复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第五章三角函数复习指导理pdf

高考复习指导 数学( 教师用书) 7 2 第第第第第 五 五五五五 章 章章章章 三 角 函 数 内 容 要 求 ABC 基本初等 函 数 ( 三 角 函 数) 、 三角 恒等变换 三角函数的有关概念 同角三角函数的基本关系式 正弦函数、 余弦函数的诱导公式 正弦函数、 余弦函数、 正切函数的图象 与性质 函数y=As i n( x+)的图象与 性质 两角和( 差) 的正弦、 余弦及正切 二倍角的正弦、 余弦及正切 解三角形正弦定理、 余弦定理及其应用 1 .本章在考试说明中大部分都是B级要求, 所以我们 要明确三角函数是高考考查的重点( 如2 0 1 2年1 9分,2 0 1 3 年3 5分,2 0 1 4年1 9分) , 但又不是高考考查的难点所在.结 合近几年江苏高考试题来看, 本章复习的问题难度必须控 制, 为中低档题. 三角函数是一种重要的初等函数, 它与数学的其他知 识点如解析几何、 立体几何及向量、 导数等有着广泛的联 系, 新课标重点突出其作为“ 描述周期现象的重要数学模 型”.按照这样的定位和江苏高考说明要求, 我们要更多地 关注三角函数的思想性和工具性, 随时准备将三角函数与 其他知识点进行综合( 例如江苏2 0 1 1年第1 5题与解三角 形, 2 0 1 2年第1 5题与向量,2 0 1 3年第1 5题与向量) , 但综合 性不要过强, 不必作复杂的三角恒等变换和化简运算( 控制 在“ 三公式、 五步” ). 2 .因为函数的性质是研究函数的一个重要内容, 所以 应加强对三角函数的图象与性质的考查, 而不是人为地加大 难度和强调技巧.目前高考对三角部分的考查, 旨在引导学 生更重视夯实基础、 强化基本功( 例如江苏2 0 1 2年的第1 1、 1 5题,2 0 1 3年第1、1 5题,2 0 1 4年第1 5题) , 不要在技巧性上 做太多的文章, 应更着力于理解函数的图象和性质, 从而能 够更好地发挥三角函数的工具作用. 3 .“ 两角和( 差) 的正弦、 余弦和正切”是C级要求, 要重 视“ 两角和( 差) 的正弦、 余弦和正切” 公式在三角公式中的基 础和“ 龙头” 作用, 重视由它出发对其他公式的推导, 并理解 公式之间的关系; 另一方面, 三角恒等式的证明未必会考( 近 五年江苏高考都没有考) , 但将题目条件中的有关式子进行 适当的整理、 化简、 变形后以利于更好地解决简单的综合题, 应该是重中之重, 因为第一步的正确性直接关系到整道题目 能否顺利、 正确地解决, 这一点在全国各地的高考试卷中均 有相当明显的体现, 所以“ 两角和( 差) 的正弦、 余弦和正切” 这个C级要求务必要引起足够的重视, 此C级要求与其特例 “ 二倍角的正弦、 余弦和正切” B级要求的熟练和准确必须强 化训练到位. 4 .解三角形是B级要求, 出题可大可小( 如江苏2 0 1 1 年第1 5题2 0 1 3年第1 8题、2 0 1 4年第1 4题) , 难度中等偏 上, 还不一定考( 如江苏2 0 1 2年未考) , 此处应在强化基本 功后进行灵活运用, 以应对可能出现的难度改变和应用 问题. 这一部分的内容, 总体来说具有“ 多、 活” 的特点, 对此要 采取行之有效的对策, 力求化繁为简. 1 .公式很多.要避免“ 公式多就不知道怎样选用, 或是 随便乱用” 的倾向, 抓住基本公式并弄清公式间的相互联系 和推导过程, 识别公式的结构特点和其中蕴含的内在规律, 是记住并熟练正确使用这些公式的关键.例如两角和与差的 正、 余弦的展开式中的函数名称、 符号特点, 务必逐个分清和 全面掌握. 第五章 三 角 函 数 7 3 2 .思想丰富.等价转化、 数形结合、 分类讨论和函数 方程的思想贯穿于本单元的始终, 合情推理、 演绎推理的 思维方法在本单元中也得到了充分的应用.如将任意角 的三角函数的问题化归为锐角的三角函数的问题, 将不 同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题, 将不 同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等, 所有 这些体现了转化思想, 应深刻理解、 熟练掌握转化的目的 和方向、 方法, 从而更好地理解化繁为简( 如化杂多为统 一) 的数学本质.又如, 课程标准强调“ 发挥单位圆的作 用” , 因为“ 单位圆可以帮助学生直观地认识任意角的三 角函数, 理解三角函数的周期性、 诱导公式、 同角三角函 数关系以及三角函数的图象和性质” , 体现了数形结合思 想的优越性. 