复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第十二章矩阵与变换复习指导理pdf

第十二章 矩 阵 与 变 换 2 4 9 第第第第第 十十十十十 二二二二二 章章章章章 矩 阵 与 变 换 内 容 要 求 ABC 矩阵的概念 二阶矩阵与平面向量 常见的平面变换 矩阵的复合与矩阵的乘法 二阶逆矩阵 二阶矩阵的特征值与特征向量 二阶矩阵的简单应用 本专题的内容包括: 二阶矩阵与平面向量、 几种常见 的平面变换、 变换的复合与矩阵的乘法、 逆变换与逆矩 阵、 矩阵的特征值与特征向量、 矩阵的简单应用.作为新 课程中新增加的选修内容, 高考对此类问题的考查难度 应不会太大. 1 .了解矩阵的相关知识, 掌握二阶矩阵与平面向量的 乘法法则. 2 .掌握恒等、 伸压、 反射、 旋转、 投影、 切变变换的矩阵 表示及其几何意义. 3 .掌握二阶方阵的乘法法则, 掌握二阶矩阵存在逆矩 阵的条件, 并了解其在变换中的意义. 4 .了解二阶行列式的定义, 会用二阶行列式求逆矩阵 和解方程组. 5 .掌握矩阵特征值与特征向量的定义, 能从几何变换 的角度说明特征向量的意义, 会求二阶矩阵的特征值与特征 向量( 只要求特征值是两个不同实数的情形) , 利用矩阵A 的特征值、 特征向量给出A n 简单的表示, 并能用它来解决 问题. 6 .初步了解三阶或高阶矩阵, 了解矩阵的应用. 7 .初步体会矩阵应用的广泛性, 进一步体会代数与几 何结合的数形结合思想. 1 .复习的重点是掌握矩阵的变换与逆变换的相关知 识, 理解矩阵变换的几何意义.高考注重在知识的交汇点处 设计问题, 而矩阵变换在处理对称、 旋转等问题上有其特有 的优点, 因此函数图象的对称变换、 向量( 复数) 的旋转等问 题都可以考虑用矩阵求解. 2 .理解矩阵特征值的实际意义, 并能运用特征值、 特征 向量处理形如A n 的一类问题. *第8 0课时 矩阵与 变换( 1) 内 容 要 求 ABC 矩阵的概念 二阶矩阵与平面向量 常见的平面变换 1 .了解矩阵的概念, 掌握二阶矩阵与平面向量的乘法. 2 .理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线, 即 A(1+2)=1A +2 A . 3 .理解几种常见的平面变换: 恒等变换、 反射变换、 伸 压变换、 旋转变换、 切变变换、 投影变换; 了解单位矩阵. 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 5 0 1 .矩阵的概念: 在数学中, 我们把形如 1 3 , 8 0 9 0 6 0 8 5 , 23m 3 -2 4 的矩形数字( 或字母) 阵列称为矩阵.通常 用大写的拉丁字母A,B,C,表示, 或者用(a i j ) 表示, 其中i,j分别表示元素a i j 所在的行与列.同一横排中按 原来次序排列的一行数( 或字母) 叫做矩阵的行, 同一竖 排中按原来次序排列的一行数( 或字母) 叫做矩阵的列. 上述三个矩阵分别是21矩阵,22矩阵( 二阶矩 阵) , 2 3矩阵, 注意行的个数在前. 矩阵相等: 行数与列数分别相等, 并且对应位置的元素 也分别相等的两个矩阵, 称为A=B. 行矩阵: a1 1,a1 2 ( 仅有一行). 列矩阵:a 1 1 a2 1 ( 仅有一列). 向量a=(x,y) , 平面上的点P(x,y) 都可以看成行 矩阵 x,y 或列矩阵 x y , 在本书中规定所有的平面 向量均写成列向量 x y 的形式. 2 .二阶矩阵: 由4个数a,b,c,d排成的正方形数表 a b c d 称为二阶矩阵. a,b,c,d称为矩阵的元素. 零 矩阵: 所有元素都为0的矩阵, 即 0 0 0 0 , 记为0 . 二阶单位矩阵 1 0 0 1 , 记为E2. 3 .二阶矩阵与平面向量的乘法 ( 1)定义: 规定二阶矩阵A= a b c d , 与向量= x y 的 乘 积 为A = a x+ b y c x+ d y ,即A = a b c d x y = a x+ b y c x+ d y . ( 2)平面向量的变换 一般地, 对于平面上的任意一个点( 向量) ( x,y) , 若 按照对应法则T, 总能对应唯一的一个平面点( 向 量) ( x , y ) , 则称T为一个变换, 简记为T: (x,y) (x , y ) , 或T:x y x y . 一般地, 对于平面向量的变换T, 如果变换法则为T: x y x y = a x+ b y c x+ d y , 那么, 根据二阶矩阵与 列向量 的 乘 法 法 则 可 以 改 写 为T:T: x y x y = a b c d x y . 