天津第一中学数学函数1资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 1717 第一学期 第六周第一学期 第六周 课程内容 第二章 函数 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 1717 本阶段知识要点：映射与函数、函数的解析式与定义域、函数的值域和最值 映射与函数 知识要点 映射与函数 知识要点 1映射 （1）映射是一种特殊的对应，映射中的集合 A，B 可以是数集，也可以是点集或其他 集合，这两个集合有先后次序，从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是截然不同的。 （2）映射包括集合 A，B 以及从 A 到 B 的对应法则f，三者缺一不可。 （3）对于一个从集合 A 到集合 B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的象，但 B 中的每一个元素却不一定都有原象，如果有，也不一定只有一个。 2一一映射 映射f：AB 为一一映射，须具备以下两个条件： （1）在映射f下，A 中不同的元素在 B 中有不同的象； （2）B 中每一个元素都有原象。 3函数 （1）定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。 由此可知，函数是一种特殊的映射f：AB。必须满足 A、B 都是非空数集，其象的 集合是 B 的子集。 （2）函数的三要素 定义域、对应法则和值域。 （3）函数的表示法 列表法、解析式法、图象法。 （4）常用函数 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数、常数函数（y=c，c 为常数）。 4判断两个函数为同一函数的方法 构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同，所以，两个函数当 且仅当定义域和对应法则相同时，是相同的函数。 判断两个函数是否为同一函数，不仅要看函数的表达式化简后是否相同，还要注意定 义域是否相同。 例如 与函数f(x)=x 是相同函数的是（ ）。 Ay= 2 x By= x x2 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 4 / 1717 Cy= x eln Dy= x 2log2 解 A 中 y=x0，值域与 f(x)=x 不同；B、C 中，定义域与f(x)=x 的定义域不同。 D 中，y=log22r与f(x)=x 为同一函数。 D应选 5求映射的个数，一般情况，可用如下两法加以解决 （1）用排列组合知识。 （2）用穷举或列表的方法。 例如已知 A=1，2，3，4，B=a、b，设映射f：AB 中 B 中的元素都是 A 中元 素的象，则这样的映射有 个。 解A 中每元素必有象，则 1，2，3，4 都有两种对应方法，根据乘法原理，共有 24=16 种对应方法，因 B 中元素都是 A 中元素的象，故需除去“四对 a”和“四对 b”两种情 况所以映射有 14 个。 6分段函数和复合函数 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的 函数叫分段函数，它是一类重要函数。 对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体，对于 分段函数，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式。 若y是u的函数，u又是x的函数，即 y=f(u)，u=g(x)，x(a，b)，u(m，n)那么 y 关于 x 的函数 y=fg(x)，x(a，b)叫做f和 g 的复合函数，u叫做中间变量，u的取值 范围是 g(x)的值域。 7用函数的思想方法解决“求范围”的问题，能取到意想不到的效果。 例如求使方程2 3lglg )lg( = x ax 有实根的 a 的取值范围。 分析把 a 表示成关于 x 的函数，从而求出该函数在 x 范围内的值域。 x0 解 由 x3 x-a0 x0 且 x3 得 xa 这时原方程可化为 x-a= 9 2 x 。只要 x0，则一定有 xa，故简化为 x0 且 x3。 a=x 4 9 ) 2 9 ( 9 1 9 1 22 +=xx (x0 且 x3)。 又 x0，a 4 9 又 x3，a2，且 a 4 9 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 1717 但当 a=2 时，原方程还有解 x=6。 a 4 9 点评本题还可以利用二次方程的区间根原理和数形结合法求 a 的取值范围。 函数的解析式与定义域 知识要点 函数的解析式与定义域 知识要点 1函数的解析式，定义域，值域是函数概念的三要素而值域是由定义域及解析式所确定 的，故解析式与定义域是函数的两个独立要素。 解析式是表示定义域和值域之间的一种对应关系，与所取的字母无关，如 y=3x2+1 与 y=3t2+1 为同一个函数。 