第九章--质点运动微分方程

1,第三篇动力学,2,动力学,引言,一.研究对象：,二.力学模型：,研究物体的机械运动与作用力之间的关系,2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。,1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。,刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成,又称为不变质点系。,3,动力学,自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。,三.动力学分类:,质点动力学质点系动力学,质点动力学是质点系动力学的基础。,四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。,综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。,4,9-1动力学基本定律9-2质点运动微分方程,第九章质点运动微分方程,5,动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为动力学的基本定律。,9.1动力学基本定律,任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态不变。,一.第一定律（惯性定律）,质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性,事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为平衡力系，则等效于质点不受力。,该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。,动力学,6,二.第二定律（力与加速度关系定律）质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。,由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式为动力学基本方程。,注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F为这些力的合力。,动力学,7,四第三定律（作用反作用定律）,五力学单位制,国际单位制的基本单位：长度m，质量kg，时间s；导出单位：力N，加速度m/s2,能J=Nm导出单位是通过基本单位用代数式表示的单位。辅助单位：rad(弧度),注意：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律并不对任何坐标都适用。,两物体之间的作用与反作用力总是大小相等、方向相反、作用线在沿同一直线上。,应说明：此定律它不仅对静力问题适用，对运动问题也适用。,凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。,动力学,8,9-2质点运动微分方程,将动力学基本方程用微分形式表示所得到的方程称为质点运动微分方程。,1.矢径形式的质点运动微分方程由动力学基本方程：由运动学可知：,于是可得：,或,2.直角坐标形式的质点运动微分方程,动力学,9,3、自然坐标形式的质点运动微分方程,或,4、用质点运动微分方程解题,第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。,第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。,动力学,10,应说明的是:,1、当力是常数或是时间的简单函数时，有则。,2、当力是位置的简单函数时，有,分离变量积分,3.、当力是速度的简单函数时，有分离变量积分,利用循环求导变换,则有,动力学,11,动力学,1.第一类：已知质点运动，求作用在质点上的力（微分问题）,质点动力学两类问题的求解,解题步骤和要点：正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。求解未知量。,12,动力学,2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力,也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。,解题步骤如下：正确选择研究对象。正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。,13,动力学,选择并列出适当的质点运动微分方程。,如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量。,求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。,如力是位置的函数，需进行变量置换,14,动力学,【例9-1】质点的质量m=0.1kg,按的规律作直线运动，x以米计，时间以秒计，试求该质点所受的力，并求其极值。,解：,当质点做直线运动时其运动微分方程为,则作用在该质点上的力为：,对上式求导取极值：,15,动力学,得时间：,将t=3代入上式：,【例9-2】质点的质量m,在力的作用下，沿x轴做直线运动，当运动开始时，试求质点的运动规律。,解：,采用直角坐标形式的质点运动微分方程，即,则有：,16,动力学,采用分离变量法积分，得：,再积分，得质点的运动方程为：,即：,17,动力学,采用自然法求解，得质点的切向运动微分方程为：,解：,例9-3质量为m=10kg得质点，在水平面做曲线运动，受到阻力为的作用，其中v为质点的速度，s为质点的运动路程，当t=0时，试求质点的运动规律。,切向加速度：,（a）,（b）,18,动力学,将（b）代入（a）有：,分离变量积分有：,得：,则得质点的速度为：,（c）,质点的运动规律为：,19,已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成角。,例9-4,求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球的速度与绳的张力。,20,属于混合问题。,其中,研究小球,解法一：,21,其切向运动微分方程自然满足：,研究小球，采用自然法：,解法二：,法向运动微分方程为：,副法向运动微分方程为：,由于副法向加速度为零，所以得：,22,由已知条件，解得小球的速度为：,【例9-5】：物块M自点A沿光滑的圆弧轨道无初速的滑下，落到传送带上B，已知圆弧的半径为R，物块得质量为m，试求物块在圆弧轨道上点B的法向约束力，若物块与传送带间无相对滑动，