天津第一中学数学向量资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 1212 第一学期 第十五周第一学期 第十五周 课程内容 向量的概念及运算、平面向量的数量积、线段的定比分点 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 1212 1、准备知识要点： 向量的概念及表示、向量运算的公式、向量的数量积的相关知识、线段的定比分点相 关知识 2、本阶段知识要点： 理解平面向量的概念及表示；掌握向量的线性运算的概念及运算公式；掌握平面向量 数量积的坐标表示及运算公式；掌握线段的定比分点公式。 向量的概念及运算 向量的概念及运算 1向量的有关概念 向量既有大小又有方向的量 向量的长度（模）向量的大小 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，并且规定零向量与任何向量 均平行。 相等向量长度相等且方向相同的向量。 2向量运算 （1）加法运算 加法法则（如图所示）；三角形法则；平行四边形法则， 平面向量的坐标运算： 设 a a=(x1，y1)，b b=（x2，y2），则 a a+b b=（x1+x2，y1+y2） （2）减法运算 减法法则（如图所示）： 平面向量的坐标运算： 设 a a=(x1，y1)，b b=(x2，y2)，则 a-ba-b=(x1-x2，y1-y2)。设 A、B 两点的坐标分别为（x1， y1），（x2，y2），则 AB=（x2-x1，y2-y1）。 （3）实数与向量的积 定义：a a，其中0 时，a a 与 a a 同向，|a a|=|a a|；当0 时，a a 与 a a 反方向， |a a|=|a a| 0a a=0 0，平面向量的坐标运算：设 a a=（x，y），则a a=(x，y)=（x，y） 3向量的几何运算和坐标运算 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 4 / 1212 向量的几何运算是向量知识的基础。本类题是向量加减法、数乘的运算定义和运算法 则的基本练习，以向量运算图或向量运算式给出，并通过图解或解来完成，设问形式有求 解、作图、化简、证明等，解题方法比较直接。 向量的坐标运算包括直接利用坐标法运算法则计算向量的和、差、数乘积。 例如 已知正方形 ABCD 的边长为 1，= ABa a= BC,b b= AC,c c，求作以下各向 量，并求它们的模。 （1）a+b+ca+b+c；（2）a-b+ca-b+c；（3）c-a-bc-a-b。 分析 根据正方形性质及向量的和与差的定义作图并求模。 解 如图，（1）延长 AC 到 E，使| = ACCE， 则 a+b+ca+b+c +=ACBCAB =+=AECEAC |a+b+ca+b+c|=| AE|=22 （2）作 = ACBF 则 a-b+ca-b+c= =+=+=+DFBFDBBFADABACBCAB |a-b+ca-b+c|=| DF=2 （3）c-a-bc-a-b= BCABAC = BCBC0 0 |c-a-bc-a-b|=|0 0|=0 4两个向量平行的充要条件 a ab ba a=b b 设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2)，则 a ab bx1y2-x2y1=0 例如 试证：起点相同的三个向量 a a、b b、3a a-2b b 的终点在一条直线上，（a ab b） 证明 如图所示，设= OAa a,= OBb b,= OC3a a-2b b =OAOCACQ =(3a a-2b b)-a a 2(a a-b b) = OAOBABb-ab-a =ACABAC,2、 AB共线 又 AC、 AB有公共起点 A，A、B、C 在同一直线上 平面向量的数量积 平面向量的数量积 1平面向量的数理积 几何表示 定义：abab=|a a|b b|cos(a a0 0,b b0 0,0 o 180 o )0 0a a=0 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 1212 坐标表示 a ab b=x1x2+y1y2 运算律 a ab b=baba (a a)b b=a a(b b) (a a+b b)c c=a ac c+b bc c 2平面向量数量积的重要性质 几何表示 （1）|a a|=aa aa = 2 |cos|aaaaaa= （2）cos= |ba ba ba ba （3）|a ab b|a a|b b| 坐标表示 (1)|a a|= 2 1 2 1 yx + (2)cos= 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx + + (3)|x1x2+y1y2| 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx+ 3两个向量垂直的充要条件 a ab ba ab b=0(a a、b b 均为非零向量)设 a a=（x1，y1），b b=（x2，y2），则 a a b bx1x2+y1y2=0 例如已知|a a|=2，|b b|=3，a a 与 b b 的夹角为为 3 ，c c=5a a+3b b,d d=3a a+kb b，当实数 k 为何值 时， （1）c c 与 d d 平行； （2）c c 与 d d 垂直 解(1)要使 c cd d，则 3 5 = k 3 ，k= 5 9 k= 5 9 时，c c 与 d d 平行。 （2）要使 c cd d，则 c cd d=0 即(5a a+3b b)(3a a+kb b)=0 15a a2+(9+5k)a ab b+3kb b2=0 154+(9+5k)23cos 3 +3k9=0 k=- 14 29 k=- 14 29 时，c c 与 d d 垂直。 