由矩阵M确定的变换T, 通常记为TM.根据变换的 定义, 它是平面内点集到其自身的一个映射.当= x y 表示平面图形F上的任意点时, 这些点就组成 了图形F, 它在TM的作用下, 将得到一个新图形 F 原象集F的象集F . 1 .用矩阵表示下图中的A B C, 其中A(-2,0) ,B(0,2) , ( 第1题) C(3,0) ,M= -2 0 3 0 2 0 . 2 .已 知A= x 2-x 3 02 , B= 2y 2+3 yx , 若A=B, 则x=2,y=0 . 3 . aa- 1 a+ 1a 1 - 1 = 1 1 . 4 .设矩阵A为二阶矩阵, 且规定其元素a i j =i+j 2, i=1, 2,j=1,2, 则矩阵A是 2 5 3 6 . 略解 a1 1=1 + 1 2=2, a1 2=1 + 2 2=5, a2 1=2 + 1 2=3, a2 2=2+2 2 =6 . 5 .点P(4,3) 在矩阵A= 0 1 0 1 作用下变换得到的点P 的坐标是( 3,3). 略解 TA:4 3 0 1 0 1 4 3 = 3 3 . 6 .已知点P(x,y) 在矩阵M的作用下变换为点P (-y, -x) , 则矩阵M= 0-1 -10 . 略解 TM: x y x y = -y -x = 0x+( -1)y ( -1)x+0y , 所以M= 0-1 -10 . 1 .矩阵与平面向量 例1 (1)已知变换 x y x y = 1 2 2 0 x y , 试将它写成 坐标 变 换 的 形 式, 并 求 点A(1,3)在 矩 阵 1 2 2 0 对应的变换作用下得到的点的坐标; ( 2)已知变换 x y x y = x+3y -2x+y ,试将它 写成矩阵乘法的形式.若在上述矩阵对应的变换 作用下得到点P(7,0) , 试求变换前对应的点P 第十二章 矩 阵 与 变 换 2 5 1 的坐标. 点拨 作为矩阵变换的基础知识, 首先要理解二阶矩阵与平 面列向量的乘法对应着平面向量之间的变换, 并掌握 这种变换的坐标形式与矩阵乘法的形式. 解 (1)T:x y x y = x+2y 2x , 点A(1,3) 在矩阵 1 2 2 0 对应的变换作用下得到 的点的坐标为( 7,2). (2) T: x y x y = x+3y -2x+y = 1 3 -2 1 x y . 由 x+3y=7, -2x+y=0, 得 x=1, y=2, 点P 的坐标 为( 1,2). 反思 二阶矩阵 a b c d 可以看做是一个平面上的几何变 换, 它 将 平 面 上 的 向 量 x y 变 成 一 个 向 量 a x+ b y c x+ d y ; 反过来,现有平面上的一个变换T: x y x y , 如果 x y = a x+ b y c x+ d y , 即变换后的 向量的坐标可以用原向量的坐标线性表示, 这时的变 换T对应着矩阵 a b c d 的形式. 例2 已知矩阵M= 2 0 0 1 , 向量= 1 0 , = 2 3 , 试 验证下列等式成立: ( 1)M(+)=M + M ; ( 2)M 1 8 = 1 8M ; ( 3)对任意的实数,有M( + )=(M )+ ( M ). 点拨 分别证明等式左右两边相等即可. 解 (1)M( +)= 2 0 0 1 3 3 = 6 3 , M + M = 2 0 0 1 1 0 + 2 0 0 1 2 3 = 2 0 + 4 3 = 6 3 , M(+)=M + M . ( 2)M 1 8 = 2 0 0 1 1 8 0 = 1 4 0 , 1 8M = 1 8 2 0 0 1 1 0 = 1 8 2 0 = 1 4 0 , M 1 8 = 1 8M . ( 3) + = 0 + 2 3 = +2 3 , M( + )= 2 0 0 1 +2 3 = 2+4 3 , (M )= 2 0 , ( M )= 4 3 , (M )+( M )= 2+4 3 ,从而M( + )=(M )+( M ). 拓展 本题中的变换是伸压变换, 具有上述三个性质, 实 际上M= a b c d ( a,b,c,d不全为0)对应的 变换均具有上述三个性质, 其证明留待学生课后 完成. 2 .矩阵与平面变换 例3 已 知 矩 阵A= 1 0 1 0 ,B = 0 1 0 1 ,C = 1 2 1 2 1 2 1 2 , 给定点P(x,y)(xy) , 试求出点P 分别在矩阵A,B,C对应的变换作用下得到的点的 坐标, 并指出这三种变换结果的异同. 点拨 研究矩阵变换前后点的坐标变化, 就可以找到矩阵变 换的特征. 解 1 0 1 0 x y = x x , 0 1 0 1 x y = y y , 1 2 1 2 1 2 1 2 x y = x+y 2 x+y 2 , 即TA:x y x y = x x , TB:x y x y = y y , TC:x y x y = x+y 2 x+y 2 . 