复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第八章平面解析几何复习指导理pdf

第八章 平面解析几何 1 3 1 第第第第第 八 八八八八 章 章章章章 平面解析几何 内 容 要 求 ABC 直线的斜率与倾斜角 直线方程 直线的平行关系与垂直关系 两条直线的交点 两点间的距离, 点到直线的距离 圆的标准方程与一般方程 直线与圆、 圆与圆的位置关系 空间直角坐标系 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 曲线与方程( 理科) 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性 质( 理科) 坐标系的有关概念( 理科) 参数方程( 理科) 参数方程的简单应用( 理科) 参数方程与普通方程的互化( 理科) 直线、 圆及椭圆的参数方程( 理科) 极坐标方程与直角坐标方程的互化( 理科) 简单图形的极坐标方程( 理科) 1 .直线与方程通常以填空题的形式考查, 此类题一般 难度不大( 中低档题为主体) , 但每年必考, 考查内容主要有 以下几类: ( 1)与基本概念( 倾斜角、 斜率、 距离、 平行与垂直等) 有 关的问题; ( 2)对称问题( 包括关于点对称, 关于直线对称) ; ( 3)求直线方程. 由斜率和倾斜角的关系可知, 将三角知识与直线知识结 合要有必要的训练.此外, 直线的位置关系, 如平行、 垂直常 与平面向量知识相结合; 由于一次函数的图象是一条直线, 因此有关函数、 数列、 不等式、 复数等代数问题往往借助于直 线方程进行解决; 在求直线方程时还要注意整体思想、 类比 等思想方法的运用( 如2 0 0 8年江苏卷第9题). 2 .直线与圆、 圆与圆的位置关系试题具有背景简单、 内 涵丰富、 易于上手等特点, 预计在必做题部分其考查力度会有 所加强, 出现大题的可能性加大.在解此类问题时, 要多注意 圆的几何性质、 数形结合的运用, 往往能收到事半功倍的效果 ( 如2 0 0 8年江苏卷第1 8 题, 2 0 0 9年江苏卷第1 8题,2 0 1 0年江苏 卷第9题, 2 0 1 4年江苏卷第9题).可能出现的题型: (1) 直线与 圆的方程和性质; ( 2) 与直线和圆有关的变量范围( 最值) 问题. 3 .圆锥曲线与方程是解析几何的重要内容, 但鉴于江苏高 考的等级要求大大减低, 其主要考查的内容是圆锥曲线的概念 和性质, 注意圆锥曲线的定义在解题中的应用, 注意解析几何所 研究的问题背景, 平面几何的一些性质的运用.其中双曲线、 抛 物线要求较低, 多为容易题; 椭圆为B级要求, 但复习时也不需 要随意加深与拓展, 这是与往年不同的地方, 估计椭圆的考查以 中档题为主, 以客观题的形式考查.要注意与圆、 向量等知识的 结合( 如2 0 0 8年江苏卷第1 2题).在题型方面: ( 1) 求圆锥曲线的 标准方程( 如2 0 1 4年江苏卷第1 7题) , 要注意坐标系的建立; ( 2) 利用方程研究曲线的几何性质( 如2 0 0 9年江苏卷第1 3题) ; ( 3) 曲线方程与导数知识的结合; (4) 与圆锥曲线有关的应用题. 4 .对于理科加试内容, 考查的重要题型有: (1) 求动点 的轨迹方程; ( 2) 极坐标方程与直角坐标方程、 参数方程与普 通方程的互化; ( 3) 求常见曲线的极坐标方程; (4) 运用参数 方程解决有关的最值、 轨迹问题( 仅限于简单问题). 1 .关于直线与方程的复习 ( 1)要准确理解基本概念和熟练掌握基本公式, 特别是 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 3 2 直线的倾斜角、 斜率、 距离、 截距等概念要深刻理解( 如忽视 倾角的范围、 “ 零截距” 的丢失等是常见的错误) , 两点间的距 离公式、 点到直线的距离公式、 斜率公式等要熟练掌握, 并会 逆向运用; ( 2)熟练掌握求直线方程的方法, 注意根据题设条件灵 活选用直线方程的形式, 要特别注意斜率不存在的情况; 要 注意直线系方程的运用和对称知识的运用; ( 3)在由两直线的位置关系确定有关字母的值, 或讨论 直线A x+ B y +C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐 标系中的象限等问题时, 要充分利用分类讨论、 数形结合、 特 殊值检验等基本的数学方法和思想. 