3 .变换灵活.三角中的变换有角的变换、 公式的变换、 三角函数名称的变换、 三角函数次数的变换、 三角函数表达 形式的变换及一些常量的变换等, 并且有的变换技巧性较 强.在具体变换时必须注意: 研究函数时应遵循“ 定义域优 先” 的原则, 即三角函数务必“ 角优先”. 4 .应用广泛.三角函数与数学中的其他知识的结合点 非常多, 它是研究解三角形、 立体几何、 解析几何及向量等问 题的重要工具, 并且这部分知识在今后的学习和研究中有十 分重要的应用. 高考中重点考查的三角函数知识: ( 1) 与三角函数周期 性、 单调性有关的问题; ( 2) 与三角函数图象有关的问题; (3) 应用三角公式( 包括同角三角函数关系式、 诱导公式、 两角和 与差的三角函数公式以及二倍角公式等) 求三角函数值恒等 变形等问题. 第2 5课时 任意角的 三角函数 内 容 要 求 ABC 三角函数的概念 1 .这部分内容定为B级要求, 它是整个三角函数知识 体系的出发点.本课时基本概念、 基本公式特别集中, 三角函 数的定义、 判断三角函数值的符号、 特殊角的三角函数值等 必须理解并熟记. 2 .要善于“ 看图识性” , 充分利用“ 单位圆” 这个载体, 了 解任意角和弧度的概念, 理解任意角的三角函数定义及取值 情况, 如用正弦线等可以形象直观表示任意角三角函数的大 小、 变化等, 从而更好地理解三角函数的单调性、 周期性、 取 值范围. 1 .一条射线绕着它的端点旋转, 按逆时针方向旋转所形成 的角叫做正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角, 一条射线没有作任何旋转时, 把它看成一个角, 叫做 零角. 2 .(1)终边与已知角终边相同(的终边在终边所在 射线上)=+2 k(kZ) ; (2)终边与已知角终边关于x轴对称= -+ 2k(kZ) ; ( 3)终边与已知角终边关于y轴对称=-+ 2k(kZ) ; ( 4)终边在x轴上的角可表示为=k,kZ; ( 5)终边在y轴上的角可表示为=k+ 2, kZ. 3 .弧长公式:l= |R, 扇形面积公式:S= 1 2 l R= 1 2| |R 2 . 4 .设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为 (x,y) , 它到原点的距离|O P| = x 2+y2 =r0 . ( 1)正弦s i n=y r , 其定义域是R, 在第一、 二象限及y 轴非负半轴为正, 在第三、 四象限及y轴非正半轴为 负, 在x轴上为零. ( 2)余弦c o s= x r , 其定义域是R, 在第一、 四象限及x 轴非负半轴为正, 在第二、 三象限及x轴非正半轴为 负, 在y轴上为零. ( 3)正切t a n=y x , 其定义域是| 2+ k,kZ, 在第一、 三象限内为正, 第二、 四象限为负, 在x轴上 为零, y轴上没有意义. 注 (1)正弦函数、 余弦函数、 正切函数是以角为自变量、 比值为函数值的函数, 统称为三角函数; ( 2)三角函数值只与角的大小有关, 而与终边上点P的 位置无关. 5 .三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系 是什么? 答 正弦 纵坐标 、 余弦 横坐标 、 正切 纵坐 标与横坐标之比. 注 三角函数线的特征: 正弦线MP“ 站在x轴上( 起点在x 轴上) ” 、 余弦线OM“ 躺在x轴上( 起点是原点) ” 、 正切 线A T“ 站在点A(1,0) 处( 起点是A) ”. 1 . - 3 5是第三象限的角. 高考复习指导 数学( 教师用书) 7 4 2 .函数y=s i nx- 3 2 的定义域为x2k+ 3 x 2k+2 3, kZ . 3 .半径为2的圆上长为2的弧所对的圆心角为 1 弧度. 4 .的终边与 6 的终边关于直线y=x对称, 则=2k + 3, kZ . 5 .已知c o st a n0时, s i n= y r = 2a 5|a| = 2a 5a = 25 5 , c o s= x r = a 5a = 5 5 ,t a n=2; 当a0时, s i n= y r = 2a 5|a| = 2a - 5a = - 25 5 , c o s= x r = a - 5a = - 5 5 ,t a n=2 . 反思 本例比课本上例题多了不确定因素, 需要分类讨论. 拓展 1 .