4与模相关的常用的等式和不等式 |a a|2=a aa a 或|a a|=aa aa |a ab b|a a|b b| 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 6 / 1212 |a a|2-|b b|2=(a+ba+b)(a-ba-b) |a amb b|=cos|2 22 babababa+m（为 a a、b b 夹角） |a a|-|b b|a ab b|a a|+|b b| 特别是|a a|2=a a2及其变式应用最为广泛 例如已知|a a|=2，|b b|=3，a a 与 b b 的夹角为 120 o ，求： （1）a ab b（2）a a2-b b2（3）(2a a-b b)(a a+3b b)（4）|a a+b b| 解（1）a ab b=|a a|b b|cos =23cos120 o =-3 （2）a a2-b b2=|a a|2-|b b|2=4-9=-5 （3）(2a a-b b)(a a+3b b)=2a a2+5a ab b-3b b2 =8-15-27=-34 （4）|a a+b b|= 22 |cos|2|bbaabbaa+ =7964=+ 线段的定比分点 线段的定比分点 1线段的定比分点及平移的基础知识 （1）线段的定比分点 线段的定比分点坐标公式： + + = + + = 1 1 21 21 yy y xx x P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),PP 1 = 2 PP 中点坐标公式： + = + = 2 2 21 21 yy y xx x 三角形重心坐标公式： 设ABC 的三个顶点为 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则重心 G(x,y)的坐标为： 33 321321 yyy y xxx x + = + = 2理解定比分点及比值的含义 （1）若 P 是 21P P的定比分点，则 P 分 21P P的比值= 2 1 PP PP 。其比值为数量 P1P 与数 量 PP2的比，而不是长度之比。 （2）注意比值= 2 1 PP PP 特定位置字母的含义，P1为起点，P 为分点，P2为终点。若 1= PP PP 1 12 ，则1为 P1分 PP2所成的比。 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 7 / 1212 如有 AQ AP =-2，不能认为 A 分 PQ的比值为 2，而需转化为 AQ PA =-2，这时可认为 A 分 PQ的比值为-2。 （3）如果点 P 在线段 21P P上，点 P 叫做 21P P的内分点，此时，总有0；如果 P 和 P1重合，此时=0；如果点 P 在线段 P1P2或 P2P1的延长线上，点 P 叫做 12P P的外分 点，此时，总有0（-1）；若 P 与 P2重合，此时不存在。 3定比分点公式将初、高中的知识及高中的平面向量同解析几何紧密相联 例如ABC 中，A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7)，求A 平分线 AT 的长。 分析如图所示，要求 AT 之长，需要求出点 T 的坐标，于是得解法如下： 解为了求A 平分线与 BC 交点 T 的坐标(x1,y1)，必须利用角平分线性质： |AC|:|AB|=|CT|:|TB|，而|AC|=10，|AB|=5，所以 =2= AB AC TB CT 3 210 ) 3 17 1 () 3 10 4(| 3 17 21 527 , 3 10 21 724 22 11 =+= = + + = + + = AT yx 向量的概念及运算 例 1 向量的概念及运算 例 1判断下列各题是否正确： （1）向量 AB与 CD是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一直线上； （2）向量 a a 与向量 b b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； （3）四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB= DC； （4）如果非零向量 a a 与 b b 的方向相同或相反，那么 a a+b b 的方向必与 a a、b b 之一的方向相 同； （5）ABC 中，必有 AB+ BC+ CA=0 0； （6）已知，R，则（+）a a 与 a a 共线。 解（1） AB CD，直线 AB 和 CD 可以共线，也可以平行，故不正确。 （2）若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确。 （3）若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB/CD，所以 AB= DC；若四边形 ABCD 中 AB= DC，则 AB/CD。所以四边形 ABCD 是平行四边形，判断正确。 （4）若 a a+b b=0 0 时，命题不成立，故不正确。 （5）正确 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 1212 （6）由实数与向量的积，可知正确。 例 2例 2已知点 A（2，3）、B（5，4）、C（7，10）若 AP= AB+ AC（R），试 求为何值时，点 P 在第三象限内？ 解设点 P 的坐标为（x,y）则 AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3) AB+ AC=(5,4)-(2,3)+ (7,10)-(2,3) =(3,1)+ (5,7) =(3,1)+(5,7) =(3+5,1+7) AP= AB+ AC (x-2,y-3)=(3+5,1+7) += += += += 74 55 713 532 y x y x 若点 P 在第三象限内，则 + + 55 0 47 0 1 1 4 7 即当-1 时，点 P 在第三象限内 例 3例 3已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和 D(-2,3)。