2 .关于圆的方程的复习 ( 1)在求圆的方程和解决直线与圆、 圆与圆的位置关系 问题中, 要注意圆的几何性质的应用, 几何法往往比代数法 简捷.这一部分是高考考查的重心, 教学中应重点强化. ( 2)要重视圆系方程在解决相关问题中的特殊作用. 3 .关于圆锥曲线与理科加试内容的复习 ( 1)突出解析几何的基本思想方法: 通过建立平面直角 坐标系, 把“ 曲线” 转化为“ 方程” ; 通过“ 方程” 的研究, 又获得 “ 曲线” 的性质. ( 2)椭圆、 双曲线、 抛物线的教学, 应将重点放在如何建 立曲线方程及怎样用曲线方程研究曲线的几何性质上. ( 3)椭圆、 双曲线和抛物线都是圆锥曲线, 教学中要注 意探索和研究它们的共同特征, 用类比的方法了解它们之 间的内在联系, 如圆锥曲线统一定义、 对称性、 顶点、 准 线等. ( 4)对于双曲线、 抛物线仅限于在问题中能识别和直接 运用其定义、 标准方程、 几何性质, 不必追求过于复杂的变式 和综合. ( 5)让学生了解圆锥曲线的背景与应用, 感受圆锥曲线 的应用价值, 增强数学应用意识, 提高数学建模能力. ( 6)理科加试内容宜将教材讲清、 讲透, 注重教材例题、 习题的变式, 严格遵循教学要求和考试说明, 不宜盲目拔高. 第4 5课时 直线与方程 内 容 要 求 ABC 直线的斜率与倾斜角 直线方程 1 .直线的斜率与倾斜角是研究直线方程的两个基本量, 是历年高考在直线方程中考查的重点, 呈现方式主要是填空 题形式.考查的题型有求直线的斜率与倾斜角, 研究斜率与倾 斜角相互关系及范围, 以及斜率存在与否的分类讨论思想. 2 .对直线方程考查的重点题型: (1) 与直线方程的特征 量( 斜率、 截距) 有关的问题, 注意直线的斜率是否存在、 截距 是否为零等一些特殊情形, 常与三角、 线性规划等知识联系 起来考查; ( 2) 考查直线方程的几种形式( 点斜式、 两点式及 一般式) , 待定系数法是求直线方程的通用方法, 要注意各种 方程形式所适用的条件.由于该知识点是C级要求, 因此, 在 教学中应重点加强. 1 .直线的斜率与倾斜角 ( 1)对于一条与x轴相交的直线, 若把x轴绕着交点按逆 时针方向旋转到与直线重合时, 所转的最小正角记为 , 则就叫做直线的倾斜角.若直线与x轴平行或重 合, 则规定倾斜角为0 .它的取值范围是0,). ( 2)倾斜角不为9 0 的直线经过P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 两点, 那么直线P Q的斜率k=y 2-y1 x2-x1 ( x1x2) , 它的倾斜角与斜率的关系式是k=t a n. 2 .直线方程的几种基本形式 ( 1)以一个方程的解为坐标的点都是某直线上的点, 这条 直线上点的坐标都是这个方程的解, 这时, 这个方程 就叫做直线方程, 这条直线就叫做方程的直线. ( 2)直线方程的五种形式 点斜式: y-y1=k(x-x1) (k要存在) ; 斜截式: y=k x+b(k要存在) ; 两点式: y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1 ( x1x2且y1y2) ; 截距式: x a +y b =1(a b0) ; 一般式: A x+ B y +C= 0(A,B不同时为0). 3 .过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 0的交点的直线系方程: A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R) ( 除l2 外). 1 .直线xt a n 7 +y=0的倾斜角是6 7. 2 .直线a x+ b y +c=0同时经过第一、 二、 四象限, 则a,b, c应满足a b0,b c 0) , 则SA B O= 1 2 a b, 而 2 a + 1 b =1,a0,b 0, 2 a +1 b 2 2 a b, 即a b8 , 故SA B O最小值为 4, 当且仅当2 a = 1 b = 1 2 时, 即a=4,b=2时取 等号, 此时, 直线方程为x+2 y-4=0 . 