天津数学模拟一理PDF

2016 年 天津市高考模拟试卷 2 / 15 名师圈题”数学（理）模拟试卷（一） 本试卷共三道大题，共 150 分，考试用时 120 分钟 题 号 一 二 三 总 分 （15） （16） （17） （18） （19） （20） 分 数 得 分 评卷人 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题 给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求 （1）已知全集UR = ，集合 2 M= | = 4, R yyxx ， 1 21, x NxxR = ，则 () U MN I 等于（ ） （A） 2,2 （B） ) 2,1 （C）1,4 （D） ) 0,1 （2）下列结论中正确的是（ ） （A） “若 2 1 x = ，则 1 x = ”的否命题为“若 2 1 x = ，则 1 x ” （B） “ 1 x = ”是“ 2 560 xx = ”的必要不充分条件 （C） “若xy = ，则sinsin xy = ”的逆否命题为真命题 （D） “ xR 使得 2 10 xx + ， 0， 若 , x y 为整数，则34 xy + 的最小值是 （ ） （A）14 （B） 16 （C） 17 （D） 19 （5）双曲线 22 1 94 xy = 的渐近线与圆( ) 2 22 3(0) xyrr += 相切，则r 等于（ ） （A） 3 （B） 6 7 7 （C） 6 11 11 （D） 6 13 13 2016 年 天津市高考模拟试卷 第一套 3 / 15 （6）要得到 ( )cos(2) 3 f xx =+ 的图象，只需将 sin2 yx = 的图象（ ） （A）向左平移 5 12 个单位长度 （B）向右平移 5 12 个单位长度 （C）向左平移 5 12 个单位长度 （D）向右平移 7 12 个单位长度 （7）设 n a () nN 是等差数列， n S 是其前n项的和，且 56 SS ，则 下列结论错误的是（ ） （A） 0 d （D） 6 S 与 7 S 均为 n S 的最大值 （8）定义一种新运算： , , bab ab aab = 的离心率为 3 2 ，其左顶点A在圆 22 :16 O xy += 上 （）求椭圆C 的方程； （）若点P为椭圆C 上不同于点A的点，直线AP与圆O 的另一个交点为Q . 是否存在点P，使得 | | 3 | PQ AP = ? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. y x O B A 2016 年 天津市高考模拟试卷 第一套 6 / 15 得 分 评卷人 （19） （本小题满分 14 分） 已知函数 2 ( )ln f xxaxx =+ ,aR （）若函数 ( ) f x 在1，2上是减函数，求实数a的取值范围； （）令 2 ( )( ) g xf xx = ，是否存在实数a，当 ( 0, xe 时，函数 ( ) g x 的最小值是 3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由； （）当 ( 0, xe 时，求证： ( ) 22 5 1 ln 2 e xxxx + 得 分 评卷人 （20） （本小题满分 14 分） 已知数列 n a 的前n项和为 n S ，且对一切正整数n都有 2 1 2 nn Sna =+ （I）求证： 1 42 nn aan + +=+ ； （II）求数列 n a 的通项公式； （III）是否存在实数a，使不等式 2 12 11123 111 221 n a aaa an + L 对一切正整数 n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由 2016 年 天津市高考模拟试卷 第一套 7 / 15 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 （1）D提示：由函数 2 = 4 yx 的值域有 0 y ，所以 0 My y = 解不等式 1 21 x ，解得 1 x ，所以 1 Nx x = ， =1 U N x x 相切， 圆心( ) 3,0 到渐近线的距离即为半径 22 2 3 6 13 13 23 r = + ，故选 D （6）A. 提示： sin2cos(2 )cos(2) 22 yxxx = ， 5 cos(2)cos 2() 3122 xx +=+ ，只需将函数 sin2 yx = 的图象函数向左平移 5 12 个 单位长度即可，故选 A O x y (4,1) ? (3,2) ? 250 xy += 270 xy += 2016 年 天津市高考模拟试卷 第一套 8 / 15 y = 1 O (4, 2) （7）C 提示：由 56 SS ，得 8 0 a ，可得 78 2()0 aa + ，由结论 7 0 a = ， 8 0 a ，显然 C 选项是错误的； 56 SS ， 6 S 与 7 S 均为 n S 的最大值，所以 D 正确，故选 C （8）A提示：当 4 x = 时， 2 4 1log2 x x += 由题意得， 2 4 ( )(1)log f xx x =+ 2 log, 04 4 1, 4. xx x x 函数 ( ) f x 与 yk = 的图象大致如下， 结合图象可知，12 k ，故k 的取值范围为( ) 1,2 二、填空题：本大题 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （9）3 2 提示： 1010(3) 223233 3(3)(3) i ziiiii iii = = + ， 所以 22 3( 3)3 2 z =+ = . （10）3 提示： 0,1,1,1 stkp = 由 14 k = ， 则 0 11 pst =+ =+ = ， 1 124 k = + = 则 1 12 pst =+ = + = ， 2134 k =+ = ， 他们都选择方案甲进行投资时，得分之和的数学期望较大13 分 （17） 本题满分 13 分 （）证明：在平行四边形ABCD中， ABAC = ， 135 BCD =， 45 ABC =， ABAC 由 , E F 分别为 , BC AD的中点，得EF AB ，EFAC 侧面PAB底面ABCD，且 90 BAP =，PA底面 ABCD2 分 又EF 底面 ABCD，PAEF 又PAACA = I ，PA 平面PAC ， AC 平面 PAC ， EF 平面PAC 4 分 （）证明：M 为PD的中点，F 为 AD 的中点，MF PA， 又MF 平面PAB，PA 