显然, 变换TA把点P沿垂直于x轴的方向投影到 直线y=x上; 变换TB把点P沿垂直于y轴的方向投影 到直线y=x上; 变换TC把点P沿垂直于直线y=x的 方向投影到直线y=x上.三种变换均把点P投影到直 线y=x上, 但投影的方向各不相同. 拓展 类比例2的研究, 我们还可以发现: 矩阵 1 0 -1 0 , 0 -1 01 , 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 把点P分别沿垂直于x 轴的方向、 垂直于y轴的方向、 垂直于直线y= -x 的方向 投 影 到 直 线y= -x上;矩 阵 1 0 0 0 , 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 5 2 1 1 0 0 把点P分别沿垂直于x轴的方向、 平行于直 线x+y=0的方向投影到x轴上 例4 已知矩阵M= 1a b1 ,N= c2 0d , 且MN= 20 -2 0 . ( 1)求实数a,b,c,d的值; ( 2)求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用 下的象的方程. 解 方法一 (1)由题设得 c+ 0 = 2, 2 +a d= 0, b c+ 0 =- 2, 2b+d= 0, 解得 a=- 1, b=- 1, c= 2, d= 2 . ( 2)因为矩阵M对应的线性变换将直线变成直线( 或 点) , 所以可取直线y= 3x上的两点 ( 0,0) , ( 1,3). 由 1-1 -11 0 0 = 0 0 , 1-1 -11 1 3 = -2 2 得点( 0,0) ,(1,3)在矩阵M所对应的 线性变换作用下的象分别是点( 0,0) ,(- 2,2). 从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换 作用下的象的方程为y= -x. 方法二 (1)同方法一. ( 2)设直线y=3x上的任意点(x,y) 在矩阵M所对 应的线性变换作用下的象是点( x , y ) , 由 x y = 1- 1 - 11 x y = x-y -x+y = - 2x 2x 得 y = -x , 即点(x , y ) 必在直线y= -x上. 由( x,y) 的任意性可知, 直线y=3x在矩阵 M所对应的线性变换作用下的象的方程为y= - x. 反思 本题考查了矩阵的复合与矩阵的乘法及在矩阵对应 变换下的象的求法, 体现了待定系数法和坐标转移法 的应用. 拓展 求矩阵Q, 使点A(0,3) ,B(- 3,0) 在矩阵Q对应的 变换作用下分别得到点A (1,0) ,B (- 1,1). 解 设Q= a c b d , 则 a c b d 0 3 = 3c 3d = 1 0 , 解得 c= 1 3, d=0 . 又 a c b d -3 0 = -3a -3b = -1 1 , 解得 a= 1 3, b= -1 3. 所以Q= 1 3 1 3 - 1 3 0 . 提醒 通过研究曲线上任意一点的变换来研究曲线的变换, 这里能够实施变换的是矩阵, 而求解变换曲线的方法 类似于用动点转移方法求轨迹方程. 1 .二阶矩阵对于平面向量所实施的变换, 都是线性变 换, 即有M( 1+2)=1M+2 M , 这样, 我们在研 究多边形以及直线在矩阵的变换作用下所形成的图形时, 只 需考虑端( 顶) 点的变化结果即可, 这也是后面运用特征值与 特质向量求解问题的依据. 2 .掌握一些常见的基本的矩阵变换, 如: 1 0 0 1 , 10 0 -1 , -1 0 0 1 , -10 0 -1 , 0 1 1 0 , 0 -1 -10 , 0 -1 10 , 1 0 1 0 , 0 1 0 1 , 1 0 -1 0 , 0 -1 01 , 1 1 0 0 , 1 1 0 1 , 1 0 1 1 等,能够理解这些 变换的几何意义. 1 .( 根据选修4 2 P 7例4改编) 若 1 0 1 2 x y = -1 1 , 求 x y . 略解 x+0y= -1, x+2y=1, x= -1, y=1, x y = -1 1 . 2 .( 根 据 选 修42 P 8例5改 编) 若 a b c d 2 -1 = 3 -4 , a b c d -1 2 = 0 5 , 求 a b c d . 解 2a-b=3, 2c-d= -4, -a+2b=0, -c+2d=5, a=2, b=1, c= -1, d=2, a b c d = 21 -1 2 . 3 .