已知角的终边上一点P( - 3,m ) , 且s i n= 2m 4 , 求c o s,s i n的值. 解 由题设知x= - 3,y=m, 所以r 2 = |O P| 2 = ( - 3) 2+ m2, 得r=3+m2, 从而s i n= 2m 4 = m r = m 3+m 2 , 解得m =0或 8= 3+m 2m = 5. 当m=0时, r= 3,x= - 3,故c o s= x r = - 1, t a n= y x =0; 当m= 5时, r=22,x= - 3,故c o s= x r = - 6 4 ,t a n= y x = - 1 5 3 ; 当m= - 5时, r=22,x= - 3,故c o s= x r = - 6 4 ,t a n= y x = 1 5 3 . 提醒 注意分析题目中的条件, 当含有不确定因素时, 切记 要分类讨论. 2 .已知角的终边落在直线y=2x上, 求的正弦、 余 弦、 正切函数值. ( 答案: 与例1相同) 2 .判断角所在的象限 例2 若为第三象限角, 则 2所在象限是 . 点拨 将角表示成=k3 6 0 +,kZ( 1 8 0 2 7 0 )的 形 式,则 2 =k1 8 0 + 2,k Z 9 0 2 1 3 5 , 再对k分奇数和偶数进行讨论来 确定所在象限为第二或第四象限. 略解 第二或第四象限. 反思 也可由k3 6 0 +1 8 0 k3 6 0 +2 7 0 得k 1 8 0 + 9 0 2 k1 8 0 +1 3 5 (kZ) , 再将k分奇 偶性讨论. 拓展 已知s i nc o s0,s i nt a n0, 那么 2, 2, 9 0 -分别是第几象限角? ( 答案: 2是第一或第三象限角; 2是第三、 四象限 角或的终边落在y轴负半轴;9 0 -的终边在 第四象限) 提醒 判断三角函数值的符号的口诀:“ 一二三四、全 s t c” ( “s” 即“s i n” 、 “t”即“t a n” 、 “c” 即“c o s” ).符号千 万不能错. 3 .利用三角函数线确定角的范围或三角函数值的范围 例3 (1)若- 2 3 6, 确定s i n 的范围; ( 2)若3 0 9 0 或9 0 0). ( 1)由 2R+l=8, 1 2 lR=3, 得 R1=3, l1=2 或 R2=1, l2=6 ( 舍去). = l R = 2 3; ( 2)扇形的面积S= 1 2 l R= 1 2( 8 - 2R)R= -(R- 2) 2 +4( 0R 4). 当且仅当R=2时S取最大值4, 此时l=8- 2R=4,= l R =2 . 第2 6课时 同角三角函数 的基本关系式 及诱导公式 内 容 要 求 ABC 同角三角函数的基本关系式 正弦函数、 余弦函数的诱导公式 1 .同角三角函数的基本关系式定为B级要求, 它在研 究三角函数的性质及恒等式变换中有着最基本和最重要的 意义.公式在求值、 化简以及证明恒等式三方面的初步应用, 本节将会有所强化, 但注意不要进行繁复的公式变形, 重点 在于理解、 运用同角三角函数关系中的基本量方法、 相互联 系转化的思想. 2 .正弦函数、 余弦函数的诱导公式也定为B级要求.要 重视诱导公式的作用: 把任意角的三角函数一步步地转化为 锐角的三角函数, 这里充分体现了化归的数学思想. 1 .同角三角函数的基本关系式:s i n 2 +c o s 2 =1和t a n= s i n c o s. 2 .诱导公式: 角 函数值 2k + ( kZ) - - + 2- 2+ 正弦 余弦 正切 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五公式六 答 角 函数值 2k + ( kZ) - - + 2- 2+ 高考复习指导 数学( 教师用书) 7 6 正弦 s i n- s i ns i n- s i nc o sc o s 余弦 c o sc o s- c o s- c o ss i n- s i n 正切 t a n- t a n- t a nt a n 1 t a n - 1 t a n 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五公式六 3 .三角函数诱导公式 k 2+ 的记忆口诀: 奇变偶不变 ( 对k而言, 指k取奇数或偶数) , 符号看象限( 考察原来 的函数, 同时看把当成锐角时k 2 + 所在的象限). 注 诱导公式的应用主要是求任意角的三角函数值, 其一般 步骤: ( 1)负角变正角, 再写成2k+,02 ; ( 2)转化为锐角三角函数. 1 .