天津第一中学数学直线与圆的位置关系资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 9 第一学期 第二周第一学期 第二周 课程内容 第二讲 直线与圆的位置关系 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 9 1、准备知识要点： 圆的基本知识，如定义、圆的直径、圆的画法等 2、本阶段知识要点： 掌握圆周角定理及其推论；掌握圆的内接四边形性质定理和判定定理. 1圆周角 1圆周角 （1）顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. （2）定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 表示法： BOCA 2 1 已知：O 中，BC 所对的圆周角是BAC，圆心角BOC. 求证： BOCBAC 2 1 . 证明：分三种情况讨论 图（1）中，圆心 O 在BAC的一条边上. BOCBAC CBACBOC BACCOCOA = += = 2 1 , , Q Q BOCBAC CBACBOC BACCOCOA = += = 2 1 , , Q Q 图（2）中，圆心 O 在BAC的内部，作直径 AD.利用（1）的结果，有 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 9 BOCBAC BOC DOCBODDACBAD DOCDACBODBAD = + 2 1 2 1 )( 2 1 . 2 1 2 1 即 ， 图（3）中，圆心 O 在BAC的外部，作直径 AD.利用（1）的结果，有 BOCBAC BOC DOBDOCDABDAC DOCDACDOBDAB = 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 即 ， （3）推论 推论 1推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等. 常见表示法 如图，EDA= CDABQP QPCDAB ， QQ 推论 2 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 表示法： QAB 是O 直径， 90CQ, BCAC. AB 是O 直径. 推论 3 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 表示法： 如图，CDBDADQ, )(BCACABC是直角三角形. 或 或 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 9 注：（1）圆周角的概念、圆周角定理及其推论，在推理论证和计算中应用广泛，不但 是本单元的重点，也是圆这一章重点内容之一. （2）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. =ABAm 2 1 m 表示“的度数” 2圆外角与圆内角 2圆外角与圆内角 （1）顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角. 圆外角的度数等于它两边所夹的弧的度数差的一半. )( 2 1 =ACBDPm （2）顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角. 圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它对顶角所对的弧的度数和的一半. )( 2 1 +=BCADAPDm 注：圆外角、圆内角度数定理，不是课本要求的，希望基础好的同学要掌握. 3圆的内接四边形 3圆的内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫 做这个多边形的外接圆. 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 表示法： 如图，=+180DB， . .180 ADCE BCDA 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 9 圆内接四边形的判定： 证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法 1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这 一点，即可肯定这四点共圆 方法 2 把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可 肯定这四个点共圆 方法 3 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若 能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆 方法 4 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻 补角的内对角时，即可肯定这四点共圆 方法 5 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线 段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段， 若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的 两线段之积，即可肯定这四点也共圆 方法 6 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆 上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四 点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选 择一种证法，给予证明 例 1 例 1如图，AB、DE 是O 的直径，弦 AC/DE. 