( 根据选修4 2 P 2 0例3改编) ( 1)求曲线y 2 =4x在矩阵 0 1 1 0 作用下变换所得 的图形. 解 设P(x0,y0) 为曲线y 2= 4 x上的任一点, 它在 矩阵 0 1 1 0 作用下变换变为点P ( x 0, y 0) , 则有 x 0 y 0 = 0 1 1 0 x0 y0 = y0 x0 , 故 y0=x 0, x0= y 0. 第十二章 矩 阵 与 变 换 2 5 3 y 2 0=4x0,x 2 0=4 y 0. 从而曲线y 2 =4x在矩阵 0 1 1 0 作用下变成曲线 x 2 = 4y. ( 2)曲 线y=f(x)在 矩 阵 10 0 -1 , -1 0 0 1 , -10 0 -1 作用下变换所得图形的方程分别是 什么? 解 y=f(x) 10 0 -1y = -f(x) , y=f(x) -1 0 0 1y =f(-x) , y=f(x) -10 0 -1y = -f(-x). 4 .( 根据选修4 2 P 2 4例4改编) 已知点A(0,0) ,B(2, 0) ,C(2,1) ,D(0,1) , 求矩形A B C D绕原点逆时针 旋转3 0 后所得到的图形, 并求出其顶点坐标, 画出示 意图. 解 由题意, 得旋转矩阵 c o s 3 0 -s i n 3 0 s i n 3 0 c o s 3 0 = 3 2 - 1 2 1 2 3 2 . 3 2 - 1 2 1 2 3 2 0 0 = 0 0 , 3 2 - 1 2 1 2 3 2 2 0 = 3 1 , 3 2 - 1 2 1 2 3 2 2 1 = 3- 1 2 1+ 3 2 , 3 2 - 1 2 1 2 3 2 0 1 = -1 2 3 2 , 因此,矩 形A B C D在 矩 阵 的 作 用 下 变 成 了 矩 形 A B C D ,其 中 点A (0,0) ,B (3,1) , C 3-1 2, 1 + 3 2 ,D -1 2, 3 2 , 如图所示. ( 第4 题) 5 .( 根据选修4 2 P 3 0例7改编) 在平面直角坐标系中, 已知正方形A B C D, 其中A(0,0) , ( 第5 题) B(1,0) ,C(1,1) ,D(0,1) , 矩 阵M= 1 0 3 1 , 正方形A B C D 在矩阵M的变换作用下得到平 行四边形A B C D , 则平行四边 形 A B C D 的面 积是 . 解 1 0 3 1 0 0 = 0 0 , 1 0 3 1 1 0 = 1 3 , 1 0 3 1 1 1 = 1 4 , 1 0 3 1 0 1 = 0 1 , 即A (0,0) ,B (1,3) ,C (1,4) ,D (0,1) , 如 图所示.SA B C D =11=1 . *第8 1课时 矩阵与 变换( 2) 内 容 要 求 ABC 变换的复合与矩阵的乘法 二阶逆矩阵 1 .掌握二阶矩阵的乘法; 理解矩阵乘法的简单性质( 不 满足交换律和消去律, 满足结合律). 2 .理解逆矩阵的意义, 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的 条件. 3 .理解逆矩阵的唯一性和 (A B) - 1 =B- 1A- 1等简单性 质, 并了解其在变换中的意义. 4 .会从几何变换的角度求出A B的逆矩阵. 5 .了解二阶行列式的定义, 会用二阶行列式求逆 矩阵. 6 .了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义. 7 .会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组. 8 .理解二元线性方程组解的存在性、 唯一性. 1 .矩阵乘法的概念 ( 1)一般地, 对于矩阵 a1 1a1 2 a2 1a2 2 ,b 1 1b1 2 b2 1b2 2 规定乘 法法则如下: 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 5 4 a1 1a1 2 a2 1a2 2 b1 1b1 2 b2 1b2 2 = a1 1b1 1+a1 2b2 1a1 1b1 2+a1 2b2 2 a2 1b1 1+a2 2b2 1a2 1b1 2+a2 2b2 2 . ( 2)矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次 几何变换( 先TN后TM) 的复合变换. ( 3)当连续对向量实施n(nN *) 次变换TM 时, 我们记 Mn=MMM n个M . 2 .矩阵乘法的简单性质 对于二阶矩阵A,B,C.( 1)A BB A; (2) (A B)C= A(B C) ; (3) 若A B=A C,BC( 填“=” 、 “” ). 3 .