设函数f(x)=x 3 c o sx+1, 若f(a)=1 1, 则f(-a)= -9 . 2 .计算:c o s 3 0 0 = 1 2 . 3 .已知是第二象限的角,t a n= - 1 2,则 c o s= -25 5 . 4 .已知c o s- 2 = 2 3, 则c o s = 1 9. 5 .(2 0 1 2辽宁卷) 已知s i n-c o s= 2,(0,) , 则 t a n= -1 . 6 .“x=2k+ 4( kZ) ” 是“t a nx=1” 成立的充分不必 要条件.( 填“ 充分不必要” 、 “ 必要不充分” 、 “ 充要” 或“ 既 不充分也不必要” ) 1 .运用诱导公式化简 例1 化简: s i n(2 -)t a n(+) c o s(-)t a n(3 -)t a n(-) . 点拨 式子的特点是含有较多的角, 故要减少角的个数. 解 s i n( 2 -) =s i n(-)= - s i n, t a n(3 -)=t a n(-)= - t a n, t a n(-)=t a n(-+)= - t a n, 原式= ( -s i n)t a n ( -c o s) (-t a n) (-t a n)= s i n c o st a n =s i n s i n =1 . 反思 本题采用的策略是将容易出错的部分分别化简.角的 变换是三角变换中最基本的变换. 提醒 (1)运用诱导公式时符号经常出错, 必须熟练、 准确. ( 2)化简的实质是恒等变形, 化简的结果应尽可能简 洁.具体地说, 应该满足: 涉及的三角函数名称较少;表达形式较简 单;特殊角的三角函数应求出它们的值. 拓展 已知s i n 2 += 1 3, 求 c o s(-2 ) s i n-7 2 c o s(-)-s i n3 2 + 的值. 答案: 3 2 2 .运用同角三角函数的关系式求值 例2 已知t a n=3, 求s i n -c o s s i n+c o s 的值. 点拨 设法将其转化为关于t a n的代数式. 解 原式=t a n -1 t a n+1= 1 2. 反思 本题所求式是关于s i n,c o s的齐次式.一般可以 化成关于t a n的分式( 即分子分母同除以t a n或 t a n 2 ). 拓展 1 .已知t a n=3, 求s i n 2 -4 s i nc o s c o s 2 的值. ( 答案:- 3) 2 .( 根据2 0 0 9年辽宁卷改编) 已知t a n=2, 则 s i n 2 + s i nc o s- 2 c o s 2 = 4 5 . 3 .证明三角恒等式 例3 求证: 1+2 s i nc o s c o s 2 -s i n 2 =1+t a n 1-t a n. 点拨一 右边只含正切, 左边是正、 余弦, 而“ 切化弦” 是常用 的消除名称差异的方法. 证法一 右边= 1+s i n c o s 1-s i n c o s =c o s +s i n c o s-s i n = ( c o s+s i n) 2 ( c o s-s i n) (c o s+s i n) =1+2 s i n c o s c o s 2 -s i n 2 =左边. 反思 “ 切化弦” 后, 一切变形似乎都显得顺理成章, 抓住函 数名称的转化是关键. 点拨二 实际上所证等式两边都可利用公式直接化简, 以求 得到相同的结果. 证法二 左边= ( s i n+c o s) 2 c o s 2 -s i n 2 =s i n +c o s c o s-s i n, 右边= 1+s i n c o s 1-s i n c o s =c o s +s i n c o s-s i n, 则左边 =右边. 点拨三 先比较两边的复杂程度, 左边比右边复杂, 因而采用 从左推右的思路.再比较两边函数的名称, 左边只含 正、 余弦, 右边只含有正切, 因而决定将“ 弦” 化“ 切”. 注意“ 1” 的代换, 逆向应用了s i n 2 +c o s 2 =1 . 证法三 左边=s i n 2 +c o s 2 +2 s i nc o s c o s 2 -s i n 2 第五章 三 角 函 数 7 7 =t a n 2 +1+2 t a n 1-t a n 2 = ( 1+t a n) 2 ( 1+t a n) (1-t a n) =1+t a n 1-t a n =右边. 反思 (1)将不同名的三角函数化成同名的三角函数是三 角变换中常用的方法, 充分体现了化复杂为简 单、 化生疏为熟悉、 化未知为已知的化归思想; ( 2)“ 左推右, 右推左, 两边推出同结果” 是证明三角 恒等式的三大途径; ( 3)这里利用了 (s i n+c o s) 2 =1+2 s i nc o s. 