求证：BECE 证明：在O 中， ECBE ECBE ECAD DEAC BEAD BOEAOD = = = = = . . ,/ . , Q Q 说明：在同圆或等圆中，若证明两条弦相等，可以考虑：证明弦所对的弧相等； 证明弦的弦心距相等. 例 2例 2如图，AB 是O 直径，弦 CDAB，射线 CF 交 AC 于 E. 求证：AE 平分DEF. 证明一：连结 BC. QAB 是O 直径，CDAB, 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 9 DEFAE B B ADAC = = = = 平分即 21 1 2 Q 证明二：连结 BE QAB 是O 直径，CDAB, BCBD DEFAE BEAE AB = 平分即 ， ， 的直径是 . 21 43 90329041 43 Q Q 说明：（1）习题中有直径垂直于弦时，要考虑到直径分弦所对的两条弧，并且等弧 所对的圆周角相等. （2）本题给了两种证法：证明一是利用中间量介绍，也可连结 AD，证明二是利用等角 的余角相等证明的. 例 3例 3内接于圆的四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 垂直相交于点 K，过点 K 的直线与边 AD、BC 分别相交于 H 和 M. 求证：如果 CMMB，那么 KHAD. 证明：，MBCMBDACQ . .9021 9041 42 32 43 2 1 ADKH BMBCKM 即 ， Q Q 说明：“互余”是证明两线垂直的基本方法. 例 4例 4如图，四边形 ABCD 内接于O，过 C 作 CE/BD 交 AB 的延长线于 E. 求证：BEADBCCD. 证明：连结 AC . 2 , 21 . 1 / = = = E E BDCE Q Q 又 ， ADCCBEQ O 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 9 CDBCADBE AD BC CD BE ACDCBE . 说明：（1）圆中等积式、比例式的证明思路和方法与学习相 似形时证明等积式、比例式的思路和方法相同.要注意使用圆中的 知识解题. （2）同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形外角都等 于它的内对角，是用的最多的两个定理.同学 们要在识别图形和运用定理的意识上下功夫. 例 5例 5如图，O1 与O2交于 A、B 两 点，经过 A 点的直线 CD 交O1于 C，交 O2于 D，经过 B 点的直线 EF 交O1于 E，交O2于 F. 求证：CEDF. 证明：连结 AB DFCE FE FE / 180 18011 ，Q 说明：（1）这个题告诉了我们一个规律， 就是：过相交两圆的交点的直线，与一个圆 两个交点连线与另一个圆两个交点连线平行. 虽然过交点的两条直线有各种位置关系， 但它们都符合这个规律，这样，多个题就可 以看成一个题了. 如图，求证：CE/DF. 请同学们试加证明. 我们掌握了这个规律，在证明一些习题时，就增加了已知条件，提高了分析问题，解 决问题的能力. （2）两圆相交公共弦是一条重要辅助线. 例 6例 6求证：矩形的四个顶点在同一个圆上. 已知：矩形 ABCD. 求证：A、B、C、D 在同一个圆上. 证明：连结 AC、BD，交于 O 点. ABCD 是矩形， AC=BD， OA=OC,OB=OD. OA=OB=OC=OD， A、B、C、D 在同一个圆上. 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 9 例 7例 7如图，平行四边形 ABCD. 求证：C、D、F、E 在同一圆上. 证明：连结 EF. ABCD， B=D，ADBC. AB=EF. BF=AE. B=1. 1=D. C、D、F、E 在同一圆上. 例 8例 8如图，两圆相交于 A、B，过 B 的割线与两圆分别交于 C、D. P 是圆形外一点，连 结 PC、PD 分别交两圆于 E、F. 求证：P、E、A、F 四点共圆 证明一：连结 AB，AE，AF 1=3，2=4， 3+4=180， 1+2=180. P、E、A、F 四点共圆. 证明二：连结 AB、AE、AF. 1=3，3=5， 1=5. P、E、A、F 四点共圆. 例 9例 9如图，BD 是O 直径，ABAC，ADBC， 求证：AFEC， 证明：ABAC，ADBC， 1+ACB=90， B+ACB=90. 1=B. B=2， 2=1. A，F，D，C 四点共圆， AFC=ADC=90. 