逆矩阵的概念 对于二阶矩阵A,B, 若A B=B A=E, 则称A是可逆的, B称为A的逆矩阵.B为A的逆矩阵, 则A也是B的逆矩 阵; 若A是可逆的, 则A的逆矩阵是唯一的, 记为A- 1. 1 .下 列 矩 阵 中: 10 0 1 2 、 1 -2 01 、 1 2 1 2 1 2 1 2 、 0 -1 10 , 不存在逆矩阵的是 1 2 1 2 1 2 1 2 . 提示 矩阵 1 2 1 2 1 2 1 2 把坐标平面上的点沿与直线y= x垂直的方向投影到直线y=x上, 这个变换不是一一 对应, 因此不存在逆矩阵. 2 .A= 10 3 -1 ,B = 1 -2 01 ,则 ( A B) - 1 = 7 -2 3 -1 . 3 .先作曲线C:f(x,y)= 0关于x轴的对称图形得到曲线 C , 再把曲线C 上每点的纵坐标不变, 横坐标伸长为原来 2倍得到曲线C, 则能把曲线C变换到曲线C的矩阵 M是 1 2 0 0- 1 . 提示 保持曲线C上各点的纵坐标不变, 横坐标缩短为 原来的1 2, 即可得到曲线C , 变换矩阵为 1 2 0 01 , 再作 曲线C 关于x轴的对称图形得到曲线C, 变换矩阵为 10 0 - 1 ,所以 M= 10 0 -1 1 2 0 01 = 1 2 0 0-1 . 4 .若 x2 3x =x, 则x= -2或3 . 提示 x2 3x =x 2- 6, 由x2- 6=x, 得x2- x- 6= 0, 解得x= -2或x=3 . 5 .已知方程A X=B, 其中A= 1 2 2 3 ,B= 2 1 , 则X = - 4 3 . 提示 由A X=B, 得X=A- 1B, 因为A= 1 2 2 3 , 所以 A - 1 = - 32 2 -1 ,X=A- 1B= - 32 2 -1 2 1 = - 4 3 . 1 .矩阵的乘法与矩阵的复合 例1 (1)已知 1a b1 1 0 0c = d1 0 1 2 , 求a,b,c,d 的值. ( 2)证明 1 0 1 0 -1 0 0 1 = 1 0 1 0 -10 0 -1 , 并从几 何变换的角度加以解释. 解 (1) 1a b1 1 0 0c = 1a c b c = d1 0 1 2 , d=1, a c=1, 且 b=0, c= 1 2, 解得a=2,b=0,c= 1 2, d=1 . ( 2) 1 0 1 0 -1 0 0 1 = 1( -1)+00 10+01 1( -1)+00 10+01 = -1 0 -1 0 , 1 0 1 0 -10 0-1 = 1( -1)+00 10+0( -1) 1( -1)+00 10+0( -1) = -1 0 -1 0 , 1 0 1 0 -1 0 0 1 = 1 0 1 0 -10 0 -1 . 第十二章 矩 阵 与 变 换 2 5 5 -1 0 0 1 把点A(x,y)关于y轴对称变换得到 A1(-x,y) ,1 0 1 0 把点A1( -x,y) 沿垂直于x 轴方向投影到直线y=x上, 得到A2( -x,-x) , -10 0 -1 把点A(x,y) 关于原点对称变换得到 A 1(-x,-y) , 1 0 1 0 把点A 1( -x,-y) 沿垂 直于x轴方向投影到直线y=x上, 得到A 2( -x, -x) , 所以等式两边连续两次变换的结果是一致的. 反思 求矩阵中字母元素值时, 常根据相等矩阵对应元素相 等建立方程( 组).在矩阵运算中,A B=A C不能得到 B=C, 但当A可逆时,A B=A CB=C. 提醒 几何变换的复合要注意变换的先后顺序. 2 .逆矩阵的有关问题 例2 试从几何变换的角度求A B的逆矩阵. ( 1)A= 2 0 0 1 ,B= 1 0 0 4 ; ( 2)A= 0 1 1 0 ,B= 0 -1 -10 . 点拨 注意到当A,B均为可逆矩阵时, ( A B) - 1=B- 1 A- 1, 为求A B的逆矩阵, 可以先从求A,B各自的逆矩阵 入手. 解 (1)矩阵A对应的是伸压变换, 它将平面内的点的纵坐 标保持不变, 横坐标伸长为原来的2倍, 因此它的 逆矩阵是A- 1= 1 2 0 01 . 同理, 矩阵B对应的也是伸压变换, 它将平面内的 点的横坐标保持不变, 纵坐标伸长为原来的4倍, 因此它的逆矩阵是B- 1= 10 0 1 4 . 所以,( A B) - 1 =B- 1A- 1= 10 0 1 4 1 2 0 01 = 1 2 0 0 1 4 . ( 2)矩阵A对应的是反射变换, 它将平面内的点变换为 与其 关 于 直 线y=x对 称 的 点,所 以A- 1 = 0 1 1 0 ; 矩阵B对应的也是反射变换, 它将平面内的点变换 为 与 其 关 于 原 点 对 称 的 点,所 以B- 1 = 0 -1 -10 . 