提醒 要注意灵活运用公式: 正向、 逆向和变形使用. 1 .由一个角的三角函数值求其他三角函数值时要注意 “ 知一求二” , 这体现了数学中的“ 基本量思想” , 求值时还要 注意角的范围引起的符号问题. 2 .在三角函数式的化简、 求值、 证明等三角恒等变换 中, 要明确化简的目的及所使用公式的允许取值范围.这里 要注意体会、 运用转化思想, 尽量将不同角化成同角、 不同名 的化成同名的三角函数. 1 .( 根据必修4 P 1 9例1改编) 求值: (1)s i n 9 6 0 = - 3 2 ; ( 2)c o s-4 3 6 = - 3 2 ;( 3)t a n-3 4 =1 . 2 .( 根据必修4 P 2 3习题1 . 2第1 0题改编) 化简: ( 1)1-s i n 2 4 0 0 = c o s 4 0 ; ( 2) 1 + s i n 1 - s i n+ 1 - s i n 1 + s i n= 2 | c o s| . 3 .( 根据必修4 P 2 3习题1 .2第1 5题改编) 已知s i nx+ 6 = 1 4, 求s i n 5 6- x+s i n 2 3 -x 的值. 答案: 1 9 1 6 4 .( 根据必修4 P 2 2练习第3题改编) 化简: s i n(+n)+s i n(-n) s i n(+n)c o s(-n) ( nZ). 答案:当n=2 k,kZ时, 原式= 2 c o s; 当n=2k+1,kZ时, 原式= - 2 c o s 反思 关键是注意题中的整数n是表示的整数倍, 必须把 n分成奇数和偶数两种类型, 分别加以讨论. 5 .( 根据必修4 P 2 3习题1 . 2第1 8题改编) ( 1) 已知s i n+ c o s= 2, 求s i n- c o s和t a n的值; ( 答案:s i n-c o s=0,t a n=1) ( 2)已知s i nc o s= 1 8, 4, 2 , 求s i n +c o s ,s i n-c o s的值. 答案:s i n+c o s= 5 2 ,s i n-c o s= 3 2 第2 7课时 两角和( 差) 的三角函数 内 容 要 求 ABC 两角和( 差) 的正弦、 余弦及正切 注意此处的教学要求为C级, 必须要引起足够的重视. 首先, 两角和( 差) 的正弦、 余弦及正切是三角恒等变换的基 础和核心, 后续的二倍角等公式实际是两角和( 差) 的特例; 其次, 高考并不一定会考三角恒等式的证明( 近五年的江苏 省高考试卷就说明了这一点) , 在这里重要的是强化三角恒 等变换的能力, 弱化公式的机械记忆; 最后, 用三角变换研究 较复杂函数的性质, 更易体现“ 在知识的交汇点处命题” 这一 高考命题的基本思想, 这样的题目更显得活泼、 有生气, 这一 点在2 0 0 82 0 1 3年的各地高考试卷中均有相当明显的 反映. 1 .两角和的正弦公式:s i n(+)= s i nc o s+c o ss i n, 两角差的正弦公式:s i n( -)= s i nc o s-c o ss i n. 2 .两角和的余弦公式:c o s(+)= c o sc o s-s i ns i n, 两角差的余弦公式:c o s( -)= c o sc o s+s i ns i n. 3 .两角和的正切公式:t a n(+)= t a n+t a n 1-t a nt a n , 两角差的正切公式:t a n( -)= t a n-t a n 1+t a nt a n . 4 .图示两角和( 差) 的正弦、 余弦和正切的推导过程. 答 S (+) C(+) 以-代 S (-) C(-) 相除 相除 T(+) 以-代 T(-) 5 .将s i n+ c o s化 成As i n(+)的 形 式 为 2 s i n+ 4 , 将s i n - 3 c o s化成As i n(+) 的形 式为2 s i n- 3 , 将as i n+bc o s化成As i n(+) 高考复习指导 数学( 教师用书) 7 8 的形式为 a 2+b2s i n( +)其中t a n= b a . 1 .c o s 4 3 s i n 1 3 +s i n 4 3 c o s 1 6 7 的值为-1 2. 2 .已知t a n= 4,t a n= 3, 则t a n(+)=- 7 1 1 . 3 .在A B C中,s i nA= 3 5, c o sB= 5 1 3 , 则c o sC=1 6 6 5. 