即 AFEC. 5 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 13 1在同圆中，AB=2CD，那么弦 AB 和 CD 的大小关系是（ ） （A）AB=CD （B）ABCD （C）ABAB 2已知圆内接四边形 ABCD，且 AB 的度数：BC 的度数：CD 的度数：DA 的度数为 1： 2：3：4，则DCBA：等于（ ） （A）1：2：3：4 （B）4：3：2：1 （C）4：3：1：2 （D）5：7：5：3 3如图 7-94，四边形 ABCD 对角线 AC 与 BD 交于点 O，AODBOC，AD 与 BC 不 平行，ABD=45，则ACD=_ 4如果四边形 ABCD 内接于圆，并有 DACDBCAB:=2：3：5：6，则B 的外角度 数为_ _ 5若圆内接四边形 ABCD 中，A，B，C 的度数的比是 236，则该四边形内角中 最大度数是_ _ 6若圆内接四边形相邻三个外角的度数的比是 243，则该四边形内角中最大的角是 _度 7如图 7-95，在ABC 中，AEF=45，BEAC 于 E，CFAB 于 F，EFC=20，则 ABE=_ _ 8如图 7-96，在ABC 中，B=50，BEAC 于 E，CFAB 于 F，则AEF=_ _ 9如图 7-97，四边形 ABCD 内接于圆，DCE=50，则BOD=_ _ 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 13 10如图 7-98，A=D=65，ABD=30，则ACD=_ _ 11平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中四个顶点一定共圆的有_ _个 12已知：如图 751，AD 平分BAC，DEAC，且 AB=a求 DE 的长 13如图 754，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=135，以 A 为圆心，AB 为半径作 A 交 AD，BC 于 E，F 两点，并交 BA 延长线于 G，求 BF的度数 14如图 758，等腰三角形 ABC 的顶角为 50，AB=AC，以 AB 为直径作半圆与 BC 交于 D，与 AC 交于点 E。求 DEBD,和 AE的度数 15已知：如图 7-99，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，DAB=60， BD=6cm求：对角线 AC 的长 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 13 16已知：如图 7-100，四边形 ABCD 中，DAB=60，CBAB 于 B，CDAD 于 D， BC=2cm，DC=11cm求：AC 的长 1以ABC 的 BC 边为直径的半圆，交 AB 于 D，交 AC 于 E，EFBC 于 F，AB=8cm， AE=2cm，BFFC=51（见图 761）求 CE 的长 2如图，O 是EPF 的平分线上的一点，以 O 为圆心的圆和角的两边分别交于点 A、 B、和 C、D.求证：ABCD 3如图，AD 是 ABC 的高，AE 是 ABC 的外接圆直径. 求证：ABACAEAD 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 13 4如图，P、Q、R 分别是 AB，BC，AD 的中点，QP、DA 延长线交于 S，RP、CB 延长 线交于 T. 求证：S，T，Q，R 四点共圆. 5如图，ACBC，CEAB，CFAD. 求证：AFE=B. 6如图，延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边，分别相交于点 M、N. 求证：AMD 和ANB 的平分线互相垂直. 7如图，O1与O2交于 A、B，O1的弦 AD 交O2于 P，PB 交O1于 C，CD 交 O2于 E、F. 求证：（1）PF2=PBPC. （2）PEPF. 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 13 8ABC 内接于O，EF 是 AB 的中垂线，交 AC 于 D，交 BC 延长线于 E，交O 于 F. 求证：ADCDODED. 9如图 7-101，已知O 中，弦 AB=CD，延长 BA，DC 相交于 P 点，E 为 BD上一点， CE 交 BD 于 F， 求证：（1）PA=PC； （2）ABEF=BEDF 10如图 7-102，已知在ABC 中，AD=DC，AFE=ADE，C=BAD求证： ED=DF 11如图 7-103，在ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，AC 的中点，且 APBC 于 P，求证：E，D，P，F 四点共圆 12如图 7-104，四边形 ABCD 内接于O，过 AB 延长线上一点 E 作 EFAD，且与 DC 延长线交于 F，证明四边形 BEFC 为圆内接四边形 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 13 13如图 7-105，ABC 内接于O，D 点在O 上，AD 平分BAC，DEAB 于 E，DF AC 交 AC 延长线于 F求证：BE=CF 14如图 7-106，在ABC 中，AB=AC，BD 是ABC 的角平分线，ABD 的外接圆交 BC 于 E求证：AD=EC 15如图 7-107，O 中，两弦 ABCD，M 是 AB 的中点，过 M 点作弦 DE求证： E，M，O，C 四点共圆 16如图 7-108，M，N 分别是ABC 中 AB，AC 的中点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于 D，过 N 作 AC 的垂线交 AB 于 E求证：B，C，D，E 四点共圆 17如图 7-109，四边形 ABCD 内接于圆，AC 平分BAD，延长 DC 交 AB 的延长线于 E 点若 AC=EC，求证：AD=EB 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 13 1、如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给 