx 令( )( )F xf xx，则( )F x在1,2单调递减，所以 ( ) 0F x 在1,2上恒成立 2 (1) ( )10 x aex F x x 当1x 时，aR 当(1,2x时， 2 ( ) (1) x x ag x ex ，则 2 2 (22) ( )0 (1) x x xx g x ex 所以( )g x在1,2单调递减，是 min 2 4 ( )(2)g xg e ，所以 2 4 (,a e 15【解析解析】 （数学归纳数学归纳法法）由 1 3a ， 2* 1 234 , nn Snann nN ，可得 2 5a ， 3 7a 归纳猜想：21 n an，再由数学归纳法可证明结论成立。 16【解析】【解析】由由22ABR所以可知AB为直径，所以 2 C ，设A 则2cosAC，在ACD中，有 2 2cos,2cos sin ,ADCD 所以ACD的面积 3 1 ( )2cossin ,(0,) 22 SAD CD 高二理科数学答案第 2 页（共 8 页） 方法一方法一： （导数法）（导数法） 2222 ( )2cos(cos3sin)2cos(cos3sin )(cos3sin )S 所以当(0,) 6 时， ( ) 0S，当(,) 6 2 时， ( ) 0S， 所以( )S在(0,) 6 上单调递增，在(,) 6 2 上单调递减， 所以当 6 时，ACD的面积的最大值为 3 3 () 68 S 方法二方法二： （均值不等式）（均值不等式） 222 2622 coscoscos ( )4cossin4 27sin 333 S 因为 222 2 222 24 4 coscoscos sin coscoscos1 333 sin() 33344 当且仅当 2 2 cos sin 3 ，即 6 时等号成立，即( )S 4 13 3 4 27 48 三、解答题三、解答题：共共 7070 分。分。 17 【解析】 （1）( )f x的定义域为(0,1)(1,)1 分 2 ln1 ( ) (ln ) x fx x ， 2 分 当 ( ) 0fx 时，xe，( )f x单调递增；3 分 当 ( ) 0fx 时，01x或1xe，( )f x单调递减； 4 分 所以( )f x的增区间为( ,)e ；( )f x的减区间为(0,1)，(1, ) e6 分 （2）由（1）知( )f x在2, e单调递减， ,3e单调递增；7 分 知( )f x的最小值为( )f ee， 又 23 (2),(3) ln2ln3 ff9 分 232ln33ln2ln9ln8 (2)(3)0 ln2ln3ln2ln3ln2ln3 ff 10 分 所以( )f x在2,3上的值域为 2 , ln2 e， 所以实数m的取值范围为 2 (,) ln2 e12 分 高二理科数学答案第 3 页（共 8 页） 1818【解析【解析】 （1）由题意，男生人数为 550 10055 1000 ， 女生人数为 450 10045 1000 ， 1 分 所以 22 列联表为： 选择“物理”选择“历史”总计 男生451055 女生252045 总计7030100 45,20ab2 分 假设 0 H：选择科目与性别无关,所以 2 K 的观测值 2 100(45 2025 10) 8.1296.635 70 30 55 45 k ，4 分 查表可得： 2 P Kk0.01,所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关5 分 （2）从 45 名女生中分层抽样抽 9 名女生，所以这 9 名女生中有 5 人选择物理，4 人选择历 史，9 名女生中再选择 4 名女生，则这 4 名女生中选择历史的人数X可为 0，1，2，3，4 设事件X发生概率为()P X，则 4 5 4 9 5 (0) 126 C P X C ， 31 54 4 9 40 (1) 126 C C P X C ， 22 54 4 9 60 (2) 126 C C P X C 13 54 4 9 20 (3) 126 C C P X C ， 4 4 4 9 1 (4) 126 C P X C 10 分 所以X的分布列为： X01234 P 5 126 20 63 10 21 10 63 1 126 所以X的数学期望 5406020116 01234 1261261261261269 EX 12 分 高二理科数学答案第 4 页（共 8 页） 1919【解析【解析】 （1）( )f x的定义域为(0,)1 分 2 2 2 ( ) mxxm fx x ， ( ) 0,fx 则 2 20mxxm2 分 当0m 时，则 ( ) 0fx ，( )f x在(0,)单调递减； 3 分 当01m时， 2 20mxxm，0 有两个根 12 ,x x，不妨设 12 xx 则 22 12 1111 , mm xx mm ，由 1212 2 0,1xxx x m ，所以 12 0 xx 所以 ( ) 0fx 时， 12 xxx，( )f x单调递减； ( ) 0fx ， 1 0 xx或 2 xx，( )f x单调递增；5 分 当1m 时，方程 2 20mxxm的0 ，则 ( ) 0fx ，( )f x在(0,)单调递增； 综上所述：当0m 时，( )f x的减区间为(0,)； 当01m时，( )f x的减区间为 22 1111 (,) mm mm ， ( )f x增区间为 2 11 (0,) m m 和 2 11 (,) m m 当1m 时，( )f x的增区间为(0,)7 分 （2）令( )( )( )F xf xg x， 2 ( )2ln me F xmxx xx 8 分 22 22 222() ( )0 mxxmemxmex F x xx ，所以( )F x在1, e单调递增 (1)20Fe ，( )4 m F eme e ， 要 使 