4 .已知s i nx+ 4 = 3 5, s i nx- 4 = 4 5,则t a n x = -7 . 5 .已知 2 3 4, c o s(-)=1 2 1 3 ,s i n( +)= -3 5, 则s i n 2 的值为-5 6 6 5. 1 .两角和( 差) 的正弦、 余弦和正切与同角三角函数基 本关系的简单综合 例1 已知, 均为锐角,s i n= 3 5, t a n(-)= -1 3. ( 1)求s i n(-) ; ( 2)求c o s. 点拨 对于第(1) 题, 将切化弦, 列方程组求解; 对于第(2) 题, 将转化为-( -) , 利用两角差的余弦公式 求解. 解 (1), 0, 2 , - 2 - 2. 又 t a n(-)= -1 3 0, - 2 -0 . t a n(-)=s i n ( -) c o s(-) = -1 3, s i n 2( -)+c o s 2( -)=1, 解得s i n( - )= - 1 0 1 0 ,c o s( -)=3 1 0 1 0 . ( 2)由(1) 可得c o s(-)=3 1 0 1 0 . 为锐角,s i n = 3 5, c o s= 4 5, c o s=c o s-(-) = c o sc o s(-)+s i ns i n(-)=9 1 0 5 0 . 反思 分清已知与未知, 注意角的范围. 拓展 已知t a n 4 +=2,t a n= 1 2. ( 1)求t a n的值; ( 2)求s i n ( +)-2 s i nc o s 2 s i nc o s+c o s(+) 的值. 解 (1)t a n=t a n 4 +- 4 = t a n 4 +-t a n 4 1+t a n 4 +t a n 4 = 1 3; ( 2) s i n(+)- 2 s i nc o s 2 s i ns i n+ c o s(+) =s i n c o s + c o ss i n- 2 s i nc o s 2 s i ns i n+ c o sc o s- s i ns i n =s i n ( -) c o s( -) = t a n( -)=t a n - t a n 1 + t a nt a n= 1 7. 提醒 注意“ 角优先” 的原则, 首先确定好已知角和未知角之 间的关系, 同时密切关注角的取值范围和函数名称之 间的联系. 2 .利用两角和( 差) 的正弦、 余弦和正切求值 例2 求值: s i n 1 5 c o s 5 -s i n 2 0 c o s 1 5 c o s 5 -c o s 2 0 . 点拨 观察角度之间的关系, 抓住这一关系:2 0 =1 5 +5 . 解 原式= s i n 1 5 c o s 5 -s i n(1 5 +5 ) c o s 1 5 c o s 5 -c o s(1 5 +5 ) =s i n 1 5 c o s 5 -s i n 1 5 c o s 5 -c o s 1 5 s i n 5 c o s 1 5 c o s 5 -c o s 1 5 c o s 5 +s i n 1 5 s i n 5 =- 1 t a n 1 5 =- 2- 3. 反思 “ 角优先” 的变换原则在此体现, 注意只变2 0 ,1 5 、5 不动. 拓展 求值: 2 c o s 7 0 +s i n 4 0 c o s 4 0 . 解 原式=2 c o s ( 4 0 + 3 0 )+ s i n 4 0 c o s 4 0 = 2(c o s 4 0 c o s 3 0 - s i n 4 0 s i n 3 0 )+ s i n 4 0 c o s 4 0 = 3 c o s 4 0 - s i n 4 0 + s i n 4 0 c o s 4 0 = 3. 提醒 仍然是“ 角优先” 的原则, 先确定好角和角之间的关 系, 同时与特殊角产生有效联系. 3 .利用两角和( 差) 的正弦、 余弦和正切求角 例3 (1)已知c o s= 1 7, c o s(-)=1 3 1 4 , 且0 2, 求的值; ( 2)若0 2, 0 2, 且t a n = 1 7, t a n= 3 4, 求+的值. 点拨 对于第(1) 题, =-( -) , 通过配角将要求的角 用已知的角表示. 解 (1)=-( -) ,0 2, - 0, 2 , s i n= 4 7 3,s i n(-)= 3 1 4 3, s i n=s i n-(-) = 3 2 . 又 0, 2 ,= 3. 第五章 三 角 函 数 7 9 ( 2)t a n(+)= t a n+t a n 1-t a nt a n=1 . 