出下列三个结论： AD+AE=AB+BC+CA； AFAG=ADAE AFB ADG 其中正确结论的序号是 A B C D 2、选修 4-1：几何证明选讲 如图，D，E 分别为ABC的边 AB，AC 上的点，且 不与ABC的顶点重合已知 AE 的长为 m，AC 的 长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 2 140 xxmn+=的两个根 （I）证明：C，B，D，E 四点共圆； （II）若90A=，且4,6,mn=求 C，B，D，E 所在圆的半径 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 52 3、如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线 上一点，且2,:4:2:1.DFCFAF FB BE=若CE与圆相 切，则线段CE的长为_. 4、如图 4，过圆O外一点 P 分别作圆的切线 和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5， BAC=APB, 则AB= 。 5、如图 2，,A E是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =， ADBC,垂足为 D, BE与AD相交与点 F，则AF的长为 。 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 13 必会基础题答案： 必会基础题答案： 1D 2D 345 456.25 5135 6144 725 850 9100 1030 112 12a 提示：显然 = AEDB，从而 = ABDE，就得 DE=AB=a 13 0 90 提示：在梯形ABCD中 0 135,/=BADBCAD，所以 0 45=BGAE。 因为B是 GF所对的圆周角，所以 GF的度数为 0 90。又 BG 是A 的直径，所以 BFG 的度数为 0 180。所以 BF的度数为 0 90。 1450，50，80提示：提示：连接 AD，则 AD 平分A 15cm34。提示：四边形 ABCD 内接于圆， 0 60=A，故 BD 为圆内接等边三角形的 一边，设圆的半径为 r，则63 =rBD，所以)(342cmrAC= 1614 cm提示：作 BECD 于 E，则BCE=60，所以 CE=1，从而 DE=12，又 BE= 3 ，所以 147)3(12 222 =+=BD ，设半径为 r，由于 0 60=A ，所以 22 3,3rBDrBD=，所以1473 2 =r，r=7，所以 AC=14（cm） 提高拓展题答案： 提高拓展题答案： 1cm32。提示提示：解法一：连接 BE，由 BC 为直径，得 0 90=BEC，所以 BE2=AB2 AE2=8222=60又因为 BFFC=51，故设 BF=5x，FC=x，则 BC=6x因为 EF BC，所以 BE2=BFBC，即26560=xxx，而 1260)26( 2222 =BEBCCE所以，cmCE32= 解法二 连接 BE，则 BEAC，所以 BE2=8222=60在直角三角形 BCE 中 1 5 2 2 = FC BF CE BE 所以)(32 5 2 cm BE CE= 2作 OMAB，ONCD，M、N 为垂足，证 OMON. 3连结 BE，证ADCABE. 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 13 4证明：连结 AC，BD. P，Q，R 是 AB，BC，AD 的中点. ACPQ，BDPR. 1=2，3=4 1=3， 2=4 S、T、Q、R 四点共圆. 5证明：CEAB，CFAD， A，C，F，E 四点共圆 AFE=1 ACBC，AEAB， 1+BAC=90， B+BAC=90. 1=B. AFE=B. 6先运用外角定理证明MEGMGE，再利用等腰三角形三线合一性质得出结论. 7连结 AB，AE，BF （1）证PFBPCF. （2）证PEFPFE. 8连结 AO 并延长交O 于 G，连结 CG.。证明AODECAG，ECD即可. 9（1）提示提示：证法一：连接 AC。因为 AB=CD，所以 =DCAB。就有CDB= PBD又因为 A，B，D，C 四点共圆，所以PAC=CDB=PBD=PCA，所以 PC=PA 证法二 ：作 OMAB 于 M，作 ONCD 于 N，连接 OP，证出 AM=CN，PM=PN （1） 提示提示：CDFBEF，所以 EF DF BE CD =。而 AB=CD，所以 EF DF BE AB =。即 DFBEEFAB= 10提示：提示：由于AFE=ADE，所以四边形 AEDF 内接于圆，而 DAFCBAD=，所以 = DFED，从而 ED=DF 11提示：提示：CDEF 为平行四边形，所以DEF=C，又 PF 是直角三角形 CAD 的斜边的中 线，所以C=CPF，从而DEF=CPF，因此 E，D，P，F 四点共圆 12提示：提示：E+A=180，而A=FCB，所以E+FCB=180，所以四边形 BEFC 为圆 内接四边形 13提示：提示：连接 BD，DC只需证明：RtBDERtCDF 14提示：提示：AD=DE又CDE=ABC=C，所以 EC=DE，从而 AD=EC 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 12 / 13 15提示提示：设过 M 的半径为 ON，则 =NBNA，又显然 =NBDNAC，从而MOC 的 度数为 CED的度数的一半。又CEM 的度数为 CD（劣弧）的度数的一半；从而 0 180=+CEMMOC。所以 E，M，O，C 共圆 16