所以, ( A B) - 1=B- 1 A- 1= 0 -1 -10 0 1 1 0 = -10 0 -1 . 反思 本题解答强调从几何角度研究矩阵A,B的变换作 用, 通过求其逆变换写出它们的逆矩阵, 再运用公式 ( A B) - 1 =B- 1A- 1求出A B的逆矩阵, 对于有明显几 何意义的矩阵变换, 都可从这个角度求其逆矩阵, 与 直接通过运算求逆矩阵相比, 过程更简单, 也更便于 理解. 3 .解二元线性方程组 例3 按要求解方程组 3x-y=5, x+2y= -3 . ( 1)用行列式; ( 2)用逆矩阵. 点拨 用行列式求解二元一次方程组, 就是求相应的D, Dx,Dy, 而运用矩阵解方程组, 首先要把方程组改写 为A X=B的形式, 再由X=A- 1B求解. 解 (1)D= 3 -1 12 =32-(-1)1=7,Dx= 5 -1 -32 =52-(-1)(-3)=7, Dy= 35 1 -3 =3(-3)-51= -1 4 . 所以 x=D x D = 7 7 =1, y= Dy D = -1 4 7 = -2, 解得 x=1, y= -2, 即原方程组的解为 x=1, y= -2 . ( 2)设A= 3 -1 12 ,X= x y ,B= 5 -3 , 则方程 组可以表示为A X=B的形式. 因为A- 1= 2 7 1 7 - 1 7 3 7 , 所以 X=A- 1B= 2 7 1 7 - 1 7 3 7 5 -3 = 2 7 5+ 1 7 (-3) - 1 7 5+ 3 7 (-3) = 1 -2 , 即原方程组的解为 x=1, y= -2 . 反思 对于关于x,y的二元一次方程组 a x+ b y =m, c x+ d y =n, 当 a d-b c=0时, 方程组的解为 x=m d- b n a d-b c , y=a n- c m a d-b c. 若用行 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 5 6 列式的语言描述, 上述方程组的解为 x=D x D , y= Dy D , 这里 D= a b c d ,Dx= m b n d ,Dy= a m b n ; 若用 矩阵语言描述, 可令A= a b c d ,X= x y ,B= m n , 上述方程组可表示为A X=B, 两边左乘A- 1, 即有X=A- 1B. 提醒 用行列式求解二元一次方程组时, 求相应的D,Dx, Dy, 不能把列写错, 要弄清行列式与矩阵的区别.运 用矩阵解方程组,X等于矩阵B左乘矩阵A的逆 矩阵. 1 .逆矩阵对应于矩阵变换的逆变换, 只有当这种矩 阵变换为一一映射时, 才会存在逆矩阵, 并且逆矩阵是唯 一的. 2 .求一个矩阵的逆矩阵, 可以运用公式直接求解, 即当 A= a b c d 时, 有A- 1= d a d-b c - b a d-b c - c a d-b c a a d-b c ; 若矩 阵变换的几何意义明显, 也可以通过研究其逆变换求出逆 矩阵. 3 .若A,B两个矩阵均存在可逆矩阵时, 则有 (A B) - 1 =B- 1A- 1; 若A,B,C为二阶矩阵且A可逆, 则当A B=A C 时, 有B=C, 即此时矩阵乘法的消去律成立. 1 .( 根据选修4 2 P 3 9例1改编) 若 1x 0 1 3 = 1 1 0 1 , 则 x 0 . 7 x 0 . 8. 解 1x 0 1 3 = 1x 0 1 1x 0 1 1x 0 1 = 1 2x 01 1x 0 1 = 1 3x 01 = 1 1 0 1 , 3x=1,x= 1 3, 考察y= 1 3 x 的图象和性质 得x0 . 7x0 . 8. 2 .( 根据选修42 P 4 7习题2 . 3第2题改编) 设A= 2 2 - 2 2 2 2 2 2 , 则A6= 01 - 1 0 . 解 A= c o s 4 -s i n 4 s i n 4 c o s 4 , A 6 = c o s6 4 -s i n 6 4 s i n6 4 c o s6 4 = 0 1 -1 0 . 3 .( 根据选修4 2 P 4 7习题2 . 3第5题改编) 求出曲线x 2+ y 2 =1依次经过矩阵A= 2 0 0 1 ,B= 0 -1 10 作用 下变换得到的曲线方程. 解 由已知B A= 0 -1 10 2 0 0 1 = 0 -1 20 ,任取 曲线x2+y2=1上一点P(x0,y0) ,它在矩阵B A 对 应 的 变 换 作 用 下 变 为P (x,y) ,则 有 0 -1 2 0 x0 y0 = x y , 故 -y0=x, 2x0=y. P在曲 线x2+y2=1上,x2 0+y 2 0=1, 因此( y 2 )+x2 =1 , 即y 2 4 +x2=1, 从而曲线x2+y 2 =1在矩阵 B A作用下变成椭圆x 2 4 +y 2 =1. 