得( )0F x 在1, e有 解 ， 当 且 仅 当 ( )40 m F eme e ，解得： 2 4 1 e m e 12 分 20【解析】 （1）由题意得样本中包裹件数在 101300 之间的天数为 36，频率 363 605 f ， 故可估计概率为 3 5 ， 未来 5 天中， 在 101300 之间的天数服从二项分布， 即 3 (5, ) 5 XB， 故所求概率为 514 5 2232853 1(0)(1)1 ( )( ) 5553125 P XP XC 4 分 高二理科数学答案第 5 页（共 8 页） （2）样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：kg）12345 快递费（单位：元）1015202530 包裹件数43301584 故样本中每件快递收取的费用的平均值为 10 43 15 3020 1525 830 4 15 100 故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为 15 元. 6 分 代办点不应将前台工作人员裁员 1 人，理由如下： 根据题意及（2），搅件数每增加 1，代办点快递收入增加 15（元） ， 若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，代办点每日揽件数情况如下： 包裹件数范围0100101200201300301400401500 包裹件数（近似处理）50150250350450 实际揽件数50150250350450 频率0.10.10.50.20.1 ( )E Y50 0.1 150 0.1250 0.5350 0.2450 0.1260 故代办点平均每日利润的期望值为 1 260 153 110970 3 （元） ； 8 分 若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，代办点每日揽件数情况如下： 包裹件数范围0100101200201300301400401500 包裹件数（近似处理）50150250350450 实际揽件数50150250300300 频率0.10.10.50.20.1 ( )E Y50 0.1 150 0.1250 0.5300 0.2300 0.1235 则代办点平均每日利润的期望值为 1 235 152 110955 3 （元）11 分 故代办点不应将前台工作人员裁员 1 人.12 分 高二理科数学答案第 6 页（共 8 页） 2121【解析】【解析】() 曲线 yf x和曲线 yg x都过点(0,1)P， 所以 01fa， 01gd1 分 (cossin ) x fxexxb， 011fb ，所以0b cosgxxxc， 011gc ，所以2c 2 1 cos ,sin21 2 x f xex g xxxx3 分 所以 (cossin )2cos() 4 xx fxexxex ， 4 分 当 2cos()0 4 x fxex ， 3 22, 44 kxkkZ 当 2cos()0 4 x fxex ， 5 22, 44 kxkkZ 所以 f x的增区间 3 (2,2), 44 kkkZ ，减区间为： 5 (2,2), 44 kkkZ 6 分 （）先证：cos(cos2)sin2 xx exxxxe 即证：(cos2)(cos2)sin x exxxx 因为0 x ，1cos1x ，所以cos20,cos20 xxx 即证： sin cos2cos2 x ex xxx 8 分 令( ) cos2 x e F x xx ， sin ( ) cos2 x G x x 2 (sincos1) ( ) (cos2) x exxx F x xx ，因为0 x ，所以sin0,1cos0 xxx 所以( ) 0F x ，所以 ( )(0)1F xF 10 分 令sin ,cosvx ux，所以( ) 2 v G x u 表示两点( , )A u v与(2,0)B 斜率k， 其中 22 1uv，由图可知(2)vk u与圆 22 1uv相切k有最大值111 分 max ( )1G x，( )1( )F xG x ，所以 ( )sin 2 x f xg xxe。 因为2 ,cos(cos2)sin2(cos2)sin xxx exxxxexxxe12 分 高二理科数学答案第 7 页（共 8 页） 方法二：方法二：证明：cos(cos2)sin2 xx exxxxe 当sin0 x 时 由0,cos20,(cos2)0,(cos2)sin0 x xxxexxxx 所以(cos2)(cos2)sin x exxxx 当sin0 x 时， 因为cos sin2xx 所以(cos2)sin(cossin )(cos2)sin2 xx xxxxx exxxe 下证：cos(cos2)sin(cossin ) xx exxxxxx e 化简可得：(cos2)sinsin0 x xxxxe 因为0,cos20,xxx 当sin0 x 时，cos20 x xxe 令( )cos2 x F xxxe， ( ) 1sin x F xxe ， ( ) cos0 x Fxxe ( ) F x在(0,)单调递减，所以 ( )(0)0F xF 所以 ( )F x在(0,)单调递减，所以( )(0)0F xF 综上所述：cos(cos2)sin2 xx exxxxe 2222【解析】【解析】(1) 2222 1:( )(cos)(sin)1 5 x Cy，化简： 2 2 1 5 x y 2 分 2 C：coscossinsin8 33 ，由= cos , = sin ,xy 化简可得：3160 xy 4 分 所以 1 C的普通方程为： 2 2 1 5 x y， 2 C的直角坐标方程为： 3160 xy；5 分 (2)