解法三: 设B A O=,O A=2+ 1 t a n, O B=1+ 2 t a n,则SA B O= 1 2 2+ 1 t a n ( 1+2 t a n) 0, 2 ,SA B O=2 + 2 t a n+ 1 2 t a n4 , 当且仅当t a n= 1 2 时, 面积最小值为4, 此时, 直线 方程为x+2 y-4=0 . 反思 “ 解法一” 、 “ 解法二” 是常见方法, “ 解法三” 比较难想 到.不论用哪种方法, 在运用不等式求最值时, 都要注 意自变量的取值范围. 拓展 (1) 求O A+O B的最小值呢? ( 2) 求P A P B 的最大值? ( 3) 若A O B的面积为5, 则这样的直线有2条. 解 (1)由上述“ 解法二” 可知O A+O B=a+b=( a+ b) 2 a + 1 b =3+a b +2 b a 3+22, 当且仅当 a= 2+ 2,b= 2+1时取等号. ( 2)P A P B 的最大值由读者自求( 结果为- 4 ). ( 3)由原题的第(3) 问可知,54, 故有两条. 提醒 若将“ 与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点” 去 掉, 则第( 1) (2) 问均有两解. 4 .直线方程的应用 例4 某房地产公司要在荒地A B C D E( 如图(1) ) 上划出一 ( 例4(1) ) 块长方形地面( 不改变 方位) 建造一幢8层的 公寓楼, 问: 如何设计 才能使公寓占地面积 最大? 并求出最大面 积( 结果精确到1m 2) . 点拨 要确定长方形的面积 则必须有长和宽, 为此在线段A B上需确定一点P, 可以考虑建立直角坐标系, 由直线方程来确定. ( 例4(2) ) 解 如图(2) , 在线段A B 上任取一点P, 分别向 C D,D E作垂线划得 一块长方形土地, 建立 如下图所示的直角坐 标系, 则A B所在直线 的方程为 x 3 0+ y 2 0 = 1 .设P x,2 0 - 2 3 x , 则长方形面积S=(1 0 0-x)8 0- 2 0- 2 3 x ( 0x 3 0). 化简得S= -2 3 x 2+2 0 3 x+6 0 0 0(0x 3 0). 配方易得x=5,y= 5 0 3 时,S最大, 其最大值为 6 0 1 7m 2. 反思 数学知识来源于实际, 又运用于实际, 要注意培养在生 活中用数学的意识.本题要确定最大的长方形, 只需确 定点P, 而确定点的位置最常用的方法是建立直角坐 标系, 然后利用点在线段上找到问题的求解思路. 提醒 点P在线段A B上, 故要说明并利用点P的横坐标 的范围. 1 .直线方程有五种形式.其中点斜式、 两点式、 斜截式、 截距式都是直线方程的特殊形式, 点斜式是最基本的、 重要 的, 其他形式的方程皆可由它推导.直线方程的特殊形式都 具有明显的几何意义, 但又都有一些特定的限制条件, 应用 时要注意它们各自适用的范围, 以避免漏解.常需要分类 讨论. 2 .求直线方程通用的方法是待定系数法, 但根据所给 条件选择恰当的直线方程的形式是快捷便利解题的关键, 其 中具体的规律和技巧, 请大家多总结、 多积累. 1 .( 根据必修2 P 7 7习题2 . 1(1) 第8题改编) 当点P(2,3) 到 直线l: 2x+(k-3)y-2k+6=0的距离最远时,k的值 为 4 . 提示 直线l恒过点(0,2) , 点P(2,3) 离直线l的距离最 远时, 应为P与点(0,2) 的连线, 此时l与过点P(2, 3) 、 点(0,2) 的直线垂直, 由此可求出l的斜率. 2 .( 根据必修2 P 1 1 5复习题第1 5题改编) 过点P(1,2) 作直 线l, 使直线l到点M(2,5) 和点N(2,- 1) 的距离相等, 则直线l的方程为x=1或y=2 . 第八章 平面解析几何 1 3 5 3 .( 根据必修2 P 1 1 5复习题第5题改编) 已知直线l过点 P(- 1,- 2) , 且与两坐标轴围成的三角形的面积为4个 平方单位, 求直线l的方程. ( 答案: y+2= -2(x+1) ,y+2=(642) (x+1) ) 4 .