4 .( 根 据 选 修42 P 5 2例3改 编) 设 可 逆 矩 阵A= a2 7 3 的逆矩阵A- 1= b-2 -7a , 试求出a,b. 答案 a=5,b=3 . *第8 2课时 矩阵与 变换( 3) 内 容 要 求 ABC 二阶矩阵的特征值与特征向量 二阶矩阵的简单应用 1 .掌握二阶矩阵的特征值与特征向量的意义. 2 .会求二阶矩阵的特征值与特征向量( 只要求特征值 是两个不同实数的情形). 3 .会用二阶矩阵的特征值、 特征向量解决简单的问题. 4 .了解矩阵的简单应用. 1 .特征值与特征向量 第十二章 矩 阵 与 变 换 2 5 7 设A是一个二阶矩阵, 如果对于实数, 存在一个非零向 量, 使得A = , 那么称为A的一个特征值, 而称 为A的属于特征值的一个特征向量. 从几何变换的角度来看, 特征向量的方向经过变换 矩阵A的作用后, 保持在同一直线上.0, 方向不变; 0, 方向相反;=0, 特征向量就被变换成零向量. 如果 向量是属于的特征向量, 那么t ( t0) 也是属于 的特征向量. 2 .特征多项式 设A= a b c d 是一个二阶矩阵, R, 我们把行列式 f()= -a-b -c-d = 2-( a+d)+a d-b c称为 A的特征多项式. 1 .已知向量1= 1 3 ,2= -1 1 ,= 2 -4 , 若= m1+n 2, 则m,n的值分别为- 1 2, - 5 2. 解 由=m1+n2,得 m-n=2, 3m+n= -4, 解 之 得 m= -1 2, n= -5 2. 2 .已知二阶矩阵A有特征值1=3及对应特征向量1= 1 1 , 特征值2= - 1及特征向量2= 1 -1 , 则矩阵A 为 1 2 2 1 . 解 设A = a b c d , 则 有 a b c d 1 1 = 3 1 1 , a b c d 1 -1 = - 1 -1 , 即有 a+b=3, a-b= -1 及 c+d=3, c-d=1 . 解之得a= 1,b= 2,c= 2,d= 1,所 以A = 1 2 2 1 . 3 .矩阵 2 1 2 3 的特征多项式为f( )= 2-5 +4 . . 解 f( )= -2-1 -2-3 =(- 2) (- 3)- 2= 2- 5 +4 . 4 .若矩阵M= 1 0 0 2 ,= 2 1 , 则M3= 2 8 . 解 从矩阵变换的几何意义分析, 矩阵M对向量实施的是 横坐标不变, 纵坐标伸长为原来2倍的伸压变换,M3表 示连续实施3次这样的伸压变换, 故M3= 2 8 . 5 .对于二阶矩阵A, 若A=, 且0, 则A- 1 = 1 . 解 由A=, 得A- 1( A)=A- 1()A- 1 = 1 . 6 .已知a,b,c为实数,A,B,C为二阶矩阵, 通过类比得 出下列结论: “ 若a=b, 则a c=b c” , 类比“ 若A=B, 则A C=B C” ; “ 若a c=b c, 且c0, 则a=b” , 类比“ 若A C=B C, 且 C为非零矩阵, 则A=B” ; “ 若a b=0, 则a=0或b=0” 类比“ 若A B= 0 0 0 0 , 则A= 0 0 0 0 或B= 0 0 0 0 ” ; “ 若a 2 =0 , 则a =0” 类比“ 若A2= 0 0 0 0 , 则A= 0 0 0 0 ”. 其中不正确的结论的序号为. 1 .特征值与特征向量 例1 求下列矩阵的特征值和特征向量. ( 1) 0 - 1 - 10 ; ( 2)5 2 4 - 2 . 点拨 常规方法应是根据矩阵写出特征多项式f( ) , 由 f()=0求出特征值, 代入方程A=求出相应 的特征向量, 但若矩阵变换有明显的几何意义, 则可 根据变换特点写出特征值与特征向量. 解 (1)从变换的几何意义来看, 矩阵 0 -1 -10 的作用 是关于直线y= -x的反射变换, 因此, 与直线y= -x平行的向量保持变换前后的大小与方向都不 变, 有特征值1=1及相应的特征向量 1 -1 ; 又与 直线y= -x垂直的向量保持变换前后大小不变而 方向相反, 故有特征值2= -1及相应的特征向量 1 1 . ( 2)特征多项式f()= -5-2 -4+2 = 2 -3 -1 8, 由f( )=0, 解得1=6或2= -3 . 1=6时, ( 6-5)x-2y=0, -4x+(6+2) y=0, 解得 x=2, y=1; 2=- 3时, ( -3-5)x-2y=0, -4x+(-3+2) y=0, 解 得 高考复习指导 数学( 教师用书) 2 5 8 x=1, y=- 4 . 综上, 矩阵 52 4 -2 有特征值1=6及相应的特 征向量 2 1 ; 特征值2= -3及相应的特征向量 1 -4 . 