四川高三数学信息卷二

? ? ? ?届 高 三 数 学 信 息 卷 ? 二 ? ? ? 本试卷分第?卷? 选择题? 和第?卷? 非选择题? 两部分? 共? ? ?分?考试用时? ? ?分钟? 第?卷? 选择题? 共? ?分? 一? 选择题? 本大题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是 符合题目要求的? ?设全集? 若集合? ? ? ? ? 则? ? ? ? 理? 若?是虚数单位? 则 ? ? ? ? ? 槡? ? ? ?在复平面内对应点位于 ?第一象限?第二象限?第三象限?第四象限 ? 文? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?函数? ? ? ? ? 的反函数是 ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ?已知函数? ? ? ? ? ? ? ? 的图象如图所示? 则? ? 的解析式为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知向量?满足? 则? ? ? ? ? 则? 槡槡槡? ? ? ? ? ? ?已知二面角?的大小为? ? ?是两条异面直线? 在下面给出的四个结论中? 是?和 ?所成的角为? ? ? 成立的充分条件是 ? ? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? ?已知? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当? ?时取等号?那么当? ?时? ? ? ? ? ? 有 ?最大值? ? ?最小值? ? ?最大值? ? ?最小值? ? ?以原点为焦点? 且对应准线方程为?的圆锥曲线经过点? ? 则此圆锥曲线的离 心率?为 ? 槡? ? 槡槡? ? ?设三棱柱? ? ?的所有棱长都为?米? 有一个小虫从点?开始按如下规则前进? 在 每一个顶点处等可能的选择通过这个顶点的三条棱之一? 并且沿着这条棱爬到尽头? 则它爬 了?米之后恰好位于顶点?的不同路线有 ? ? ?种? ? ?种? ? ?种? ? ?种 ? ?已知圆? ? ? ? 点? ? 在直线?上?为坐标原点? 若圆?上存在一 点? 使得? ? ? ? ? 则? ?的取值范围是 ? ? ?若实数?满足 ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? 的最小值是 ?槡? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ?已知正项数列? 满足? ? ? 数列? 的前?项和为? 且? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第?卷答题卡 题号 ? ? ? ? 答案 第?卷? 非选择题? 共? ?分? 二? 填空题? 本大题共?小题? 每小题?分? 共? ?分?把答案填在横线上? ? ?函数? ? ? ? ? ? ? 槡 ? 的定义域为? ? ? 理? 设随机变量? ? ? ? ? 若不等式? 槡? ?对任意实数?都成立? 且? ? ? ? 则?的值为? ? 文? 某校有初中学生? ? ? ?人? 高中学生? ? ?人? 教师? ? ?人?现分层抽样? 抽取一个容量为 ?的样本进行调查? 如果从高中学生抽取? ?人? 则整个抽样过程中? 教师甲被抽到的概率 为? ? ?在? ? ?中? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ?在平面几何中有如下结论? 等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高? 请你运用类比的方法将此命题推广到空间中应为? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? 三? 解答题? 本大题共?小题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤? ? ? 本小题满分? ?分? ?已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? 求? 的单调区间? ? ? 当? ? ?时? ? 求?的值? ? ? 本小题满分? ?分? ? 理? 已知某? ?件产品中有?件次品?现检验员采用不放回一件一件依次检验? 每次每 件产品检验都是等可能的? 求? ? ? 第?次恰检验出所有次品的概率? ? ? 设检验出所有次品时检验次数为随机变量? 求?的分布列及期望? ? 文? 甲有一个装有?个红球? ?个黑球的箱子? 乙有一个装有?个红球?个黑球的箱 子? 两人各自从自己的箱子里任取一球比较颜色? 并约定? 所取两球同色时甲胜? 异色时乙 胜? ? ? ? ? ? 当?时? 求甲获胜的概率? ? ? 当?时? 这个游戏规则公平吗? 请说明理由? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 在四棱锥? ? ? ?中?底面? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为棱? ?上的一点? 且? ? ? ? ? 证明? 平面? ? ?平面? ? ? ? ? 求三棱锥? ? ?的体积? ? ? 求二面角?的大小? ? ? 本小题满分? ?分? ? 理? 已知函数? ? ? ? ? ?为自然对数的底数? ? ? 求函数? 的单调增区间? ? ? 证明? 对任意? ? ? ? ? ? 恒有? ? ? ?成立? ? 文? 已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? 求? 的最大和最小值? ? ? 若存在? ? 使得? 求?的取值范围? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? ? ? 本小题满分? ?分? 已知点? ? ? ? 动点?满足? ? ? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求动点?的轨迹方程? ? ? 若直线?与曲线?交于?两点? 且? ? 求证? 原点 ?到直线?的距离为定 值? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? ? ? 本小题满分? ?分? ? 理? 已知函数? ? ? ? ? ? 的反函数为? ? ? 数列? 和? 满足? ? ? ? ? 函数? 的图象在点? ? ? ? 处的切线在?轴上的 截距为? ? ? ? 求数列? 的通项公式? ? ? 若仅当?时? ? ? ? ? ? ?有最小值? 求?的取值范围? ? ? 设正数数列? 满足? ? ? 求证? ? ? 槡? ? 文? 设? ?是数列? 的前?项的和? 且? ? ? ? 证明数列? 是等比数列? 并求数列? 的通项公式? ? ? 数列? 满足? ? ? ? 证明? ? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? 高三?数学?四川?信息卷二?参考答案 一? 选择题 ? ? 理? 文? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二? 填空题 ? ? ? ? ? ? 理? 文? ? ? ? ? ? ? ?正三棱锥的底面上任意一点到各侧面的距离之和等于此三棱锥的侧面上的高? 提示? ? 理? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ?槡? ? ? 故选? ?由? ? ? ?得? ? ? ? ? ?槡?且? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? 槡 ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?只有同时垂直两平面的交线所成的角才与二面角相等或互补? ?令? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当?时取? ? ? ?当?时? ? ? ? ? ?有最小值 ? ? ?点?到焦点的距离为? 到准线距离为槡 ? ? ? 故? 槡? ? 槡 ? ? ?经过四条线段有?种? 经过一条线段有?种? 经过两条线段有? ?种? 共? ?种? ? ?当? ?与圆?相切时? ? ?最大? 故? ?的最大值为? ? ?画可行域? 可知当? ? ? ? ? ? ? 时? 取最小值? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理? ? 槡? ?对任意?恒成立? 则? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 三? 解答题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? 的定义域为? ? ? ? ? ? 的增区间为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 减区间为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的取值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的分布列为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文? ? 甲? 乙都取得红球的概率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 甲? 乙都取得黑球的概率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲获胜的概率为? ? ? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? 高考资源网 ? 由题意? 两人各从自己的箱子任取一球的种数共有? ? ? ? ? ? 设甲获胜为? 乙获胜为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? ? ? 当?时? 当?时? 游戏公平? 当?时? 游戏不公平? ? ? 连结? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ?平面? ? ? ? ? ? ?平面? ? ? ? ? 在? ? ?中? ? 槡 ? ? ? ?槡? ? 又? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ?平面? ? ? ?平面? ? ?平面? ? ? ? ?平面? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ?槡 ? ? ? ? 解法一? 在? ?上取一点? 使? ? ? 则? ? ? 又?平面? ? ? ? ? 又? ? ?平面? ? ?平面? ? 过?作? ?于点? 连结? ? 则? ? ? ? ?为二面角? 的平面角? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即二面角?的大小为? ? ? ? 解法二? 以?为原点? ? ?分别为? ?轴建立空间直角坐标系? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设平面? ? ?的法向量为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? 而平面? ?的法向量?为? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ?槡 ? ? ?二面角?的大小为? ? ? ? ? ? 理? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? 令 ? ? ? 即? ? ? ? 解得? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 的单调增区间为? ? ? ? 槡? ? ? ? 由? 知? 当? ? 时? ? ?是减函数? 当? 时? ? ? ?是增函数? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? 高考资源网 当? ? 时? 则? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? 即? ? ? 则? ? ? ?对任意? ? ? ? ? 不等式? ? ? ?都成立? ? 文? ? 当?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?变化时? ? ? ? ? ? 在区间的变化如下表 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 极小值? ? 所以? 在区间上的最大值? 最小值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若? 则当? ? ? ? ? 此时? 递减? 则? 不存在使得题设成立的? 若? 则当? ? ? ? 时? ? ? ? 此时? 单调递增? 当? ? ? ? 时? ? 此时? 单调递减? ? 在? 的最大值为? ? ? ? ? ? ? ? 所以题设?存在?当且仅当? ? ? ? ? ? 解得? 综上? 使题设成立的?的取值范围是? ? ? 由余弦定理? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?点?的轨迹是以?为焦点的双曲线? 其方程为? ? ? ? ? 设直线?的方程为? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 显然? ? 设 ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? 槡? ? ? 为定值? 若直线?的斜率不存在? 设直线? 则? ? ? 槡? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 即? 槡? ? ? ? ?原点?到?的距离为定值 槡? ? ? ? ? ? 理? ?页 ? 共?页 ? 第 ? ?二息信?川四?学数?考月? 高考资源网 ?