( 根据必修2 P 1 1 5复习题第4题改编) 已知直线m x+ n y -1=0不经过第二象限, 则实数m,n满足的条件为 n=0, m0 或 n0, m0 . 5 .( 根据必修2 P 1 1 5复习题第1 9题改编) ( 1)无论k取任何实数, 直线 (1+4k)x-(2-3k)y+ ( 2- 1 4k)=0必经过第 一 象限; ( 2)若记满足条件(1) 的点集为M,U= (x,y)x R,yR , 则UM= (x,y)| 4x+3y-1 4=0. 第4 6课时 两条直线的 位置关系 内 容 要 求 ABC 直线的平行关系与垂直关系 两条直线的交点 两点间的距离, 点到直线的距离 1 .利用直线方程研究两直线的位置关系是解析几何的 基本功能之一, 要熟练掌握两条直线平行、 垂直的条件, 能根 据直线方程判断两条直线的位置关系; 当方程中含有字母时 要善于抓住直线的两个特征量( 斜率、 截距) 来分类讨论.解 题时要认真画出图形, 有助于快速、 准确地解决问题. 2 .要熟练掌握点关于点对称、 点关于直线对称、 直线关 于点对称、 直线关于直线对称等对称知识和求法, 解题中要 注意加以运用( 如光线反射、 有关的距离之和的最值等). 3 .既要熟记有关的距离公式, 又要理解各个公式的本 质结构, 以便在相关问题中能逆向运用, 即化数为形. 4 .本课时知识在高考中出现频率较高, 但大多数以 小题形式考查, 在平时复习中要加强训练, 提高熟练程 度.要注意与函数、 线性规划、 类比推理等知识的结合( 如 2 0 1 1年江苏卷的第1 8题第(2) 问,2 0 1 2年江苏卷的第 1 9题第(2) 问) , 难度控制在中等程度. 1 .直线与直线的位置关系 ( 1)有斜率的两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x +b2, 有:l 1l2k1=k2且b1b2; l1l2k1k2= -1; l1与l2相交k1k2; l1与l2重合k1=k2且b1=b2. ( 2)一般式的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+ B2y+C2=0 . l1l2A1B2-A2B1=0, 且B1C2-B2C10 或A1C2-A2C10; l1l2A1A2+B1B2=0; l1与l2相交A1B2-A2B10; l1与l2重合A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1 =0 ( 或A1C2-A2C1 =0). 2 .点与直线的位置关系 若点P(x0,y0) 在直线A x+ B y +C=0上, 则有A x0+ B y 0+C=0; 若点P(x0,y0) 不在直线A x+ B y +C=0上, 则有A x0 + B y 0+C0, 此时点P(x0,y0) 到直线A x+ B y +C= 0的距离d=| A x0+B y0+C| A2+B 2 ; 平行直线A x+ B y +C1=0与A x+ B y +C2=0之间的 距离为d= |C1-C2| A2+B 2 . 3 .交点 直线l 1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0 的公共点的坐标是方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解. 若相交方程组有唯一解 , 交点坐标就是方程组的解; 若平行方程组无解; 若重合方程组有无数解. 4 .与直线l:y=k x+b平行的直线方程为y=k x+b0 ( b0b) ; 与直线l:A x+ B y +C=0平行的直线方程为A x+ B y + m=0(mC) ; 与直线l:A x+ B y +C=0垂直的直线方程为B x- A y +n=0 . 1 .“m= 1 2 ” 是“ 直线 (m+2) x+3 m y +1=0与直线 (m- 2) x+(m+2)y-3=0相互垂直” 的充分不必要 条件. 2 .若直线l1:a x+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+ ( a 2- 1) =0平行且不重合, 则a的值是- 1 . 3 .