2求函数定义域的主要根据是（1）分式的分母不得为零；（2）偶次方根的被开方数不 小于零；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零 且不等于 1；（5）三角函数中的正切函数 y=tanx(xR 且Zkkx+, 2 )，余切函 数 y=cotx(xR 且Zkkx,)；（6）还有如下求定义域的题型： 例如 若函数f(2x)的定义域是-1，1，求f(log2x)的定义域。 y=f(2x)的定义域是-1，1 2 1 2x2 y=f(x)的定义域是 2 1 ,2 由 2 1 log2x22x4 y=f(log2x)的定义域是2，4 3求函数的解析式常用的方法 （1）配凑法和换元法 如果已知复合函数fg(x)的表达式，要求f(x)的解析式时，若fg(x)表达式右边易配 成 g(x)的运算形式，则可用配凑法。当然，亦可用换元法求f(x)的解析式。但要注意，无 论是配凑还是换元法，所求函数的定义域必须满足两个条件：是函数 t=g(x)的值域且使 f(x)的解析式有意义。 （2）待定系数法 已知函数的模型（如指数函数、二次函数等），一般的方法是设出函数的解析式，然 后根据题设条件求待定系数。 例如已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5，求f(x)。 解设 f(x)=ax2+bx+c (a0) 则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c =9ax2+(6a+3b)x+a+b+c f(3x+1)=9x2-6x+5 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 6 / 1717 9ax2+(6a+3b)x+a+b+c =9x2-6x+5 比较两端系数，得 =+ =+ = 5 636 99 cba ba a = = = 8 4 1 c b a f(x)=x2-4x+8 （3）赋值法 求抽象函数的解析式，有时要通过取特殊值，亦可以以变量换变量，然后通过解方程 组求出解析式f(x)。 例如已知af(x)+bf( x 1 )=cx(a、b、cR，ab0，a2b2)，求f(x)。 解由题设af(x)+bf( x 1 )=cx 用 x 代换上式中的 x 1 则af( x 1 )+bf(x)= x c 上述两方程消去f( x 1 )，得 f(x)=)( 22 x b ax ba c 4如果函数是由实际意义确定的，这时应根据自变量的实际意义，确定其取值范围 例如用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长 2x，求 此框架围成的面积 y 关于 x 的函数解析式，并求出它们的定义域。 解如图所示，连接 CD CD=AB=2x xCD= 2 2 2 2xxlCDxl AD = = y=2x 2 22 2 x xxl + lxx += 2 ) 2 2( 由 2 2 2 xxl x 得 0x 2+ l 所以函数的定义域为) 2 0( + l ， 5学会逆向思维 0 0 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 7 / 1717 已知解析式，求函数的定义域，对于同学们来说，是比较简单的事情，若已知函数的 定义域，求其参数的取值范围，却总有一部分同学出错，这类逆向思维题恰恰是常考的内 容。 例如已知函数 f(x)=86 2 +mmxmx的定义域为 R，求实数 m 的取值范围。 解依照 m 是否为零进行分类讨论 （1）当 m=0 时，f(x)=8，其定义域为 R； （2）当 m0 时，要使 mx2-6mx+m+80 在 xR 的情况下均成立，必须满足 +=)8(436 2 mmm m 解得 0m1 综合（1）、（2）可知 m 的取值范围为0，1。 6利用分类讨论的思想方法，求含有参数的解析式的定义域 例如 设函数 y=f(x)的定义域为0，1，求函数 F(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0)的定义 域。 解 由 0x+a1 0x-a1 即 -ax1-a ax1+a a0，-aa，1-a1+a 当 1-a=a 时，即 a= 2 1 时，x= 2 1 当 1-aa 时，即 a 2 1 时，ax1-a 当 0a 2 1 时，F(x)的定义域为a，1-a 函数的值域和最值 知识要点 函数的值域和最值 知识要点 1值域的概念和常见函数的值域 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定 义域。 下面为常见函数的值域： 一次函数 y=kx+b(k0)的值域为 R 二次函数 y=ax2+bx+c(a0)，当 a0 时值域是+ , 4 4 2 a bac )，当 a0 时值域为 ( a bac 4 4 , 2 反比例函数 y=)0(k x k 的值域为yR|y0 指数函数 y=ax（a0 且 a1）的值域为y|y0 0 0 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 1717 对数函数 y=logax(a0 且 a1)的值域为 R 正、余弦函数的值域为-1，1，正、余切函数的值域为 R。 