平面PAB，MF 平面PAB6 分 同理，有EF 平面PAB MFEFF = I ，MF 平面MEF ，EF 平面MEF ， 平面MEF 平面PAB 又ME 平面MEF ， ME 平面PAB 8 分 （）解：PA底面 ABCD，ABAC ，所以 , AP AB AC两两垂直，故以 , AB AC AP 分别为x轴、 y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0) A ， (2,0,0) B ， (0,2,0) C ， (0,0,2) P ， ( 2,2,0) D ， (1,1,0) E ， 所以 (2,0, 2) PB = uuu r ， ( 2,2, 2) PD = uuu r ， ( 2,2,0) BC = uuu r 设PMPD = uuuu ruuu r ( ) 0,1 ，则 ( 2 ,2 , 2 ) PM = uuuu r 所以 ( 2 ,2 ,22 ) M ， (12 ,12 ,22) ME =+ uuur ，10 分 易得平面ABCD的法向量 (0,0,1) n = r 2016 年 天津市高考模拟试卷 第一套 12 / 15 设平面PBC 的法向量为 ( , , ) mx y z = ur ， 由 0 = BC n ， 0 = PB n ，得 220 220 xy xz += = 令 1 x = ，得 (1,1,1) m = ur 因为直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 平面 ABCD所成的角相等， cos,cos, ME mME n = uuur uruuur r ，即 ME mME n ME mME n = uuur uruuur r ? uuur uruuur r ? ， 2 22 3 = ， 解得 33 2 = 或 33 2 + = （舍） 33 2 = 13 分 （18） 本题满分 13 分 解： （）椭圆C 的左顶点A在圆 22 :16 O xy += 上，令 0 y = ，得 4 x = ， 4 a = . 又离心率为 3 2 e = ，即 3 2 c a = ， 2 3 c = ， 222 4 bac = . 椭圆C 的方程为 22 1 164 xy += . 4 分 （）设点 1122 (,),(,) P x yQ xy ，设直线AP的方程为 (4) yk x =+ ， 与椭圆方程联立得 22 (4), 1. 164 yk x xy =+ += 化简得到 2222 (14)3264160 kxk xk += 4 为上面方程的一个根，所以 2 1 2 32 ( 4) 14 k x k + = + ， 2 1 2 416 14 k x k = + 7 分 2 2 1 2 1 2 4 1 1 8 4 1 ) 4 ( 1 k k x k x k AP + + = + + = + = . 9 分 又圆心到直线AP的距离为 2 |4 | 1 k d k = + ， 2 2 2 168 | 2 162 1 1 AQd k k = + + 11 分 因为 | | 1 | PQAQAPAQ APAPAP = ， 所以 22 2 222 2 2 8 |1433 1 113 |111 8 1 14 PQkk k APkkk k k + + = = = + + + . 12 分 显然 2 3 33 1 k + ，不存在直线AP，使得 | | 3 | PQ AP = . 13 分 2016 年 天津市高考模拟试卷 第一套 13 / 15 （19） 本题满分 14 分 解：（）函数 ( ) f x 在1，2上是减函数， ( )0 fx 在1，2上恒成立 又 2 121 ( )2 xax fxxa xx + =+= ，令 2 ( )21 h xxax =+ ， (1)0 (2)0 h h ，解得 7 2 a 4 分 （）假设存在实数a，使得 2 ( )( ) g xf xx = ln axx = ， ( 0, xe 有最小值 3， 因为 11 ( ) ax g xa xx = ， 当 0 a = 时， 1 ( )0 g x x = ， min ( )( )13 g xg e = ，故 0 a 5 分 有 1 () 11 ( )= a x ax a g xa xxx = 当 0 a 时， ( )0 g x ， ( ) g x 在( 0,e 上是减函数， min ( )( )13 g xg eae = = ， 解得 4 a e = （舍去）； 6 分 当 1 0 e a ，解得 1 x a ；令 ( )0 g x ，解得 1 0 x a ， 函数 ( ) g x 在 1 0, a 递减，在 1 ,e a 递增， min 1 ( )( )1ln3 g xga a = += ，解得 2 ae = ，满足条件；7 分 当 1 e a ，即 1 0 a e 时， ( )0 g x ， ( ) g x 在( 0,e 单调递减， min ( )( )13 g xg eae = = ，解得 4 a e = （舍去）8 分 综上，存在实数 2 ae = ，使得 ( 0, xe 时，函数 ( ) g x 有最小值 39 分 （）令 2 ( )ln F xe xx = ，由（）得 min ( )3 F x = 10 分 令 ln5 ( ) 2 x x x =+ ， 2 1ln ( ) x x x = ， 当0 xe + 14 分 2016 年 天津市高考模拟试卷 第一套 14 / 15 （20） 本题满分 14 分 解：（I） 2 1 2 nn Sna =+ ( ) nN , ( ) 2 2 111 11 1 22 nnnnn aSSnana + =+ 1 11 21 22 nn aan + =+ , ( ) 1 1 21 2 nn aan + +=+ ， 即 1 42 nn aan + +=+ 3 分 （II）在 2 1 2 nn Sna =+ 中， 令 1 n = ，得 1 2 a = ，代入（I）得 2 4 a = 1 42 nn aan + +=+ ， 21 46 nn aan + +=+ 两式相减，得 2 4 nn aa + = ， 5 分 数列 n a 的偶数项 2462 , n a a aa L 构成一个首项为 2 4 a = ，公差为 4 的等差数列， 当n为偶数时， 2 (1)24(1)2 22 n nn aadn =+=+= ，7 分 当n为奇数时， 1 n+ 为偶数，由上式及（I）知： 1 42422(1)2 nn anannn + =+=+= ， 8 分 数列 n a 的通项公式是 2 n an = 9 分 （III） 2 12 11123 111 221 n a aaa an + L 等价于 2 12 1