点P(2,4) 在直线a x+y+b=0上的射影是点Q(4, 3) , 则a与b的值分别为- 2,5 . 4 .若直线l:y=k x+k+ 2与直线m:y= - 2x+ 4的交点 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 3 6 在第一象限内, 则实数k的取值范围是- 2 3 k2 . 5 .过点P(2,- 1) 且与原点距离为2的直线的方程为x=2 或3x-4 y-1 0=0 . 提示 过点P的直线l与原点的距离为2, 而P(2,- 1) , 可 见过P(2,- 1) 垂直于x轴的直线满足条件, 其方程 为x=2 . 若斜率存在, 设l的方程为y+1=k( x-2) , 即k x- y- 2k- 1=0 .由已知得 | -2k-1 | 1+k 2 =2 , 解得k= 3 4, 这时l的方程为3 x-4y-1 0=0 . 综上, 直线l的方程为x=2或3x-4 y-1 0=0 . 6 .已知点P是直线l上的一点, 将直线l绕点P按逆时针 方向旋转角( 0 0及0得 ( -3 0) 2-4( d 2-9) ( d 2-2 5) 0, 从而0r 2; 点P在圆上有 (x0-a) 2+( y0-b) 2 =r 2; 点P在圆内有 (x0-a) 2+( y0-b) 2 0 . 5 .圆系方程: 设圆C1:x 2+ y 2+D1 x+E1y+F1=0和圆C2:x 2 +y 2+D2 x+E2y+F2=0 .若两圆相交, 则过交点的 圆系方程为x 2+ y 2+D1 x+E1y+F1+(x 2+ y 2+ D2x+E2y+F2)= 0(为参数, 圆系中不包括圆C2, = -1为两圆的公共弦所在直线方程). 设圆C:x 2+y2+D x+ E y +F=0与直线l:A x+ B y +C=0 .若直线与圆相交, 则过交点的圆系方程为 x 2+ y 2+D x+ E y +F+(A x+ B y +C)= 0 . 1 .方程x 2+ y 2+ a x+ 2 a y + 2a 2+ a- 1=0表示圆, 则a的 取值范围是 - 2,2 3 . 2 .点(1,1) 在圆 (x-a) 2+( y+a) 2=4的内部, 则a的取 值范围是-1a0) 所 表示的曲线关于直线y=x对称的充要条件是D=E. 4 .方程y=1-x 2 表示的曲线是x轴上半圆. 5 .过点A(1,- 1) ,B(- 1,1) 且圆心在直线x+y-2=0 上的圆的方程是( x-1) 2+( y-1) 2 =4 . 6 .圆心坐标为(2,- 3) , 一条直径的两个端点分别落在x轴 和y轴上的圆的方程是x2+y 2-4 x+6y=0 . 提示 圆心是直径的中点. 1 .求圆的方程 例1 根据下列条件求圆的方程: ( 1)过A(1,1 2) ,B(7,1 0) ,C(- 9,2) 三点; ( 2)圆心在直线y= -4x上, 且与直线l:x+y-1 =0相切于点P(3,- 2). 点拨 (1)设出圆的一般式方程, 用待定系数法求解; 也可 先求出圆心、 半径, 利用标准方程求解. ( 2)涉及圆心和半径, 宜用圆的标准方程求解. 解 (1)设所求圆的方程为x2+y 2+D x+ E y +F=0, 则有 1+1 4 4+D+1 2E+F=0, 4 9+1 0 0+7D+1 0E+F=0, 8 1+4-9D+2E+F=0, 解得D=- 2,E=- 4,F=- 9 5, 所求圆的方程为x2+y 2-2 x-4y-9 5=0 . ( 2)过切点且与直线l垂直的直线必过圆心, 此直线的斜 率等于1, 由点斜式得圆心所在直线方程为y+ 2=x - 3 .又圆心在已知直线y= - 4 x上, 联立得圆 心坐标为( 1,- 4).由切点与圆心两点的距离易得半 径r=22, 所求圆的方程为 ( x-1) 2+( y+4) 2 =8 . 反思 求圆的方程时, 应根据条件选择适当的方程形式, 常 用待定系数法或平面几何法求出圆心、 半径, 进而求 圆的方程. 拓展 1 .与x轴、y轴都相切, 并且过点(1,8) 的圆的圆心 坐标是( 5,5) 或(1 3,1 3). 提示 点(1,8) 到圆心的距离等于半径, 也等于圆心到x轴 的距离, 而圆心在y=x上. 2 .设圆上的点A(2,3) 关于直线x+2y=0的对称 点仍在圆上, 且直线x-y+1=0被圆截得的弦 长为22, 求该圆的方程. 