2函数的最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的 值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数最值与值 域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异。 如函数 y= 2 4 2 x 的值域是(0，16，最大值是 16，无最小值。再如函数 y=)0( 1 +x x x的值域是(-，-2), 2+U，但此函数无最大值和最小值，只有在改变 函数定义域后，如 x0 时，函数的最小值为 2。可见定义域对函数的值域或最值的影响。 3求函数的值域没有通性通法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，常 用的方法有： （1）配方法 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如 F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域 问题，均可使用配方法。 （2）换元法 运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的 值域，形如 y=ax+bdcx +（a、b、c、d 均为常数，且 a0）的函数常用此法求解。 （3）判别式法 把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x，y)=0，通过方程有实根，判别式0，从而求 得原函数的值域，形如 22 2 2 11 2 1 cxbxa cxbxa y + + =（a1，a2不同时为零）的函数的值域常用此法 求解。 注意事项：函数的定义域应为 R；分子、分母没有公因式。 （4）利用函数的有界性 形如 sin=f(y)，x2=g(y)等，因为|sin|1，x20，可解出 y 的范围，从而求出其 值域或最值。 例如 求函数 y= 12 12 + x x 的值域。 解 由 y= 12 12 + x x 得 2x= 1 1 + y y 2x0 1 1 + y y 0y1 或 y-1 原函数的值域为), 1 () 1,(+U （5）数形结合法 若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数与形结合的方法。 例如 求函数 4)5(16) 3( 22 +=xxy的最小值。 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 1717 解函数 y=f(x)的几何意义为：平面内一点 P(x，0)到两点 A(-3，4)和 B(5，2)距离之 和就是 y 的值，由平几知识，找出 B 关于 x 轴的对标点B(5，-2)连AB交 x 轴一点 P 为 所求的点 P，最小值 y=|AB|=1068 22 =+。 （6）重要不等式 利用基本不等式：a+bab2 ab 2 )( 2 ba + ，a2+b22ab 用此法求函数值域时，要注意条件“一正二定三相等”。如：利用 a+bab2求某些 函数值域（或最值）时应满足三个条件：a0，b0；a+b（或 ab）为定值；取 等号条件 a=b。三个条件缺一不可。 4利用函数的单调性 （1）关于自变量 x 的一次根式，如 y=ax+b+cdx +，若 ad0，则用单调性求值 域或最值；若 ad0，则用换元法。 （2）形如 y=x+ x k （k0）的函数。在不能用重要不等式的情况下（等号不成 立），可考虑用函数的单调性，当 x0 时，函数 y=x+ x k （k0）的单调减区间为 (0， k，单调增区间为+,k)。平时，大家把函数 y=x+ x k （k0，x0）叫做对号函 数（图象形如“”），其分界点为（kk 2 ,），至于 x0 的情况，可根据函数的奇偶性 加以解决。 例如求函数 y= 4 5 2 2 + + x x 的值域，由 y t t x x x x1 4 1 4 4 5 2 2 2 2 += + += + + = （t2） 因 t0，t t 1 =1，但 t=1 1 = t t 不在区间2，+)，故等号不成立，考虑单调 性， 因 y=t+ t 1 在区间1，+)单调递增，所以在其子区间2，+)为单调递增函数。 故原函数的值域为2.5，+)。 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1010 / 1717 映射与函数 例 1、 映射与函数 例 1、下列对应是否为从 A 到 B 的映射？能否构成函数？ A=R，B=R，f:xy= 1 1 +x A=a| Na 2 1 ，B=b|b= Nn n , 1 ，f:ab= a 1 A=x|x0，B=R，f:xy，y2=x A=平面内的矩形，B=平面内的圆，f:作矩形的外接圆 解当 x=-1 时，y 值不存在，所以不是映射。 A、B 两集合分别用列举法表述为 A=2，4，6，B=1，, 4 1 , 3 1 , 2 1 ，由对应法则f:a b= a 1 知，是映射，又 A、B 为非空数集，所以亦为函数。 不是映射，如 A 中元素 1 有两个象1 是映射。但不是函数。 例 2、例 2、某服装个体户在进一批服装时，进价按原标价打了七五折，他打算对该批服装定一 新价标在价目卡上，并注明按该价降价 20%销售，这样，仍可获得 25%的纯利，这个个 体户给这批服装定的新标价与原价之间的函数关系是 。 （2002 年上海高考模拟 试题） 解设原标价为 x，则进价为 0.75x，又设新标价为 y。 则 0.8y=0.75x(1+25%)化简得 y= 64 75 x，（x0） 例 3、例 3、判断下列各组函数是否表示同一个函数。 （1） 1 1 2 = x x y与 y=x+1； （2）y=lgx 与 y= 2 lg 2 1 x； （3）y=1 2 x与 y=x-1； （4）y=x 与 y=logaax(a0 且 a1) 分析 判断两个函数是否相同，先观察定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是 否一致，由此即可判断。 解（1）表示不同函数，因为定义域不同。 （2）Qy=lgx 的定义域为（0，+），而 y= 2 lg 2 1 x的定义域为), 0()0 ,(+U， 两函数不是相同函数。 （3）Q = 1 1 1 2 x x xy 与 y=x-1 的对应法则不相同。两函数不是相同函数。 (x0) (x0) 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1111 / 1717 （4）表示相同的函数 例 4、例 4、设 M=a，b，c，N=-2，0，2 （1）求从 M 到 N 的映射的个数； （2）从 M 到 N 的映射满足f(a)f(b)f(c)，试确定这样的映射f的个数。 解（1）根据映射的要求：“每元必有象，每元 象惟一”，M 中元素 A 可对应 N 中的-2，0，2 中任一个，有 3 种对应方法；同理，M 中元素 b，c 也各有 3 种对应方法，根据乘法原理，从 M 到 N 的映射的个数为 33=27。 （2）满足f(a)f(b)f(c)的映射是从 M 到 N 的 特殊映射，可具体化，通过列表求解。 故符合条件的映射f有 4 个。 例 5、例 5、学科内综合如图 31，已知梯形 ABCD 中，|AB|=2|CD|，点 E 分有向线段AC所 成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点，当 3 2 4 3 时，求双曲线离 心率e的取值范围。 解已知条件 4 3 , 3 2 ，求离心率e的范围， 可以大胆地构造做题框架，找出e与的关系式再往下作。 如果，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴， 建立直角坐标系 xOy，则 CDy轴。因为双曲线经 过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称。 依题意，记 A(-c，0)，C( 2 c ，h)，E（x0，y0）其中 c = 2 1 |AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。 由定比分点坐标公式得 x0= + = + = + + 1 , ) 1(2 )2( 1 2 0 h y c c c 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 = b y a x ，则离心率 a c e = 由点 C、E 的双曲线上，将点 C、E 的坐标和 a c e =代入双曲线方程得1 4 2 22 = b he 1) 1 () 1 2 ( 4 2 2 22 2 = + + b he 由式得1 4 2 2 2 = e b h f(a) f(b) f(c) 0 2 2 2 2 2 2 0 2 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1212 / 1717 将式代入式，整理得 += 1 3 2 2 e 10,710 , 7 4 3 , 3 2 2 ee 点评通过建立适当的直角坐标系，利用方程的思想完全可以得出 e 与的函数关 系。 函数的解析式与定义域 例 1、 函数的解析式与定义域 例 1、设函数f(x)= + ), 1 (,log 1 ,(,2 81 xx x x 则满足 f(x)= 4 1 的 x 值为 。（ 解析 （1）若 2-x= 4 1 ，即 2-x=2-2 x=2。又 1 ,(x x=2 应舍去； （2）若 log81x= 4 1 ，x=81 4 1 ， x=(34) 4 1 =3 x(1，+) x=3，即为所求 例 2、例 2、求下列各函数的定义域： （1）y= 2 1 )|lg(| x xx （2）y=xxcoslg25 2 + 分析 依真数大于零，分母非零，偶次被开方式非负进行求解。 解（1）由 2 1-x 0 |x|-x0 得 1x0） 4已知 f(x)= -e (x=0)，则( )fff的值为_。 x2+1 (x0，求 f(x2)的定义域。 常数 mR)，求函数 y=f(x)的解析式，并求出它们的定义域。 4已知扇形的周长为 10，求此扇形的半径 r 与面积 S 之间的函数关系式及其定义 域。 函数的值域和最值 函数的值域和最值 1值域为（0，+）的函数是（ ） Ay=x2-x+1 By=( 3 1 )1-x 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 10 Cy=132 1 + x Dy=|log2x2| 2函数 1 22 2 + + = x xx y的值域是（ ） Ay|y-2 或 y2 By|y2 Cy|-2y2 Dy|y 22 3对于每个实数 x，设 f(x)是 y=4x+1，y=x+2 和 y= - 2x+4 三个函数中的最小 值，则 f(x)的最大值是（ ） A 3 8 B3 C 3 2 D 2 1 4函数 y= x x 21 3 + (x0)的值域是_。 