反思 对于二阶矩阵而言, 至多有两个特征值, 因此至多有 两组非零不共线的特征向量, 而特征向量一定是非零 向量.在把特征值代入方程A=求特征向量的 时候, 方程组有无数组解( 非零共线向量) , 一般取特 征向量的某个坐标为1, 使向量的形式最简. 拓展 说明矩阵 01 -1 0 没有实数特征值和特征向量, 并 给出几何解释. 例2 已知矩阵M= 8 - 5 6 - 3 . ( 1)判断矩阵M是否有特征值和特征向量, 如果有, 求出它的特征值和特征向量; ( 2)若向量c= 7 8 , 求M 5 c. 解 (1) -8 5 -6+3 =0, 即方程 2-5 +6=0有 解, 故矩阵M有特征值和特征向量, 由 2-5 +6 =0得1=2,2=3 . 对于特征值1=2, 设1对应的特征向量是a= x1 y1 , 则M a=1a, 即 8 -5 6 -3 x1 y1 =2 x1 y1 , 整理得 6x1-5y1=0 6x1-5y1=0 , 取a= 5 6 作为特征值 1= 2的特征向量. 同理, 设对应特征值2=3的特征向量为b= x2 y2 ,得相应的线性方程组 -5x2+5y2=0, -6x2+6y2=0, 取b= 1 1 作为特征值2=3 的特征向量. (2) 7 8 = 5 6 +2 1 1 ,故 M 5 c =M 5 5 6 +2 1 1 =M 55 6 +2M 51 1 = 5 1 5 6 +2 5 2 1 1 =2 5 5 6 +23 5 1 1 = 6 4 6 6 7 8 . 拓展1 试计算Mnc.( 答案略) 拓展2 已知aR, 矩阵A= 1 2 a1 , 对应的线性变换把 点P(1,1) 变成点P (3,3) , 求矩阵A的特征值以 及每个特征值的一个特征向量. 解 由题意 1 2 a1 1 1 = 3 a+1 = 3 3 , 得a +1=3, 即a= 2,因 此 矩 阵A的 特 征 多 项 式 为f( )= -1-2 -2-1 =(-1) 2-4=( +1) (-3). 令f( )=0, 所以矩阵A的特征值为1= - 1,2=3 . 对 于 特 征 值1= -1,解 相 应 的 线 性 方 程 组 2x+2y=0 2x+2y=0 , 得一个非零解 x=1 y= -1 , 因此, = 1 -1 是矩阵A的属于特征值1= - 1的一个特征 向量; 对 于 特 征 值2= 3,解 相 应 的 线 性 方 程 组 2x-2y=0 -2x+2y=0 , 得一个非零解 x=1 y=1 , 因此, = 1 1 是矩阵A的属于特征值2=3的一个特征 向量. 反思 如果二阶矩阵有两个不共线的特征向量, 平面上的任 意向量就可以由特征向量线性表示, 在该矩阵的对应 变换下的象也就由这两个特征向量决定, 求矩阵幂的 作用结果, 就转化为求数的幂的运算结果. 提醒 关于特征值、 特征向量的讨论, 要用到矩阵、 行列式以 及线性方程组的解等方面的知识, 又因为矩阵的特征 向量在研究连续实施矩阵A所对应的变换时优势明 显, 应用广泛, 如本例, 因此本部分内容既是矩阵变换 中的重点, 又是难点. 2 .矩阵的简单应用 例3 如图所示的网络图, 试写出它的一级路矩阵和二级路 矩阵. 点拨 根据有关概念, 先表示4个结点之间的连接情况, 即 可写出相应的一级路矩阵, 再利用二级路矩阵与一级 路矩阵之间的关系, 通过矩阵运算即可求出二级 路矩阵. 从概念上理解, 在网络图中, 一级路矩阵反映的 是两个结点之间的直达情况, 二级路矩阵反映的是从 一个结点经第三个结点到达另一个结点的情况. 解 四个结点之间的直接路径情况如下: A B C D A 0 1 1 1 B 1 0 1 0 C 1 1 0 1 D 1 0 1 0 ( 例3) 因此一级路矩阵M= 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 . 第十二章 矩 阵 与 变 换 2 5 9 又二级路矩阵N=M2, 所以 二级路矩阵 N= 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 = 3 1 2 1 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 . 反思 本题在求解二级路矩阵时, 用到了N=M2, 这比直 接用二级路矩阵的概念求解来的方便.因此, 应该在 掌握二阶矩阵乘法运算的基础上, 了解高阶矩阵的乘 法运算. 例4 某种电路开关闭合后, 会出现红灯或绿灯闪动, 已知开 关第一次闭合后, 出现红灯和出现绿灯的概率都是 1 2. 从开关第二次闭合起, 若前次出现红灯, 则下一次 出现红灯的概率是1 3, 出现绿灯的概率是 2 3; 若前次 出