又0+,+= 4. 反思 “ 配角” 是三角变换求值的一种重要手段. 拓展 已知锐角, ,满足s i n+s i n=s i n,c o s- c o s=c o s, 求-的值. 点拨 注意题目的目标是求- 的值, 结合条件s i n+s i n =s i n,c o s-c o s=c o s , 先将条件变形为s i n- s i n= - s i n,c o s-c o s=c o s, 再由两 角差的余弦公式及2+2求解, 另外要注意- 自身的范围. 解 s i n+ s i n=s i n ,s i n- s i n= - s i n0, s i ns i n,. 同理c o s-c o s=c o s ,c o s-c o s=c o s. 2+2: 1+1-2 c o s(-)=1,c o s(-)= 1 2. 0 2, - 2 -0, -= - 3. 反思 除了“ 角优先” 的原则和公式的熟练程度, 提前预判角 度的范围也是相当重要的. 4 .利用两角和( 差) 的正弦、 余弦和正切解决有关最值 问题 例4 已知函数f( x)= s i nx+7 4 +c o sx-3 4 , xR. ( 1)求f(x) 的最小正周期和最小值; ( 2)已知c o s( -)= 4 5, c o s( +)= -4 5, 0 2, 求证: f() 2-2=0 . 解 (1)f( x)=s i nxc o s 7 4 +c o sxs i n 7 4 +c o sxc o s 3 4 + s i nxs i n 3 4 = 2 s i nx- 2 c o sx=2 s i nx- 4 , f(x) 的最小正周期T=2 ,最小值f(x)m i n = - 2 . ( 2)由已知得c o sc o s+s i ns i n= 4 5, c o sc o s- s i ns i n= -4 5, 两式相加得2 c o s c o s=0 . 因为0c o s+c o s; c o s(+)s i n+s i n; c o s(+) c o s+ c o s. 4 .( 根据必修4 P 9 7例5改编) 2 c o s 1 0 -c o s 7 0 s i n 7 0 = 3. 5 .( 根据必修4 P 1 0 1例1改编) 设, - 2, 2 ,t a n ,t a n是一元二次方程x 2+ 33 x+ 4=0的两个根, 则 +=- 2 3. 高考复习指导 数学( 教师用书) 8 0 第2 8课时 二倍角的 三角函数 内 容 要 求 ABC 二倍角的正弦、 余弦及正切 此处的考试要求为B级, 不仅要从二倍角公式的来源去 深刻理解, 即当 =2时 ,就是的二倍角( 凡是符合二倍 角关系的就可以应用二倍角公式, “ 倍角” 的意义是相对的) , 而且要熟练运用公式进行化简、 求值及证明, 更重要的是利 用二倍角的正弦、 余弦、 正切公式将已知条件化简为利于研 究函数性质的解析式, 从而更好地将函数的图象和性质加 以充分的运用, 这个重要的方面在近几年各地的高考中均 有相当明显的反映, 结合本课时后续例题可以更深刻地 体会. 从两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式到二倍角公式的 推导体系如下: ( 1)s i n(+)=s i nc o s+c o ss i n 令= s i n2=2 s i n c o s. ( 2)c o s(+)=c o sc o s- s i ns i n 令= c o s 2=c o s 2 - s i n 2 =2 c o s 2 -1 =1-2 s i n 2 c o s 2 = 1 + c o s 2 2 ,s i n 2 =1-c o s 2 2 . ( 3)t a n(+)= t a n+t a n 1-t a nt a n 令= t a n 2= 2 t a n 1-t a n 2 . 1 .1-2 s i n 2 2 2 . 5 = 2 2. 2 .若t a n=3, 则 s i n 2 c o s 2 a 的值等于 6 . 3 .已知t a nx+ 4 =2 , 则t a n x t a n 2x 的值为 4 9 . 4 .3-s i n 7 0 2-c o s 2 1 0 =2 . 5 .(2 0 1 2年江苏卷) 设为锐角, 若c o s+ 6 = 4 5, 则 s i n2+ 1 2 的值为1 7 5 0 2. ( 例1) 1 .