5x4，则函数 y=x+ x 4 的最小值为_。 6（1）求 y=(ex-a)2+(e-x-a)2(0a1，t1， 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 10 4已知函数 y=lg(mr2-4mx+m+3)的定义域为 R，求实数 m 的取值范围。 5（1）设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，满足f(0)=1，且对任意实数 a，b，有 f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)。求f(x)。 （2）函数f(x)(x(-1，1)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1)。求f(x)。 函数的值域和最值 函数的值域和最值 1（1）已知 x2+y2=4，求 4x+3y 的最值。 （2）已知 sinx+siny= 3 1 ，求函数 u=sinx-cos2y 的最值。 2已知 3 1 a1，若 f(x)=ax2-2x+1 在区间1，3上的最大值 M(a)，最小值 N(a)， 令 g(a)=M(a)-N(a) （1）求 g(a)解析式； （2）判断 g(a)单调性，并求出 g(a)的最小值。 3用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器（如 图所示），设容器的高为 h 米，盖子边长为 a 米 （1）求 a 关于 h 的函数解析式； （2）设容器的容积为 V 立方米，则当 h 为何值时，V 最大？求出 V 的最大值。（求 解本题时，不计容器的厚度） 4某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出。当 每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护 费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。 （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 1.函数1yxx=+的定义域为（ ） A |1x x B |0x x C |10x xx 或 D |01xx 2.函数 22 1 ( )1 (32)34f xnxxxx x =+的定义域为（ ） A.(, 42,) + B. ( 4,0)(0,1) C. 4,0)(0,1 D. 4,0)(0,1 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 10 3.若函数( )yf x=的定义域是0,2，则函数 (2 ) ( ) 1 fx g x x = 的定义域是（ ） A0,1 B0,1) C 0,1)(1,4U D(0,1) 4.已知函数 2 ( )2(4)4f xxm xm=+，( )g xmx=，若对于任一实数x，( )f x与 ( )g x的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ） A 4,4 B( 4,4) C (,4) D(, 4) 5.设函数 2 2 11 ( ) 21 xx f x xxx = + ， ， 则 1 (2) f f 的值为（ ） A 15 16 B 27 16 C 8 9 D18 6.定义在R上的函数( )f x满足()( )( )2f xyf xf yxy+=+（xyR，）， (1)2f=，则( 2)f等于（ ） A2 B3 C6 D9 7.函数( )f x满足( )()213f xf x+=，若( )12f=，则()99f=( ) （）13 （）2 （）13 2 （） 2 13 8.函数f(x)= 1 x x+ 的最大值为（ ） (A) 2 5 (B) 1 2 (C) 2 2 (D)1 9.函数f(x)= sin 54cos x x+ (0x2)的值域是（ ） (A)- 1 1 , 4 4 (B)- 1 1 , 3 3 (C)- 1 1 , 2 2 (D)- 2 2 , 3 3 10.函数 2 21 ( ) log (1) x f x x = 的定义域为 11.如图，函数( )f x的图象是折线段ABC，其中ABC， ，的坐标分别为 (0 4) (2 0) (6 4)，则( (0)f f= ；函数( )f x在1x =处的导数(1) f = 12.已知 2 (3 )4 log 3233 x fx=+，则 8 (2)(4)(8)(2 )ffff+L的值等于 13.若函数( )()(2 )f xxa bxa=+（常数abR，）是偶函数，且它的值域为(4， 则该函数的解析式( )f x = 14.已知函数 2 ( )|2|f xxx=+，则(1)f=_。 15、已知实数0a，函数 0，由 ax2b，得当 a0 时，x-b，b；当 a0 时，a |x|b，即 x-b，-aa，b。 4答案：S=-r2+5r，定