点拨 由平面几何知识知所求圆的圆心在直线x+2 y=0 上, 问题与弦长有关, 利用圆的标准方程可能较为 方便. 略解 设所求圆的方程为 ( x-a) 2+( y-b) 2 =r 2, 则有 a+2b=0, ( 2-a) 2+( 3-b) 2 =r 2, ( a-b+1) 2 2 +2=r 2, 解得 b= -3, a=6, r 2 =5 2 或 b= -7, a=1 4, r 2 =2 4 4 . 故所求圆的方程为 ( x-6) 2+( y+3) 2=5 2或( x- 1 4) 2+( y+7) 2 =2 4 4 . 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 4 0 反思 解决圆的有关问题时, 要充分利用平面几何知识.如 本题中, 已知弦长, 则由平面几何知识知, 半弦长与圆 到直线的距离和半径构成直角三角形. 3 .已知圆C的圆心在直线x-y-4=0上, 并且通 过两圆C1:x2+y 2- 4 x- 3=0和C2:x 2+ y 2- 4y-3=0的交点. ( 1)求圆C的方程; ( 2)求两圆C1和C2相交弦的方程. 解 (1)因为所求的圆过两已知圆的交点, 故设此圆的方程 为x2+y 2-4 x-3+(x 2+y2-4 y-3)=0, 即 ( 1+) (x 2+y2) -4x-4 y -3-3=0, 即x2+y 2-4x 1+- 4 y 1+ -3=0, 圆心坐标为 2 1+, 2 1+ . 由于圆心在直线x-y-4=0上, 所以 2 1+- 2 1+ -4=0, 解得= -1 3. 所求圆的方程为x2+y 2-6 x+2y-3=0 . ( 2)将圆C1和圆C2的方程相减得x+y=0, 此即相 交弦的方程. 提醒 要重视两点: 一是运算务必要细心准确; 二是注意复 习和熟练运用圆的平面几何知识. 2 .求与圆的方程有关的参数的值或取值范围 例2 设方程x2+y 2-2( m+3)x+2(1 -4m2)y+1 6m4+ 9=0 . ( 1)m为何值时, 方程表示圆? ( 2)m为何值时, 方程表示的圆的半径最大? 并求出 此时圆的方程; ( 3)方程表示圆时, 求这样的圆的圆心所在曲线的 方程. 点拨 可将圆的一般方程化为标准方程, 由方程表示圆的充 要条件及圆心、 半径的表达式求解. 解 (1)将方程变形为圆的标准方程形式, 得7m2-6m- 1 0, 解得- 1 7 m1, 即当- 1 7 m1时, 方程表示圆. ( 2)由方程得r= 1 2 D2+E 2-4 F = 1 2 -4(7m2-6m-1) , m - 1 7, 1, r 2 = -7m- 3 7 2 +1 6 7. 故当m= 3 7 时, 圆的半径的最大值为47 7 , 此时圆的方程是x-2 4 7 2 +y+1 3 4 9 2 =1 6 7. ( 3)设圆心为C(x,y) , 由方程可得 x=m+3, y=4m2-1, m - 1 7, 1, 消去m得y= 4x 2- 2 4 x+3 5 2 0 7 0下, 此类方程其实就是圆系方 程, 要注意圆系知识的运用. 3 .与圆有关的最值问题 例3 (1)已知实数x,y满足x2+y 2+2 x-23y=0, 则 x 2+y2的最大值是 . ( 2)已知圆C: (x- 3) 2+( y-1) 2=4和直线l: x -y- 5=0, 在圆C上求两点, 使它们到l的距离 分别是最近和最远的. ( 3)已知A C,B D为圆O:x 2+y2 =4的两条相互垂 直的弦, 垂足为M(1,2) , 则四边形A B C D的面 积的最大值为 . 点拨 可以画图, 利用平面几何知识帮助求解; 也可以利用 三角代换的方法, 转化为求三角函数的最值. ( 例3(1) ) 解 (1)将圆的方程化为标准方 程, 有 ( x+1) 2+( y- 3) 2 = 2 2.可知此圆的 圆心坐标为(-1,3) , 半径为2, 易画出圆( 如 图).因x2+y2表示圆 上点到原点的距离的平 方, 显然, 最远的距离是 半径加圆心到原点的距 离, 即2+2=4,所以 x 2+ y 2的最大值为1 6 . ( 2)设圆心C(3,1) 到直线l的距离为d, 则d-r为 最近距离, d+r为最远距离. 