由单位圆坐标利用基本概念、 公式求三角函数值及角度 例1 如图, 在平面直角坐标系 x O y中, 以O x轴为始边 作两个锐角, , 它们的 终边分别与单位圆相交 于A,B两点, 已知A, B的横坐标分别为 2 1 0, 25 5 . ( 1)求t a n(+) 的值;(2)求+ 2的值. 点拨 先用三角函数的基本概念求出, 的三角函数值, 再用同角三角函数的基本关系式、 两角和的正切、 二 倍角的正切公式求解. 解 由条件得c o s= 2 1 0, c o s=25 5 .,为锐角, s i n=72 1 0 ,s i n = 5 5. t a n =7,t a n= 1 2. ( 1)t a n(+)= t a n+t a n 1-t a nt a n = 7+ 1 2 1-7 1 2 = -3; ( 2)t a n 2 = 2 t a n 1-t a n 2 = 2 1 2 1- 1 2 2= 4 3, t a n(+2 )= t a n+t a n 2 1-t a nt a n 2 = 7+ 4 3 1-7 4 3 = -1 . ,为锐角,0+2 0, 且c o s=s i n-7 5 0, 故在第二象限, 于是s i n= 3 5, 从而c o s=s i n- 7 5 = -4 5. 以下同解法一. 提醒 要根据角与角之间的关系合理选用最合适的公式来 简化解题过程. 3 .利用公式化简、 证明 例3 化简: 1+c o s-s i n 1-c o s-s i n+ 1-c o s-s i n 1+c o s-s i n 点拨 利用正弦、 余弦的二倍角公式先升幂, 再约分, 最后通 分化到最简. 解 原式= 2 c o s 2 2 -2 s i n 2 c o s 2 2 s i n 2 2 -2 s i n 2 c o s 2 + 2 s i n 2 2 -2 s i n 2 c o s 2 2 c o s 2 2 -2 s i n 2 c o s 2 = 2 c o s 2 c o s 2 -s i n 2 2 s i n 2 s i n 2 -c o s 2 + 2 s i n 2 s i n 2 -c o s 2 2 c o s 2 c o s 2 -s i n 2 =- c o s 2 2 +s i n 2 2 s i n 2 c o s 2 =- 1 1 2 s i n =- 2 s i n. 反思 本题也可先通分, 再约分. 拓展 求证: 1+s i n 4-c o s 4 2 t a n =1+s i n 4 +c o s 4 1-t a n 2 . 略证 原式等价于1+s i n 4 -c o s 4 1+s i n 4+c o s 4= 2 t a n 1-t a n 2 . 左边=s i n 4 +(1-c o s 4) s i n 4+(1+c o s 4) =2 s i n 2 c o s 2+2 s i n 2 2 2 s i n 2c o s 2+2 c o s 2 2 =2 s i n 2 (c o s 2+s i n 2) 2 c o s 2(s i n 2+c o s 2) =t a n 2=右边. 原式得证. 提醒 注意“ 升幂” “ 降次” 的使用. 4 .利用公式将解析式化简求值 例4 已知 3 4 ,t a n+ 1 t a n = -1 0 3. ( 1)求 5 s i n 2 2 +8 s i n 2c o s 2 +1 1 c o s 2 2 -8 2 s i n- 2 的值; ( 2)求s i n 2 + s i n 2 c o s 2 + c o s 2的值. 高考复习指导 数学( 教师用书) 8 2 解 将条件化为3 t a n 2 +1 0 t a n+3=0, t a n= -3或- 1 3. 又 3 4 ,t a n= -1 3. ( 1)原式= 5+6 c o s 2 2 +4 s i n-8 - 2 c o s =4 s i n +3 c o s - 2 c o s =4 t a n +3 - 2 = -52 6 ; ( 2)原式=t a n 2 +2 t a n 1+1-t a n 2 = -5 1 7. 拓展 已知 2 ,-0,t a n= -1 3, t a n=-1 7, 求2 +的值. 解 2, ,2(,2 ) , 又t a n 2= 2 t a n 1-t a n 2 = -3 4 0, 2 3 2 ,2 . 又( -,0) ,t a n0, - 2, 0, 2+(,2 ). 又t a n( 2+)= t a n 2+t a n 1-t a n 2t a n= -1 , 2+= 7 4 . 1 .解三角函数题的基本思路和关键是善于观察已知 式和欲求式的差异,