过圆心C且与l垂直的直线方程为x+y- 3- 1= 0, 由它和圆的方程联立方程组即可求得点(3+ 2,1 - 2) 在圆C上, 且到直线l的距离最近; 点(3 - 2,1+ 2) 在圆C上, 且到直线l的距离最远. ( 3)设圆心O到A C,B D的距离分别为d1,d2, 垂足分 第八章 平面解析几何 1 4 1 别为E,F, 则四边形O EM F为矩形,则有d 2 1+ d 2 2= 3 .由平面几何知识知A C= 24-d 2 1, B D=2 4-d 2 2, S四边形A B C D= 1 2 A CB D= 24-d 2 1 4-d 2 2(4 -d 2 1)+(4 -d 2 2)=8 -(d 2 1+d 2 2)= 5 .即四边形A B C D的面积的最大值为5 . 反思 本题利用了化数为形的思想方法, 即利用了x2+y 2 的几何意义.几何法、 三角法是处理圆的有关最值问 题的通性、 通法. 4 .圆的方程的应用 例4 已知气象台A处向西3 0 0k m处, 有个台风中心, 已知 台风以每小时4 0k m的速度向东北方向移动, 距台风 中心2 5 0k m以内的地方都处在台风圈内.问: 从现在 起, 大约多长时间后, 气象台A处进入台风圈? 气象 台A处在台风圈内的时间大约多长? 点拨 仔细审题, 即可读出本题实质上是动圆与原点的位置 关系的研究问题, 为此, 需建立坐标系. ( 例4) 解 如图, 建立直角坐标系,B为 台风中心, 处在台风圈内的 界线为以B为圆心、 半径为 2 5 0的圈内.若t小时后, 台 风 中 心 到 达B1点,则 B1(-3 0 0+ 4 0tc o s 4 5 , 4 0ts i n 4 5 ) , 所以以B1为圆 心、 2 5 0为半径的圆的方程 为 ( x+ 3 0 0 - 2 02t) 2+( y- 2 02t) 2=2 5 02, 那么台风圈 内的点就应满足 ( x+3 0 0-2 02t) 2 +(y-2 02t) 2 2 5 0 2. 若气象台A处进入台风圈, 则点A的坐标就应满足上 述关系式. 把点A(0,0) 代入上面不等式, 得 ( 3 0 0-2 02t) 2 + ( 2 02t) 2 2 5 0 2, 解得1 52-57 4 t1 52+57 4 , 即1 . 9 9t 8 . 6 1 . 所以气象台A处约在2小时后进入台风圈, 处在台风圈 内的时间大约6小时3 7分. 反思 应用题是学生的薄弱环节, 应用能力又是高考考查的 基本能力, 帮助学生学会分析题意尤其重要.关键是 寻求相关的量并分析量之间的关系, 建立相关的数学 模型, 在解题过程中运算要到位. 1 .求圆的方程, 主要用待定系数法, 可以用圆的标准方 程, 求出圆心坐标和半径; 或是利用圆的一般方程求出系数 D,E,F的值.“ 选形式, 定参数” 是确定圆方程的基本方法. 2 .已知圆经过两已知圆的交点求圆的方程, 用经过两 圆交点的圆系方程简捷. 3 .解答圆的问题, 应注意数形结合, 充分运用圆的平面 几何知识, 简化运算. 1 .( 根据必修2 P 1 0 5习题2 . 2(2) 第3题改编) 若圆C的半径 为1, 圆心在第一象限, 且与直线4x-3 y=0和x轴相 切, 则该圆的标准方程是( x-2) 2+( y-1) 2 =1 . 2 .( 根据必修2 P 1 0 5习题2 . 2(2) 第6题改编) 已知一个圆经 过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y 2+2 x-4y+1 =0的交点, 并且有最小面积, 则此圆的方程为 x+1 3 5 2 +y+6 5 2 =4 5. 提示 由 2x+y+ 4 = 0, x 2+ y 2+ 2 x- 4y+ 1 = 0, 得交点A -1 1 5, 2 5 , B(- 3,2).要使圆面积最小, 则A B为圆的直径. 利用圆的直径式方程得 x+1 1 5 ( x+3)+y- 2 5 ( y-2)=0, 化简整理得x+1 3 5 2 +y- 6 5 2 = 4 5. 3 .( 根据必修2 P 1 1 5复习题第2 0题改编) 设集合M= (x, y)|x 2+ y 2=4 , N= (x,y)|(x- 1) 2+( y- 1) 2= r 2( r 0) .当MN= 时, 实数r的取值范围为 00). ( 1)代数方