试以 AB， AC为一组基底为表示 AD+ BD+ CD 分析把所求向量表示为 m AB+n AC的形式，用待定系数法求 m 和 n。 解 AB=(2-1,1+2)=(1,3), AC=(3-1,2+2)=(2,4), AD=(-3,5), BD=(-4,2), CD=(-5,1) AD+ BD+ CD=(-3-4-5,5+2+1)=(-12,8) 令(-12,8)=m AB+n AC 则有 m（1，3）+n（2，4）=（-12，8） 即（m+2n,3m+4n）=(12,8) 比较两向量的坐标， 得 =+ =+ 843 122 nm nm 解之得 m=32,n=-22 AD+ BD+ CD=32 AB-22 AC 例 4例 4已知：线段 AB 和点 O，求证： 若 AP=t AB(tR),则 OP=(1-t) OA+t OB 分析解本题时要注意到无论向量 OA和 OB是否共线，加法的三角形法则都适用。 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 1212 解如图所示， AP=t AB OP= OA+ AP= OA+ t AB = OA+t（ OB- OA）= OA+t OB-t OA =(1-t) OA+t OB 例 5例 5平面内给定三个向量 a a=(3,2),b b=(-1,2),c c=(4,1),回答下列问题： （1）若(a a+kc c)(2b b-a a)，求实数 k； （2）设 d d=(x,y)满足(d d-c c) (a a+b b)且|d d-c c|=1，求 d d 解(a a+kc c) (2b b-a a)， 又 a a+kc c=(3+4k,2+k),2b b-a a=(-5,2) 2(3+4k)-(-5)(2+k)-0 k= 13 16 (2)d d-c c=(x-4,y-1),a+b=(2,4) 又(d d-c c) (a a+b b)且|d d-c c|=1 =+ = 1) 1()4( 0) 1(2)4(4 22 yx yx 解之得 = = += += 5 52 1 5 5 4 5 52 1 5 5 4 y x y x 或 d d=( 5 525 , 5 520+ ) 或 d d=( 5 525 , 5 520 ) 平面向量的数量积 例 1 平面向量的数量积 例 1已知 a a=(2,3),b b=(-1,-2),c c=(2,1)，试求：a a(b bc c)和(a ab b)c c 的值。 解因 a a(b bc c)=(b bc c)a a =(-1)2+(-2)1a a =-4(2,3) =(-8,-12) 同理(a ab b)c c=(-16,-8) 点评此例说明向量的数量积不满足结合律。 例 2例 2已知 a a=(1,1),b b=(0,-2)，当 k 为何值时，ka a-b b 与 a a+b b 的夹角为 120 o 分析根据数量积的坐标运算公式直接求解。 解a a=(1,1),b b=(0,-2) ka a-b b=(k,k+2),a a+b b=(1,-1) 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1010 / 1212 要使 ka a-b b 与 a a+b b 夹角为 120 o 则 cos120 o = 2222 ) 1(1)2( ) 1()2(1 + + kk kk 即 1) 1( 1 2 1 2 + = k k=-13 当 k=-13时，ka-b 与 a+b 夹解为 120 o 例 3例 3在ABC 中， AB=（2，3）， AC=（1，k），且ABC 的一个内角为直角，求 k 的值。 解（1）当A=90 o 时， AB AC=0 21+3k=0，k= 3 2 （2）当B=90 o 时， BC= AC- AB=（1-2，k-3）=（-1,k-3） AB BC=0 2(-1)+3(k-3)=0 k= 3 11 （3）当C=90 o 时， AC BC=0 -1+k(k-3)=0 k2-3k-1=0 k 2 133 = k 的取值为 2 133 3 11 3 2 或或 点评三角形一内角为直角，不能确定谁为直角，因此，需分三种情况分别来解。在求解 的过程中，要弄清直角应为哪两个向量的夹角，然后再求这两向量的坐标。 例 4例 4已知 a a、b b 是两个非零向量，当 a a+tb b（tR）的模取最小值时，（1）求 t 的值； （2）求证：b b（a a+tb b） 分析利用|a a+tb b|2=(a a+tb b)2进行转换，进而得到关于 t 的函数式，要证 b b（a a+tb b），只 要证 b b(a a+tb b)=0 解（1）设 a a 与 b b 的夹角为，则 |a a+tb b|2=(a a+tb b)2=|a a|2+t2|b b|2+2ta ab b =|a a|2+t2|b b|2+2t|a a|b b|cos =|b b|2(t+ | | b a b a cos)2+|a a|2sin 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1111 / 1212 当 t=- | | b a b a cos=- 2 |b ba b ba 时 |a a+tb b|有最小值 （2）b b(a a+tb b)=a ab b+b bb b(- | | b a b a cos) =a ab b-a ab b=0 b b（a a+tb b） 线段的定比分点 例 1 线段的定比分点 例 1在ABC 中，已知顶点 A 的坐标为(3,1)，AB 的中点为 D(2,4)，ABC 的重心为 G(3,4)，求顶点 B、C 的坐标 解设 B 点坐标为(x1,y1)，因为 D 为 AB 中点 = + = + 4 2 1 2 2 3 1 1 y x = = 7 1 1 1 y x B 点坐标为（1，7） 设 C（x2,y2），由题可得 = = = + = + 4 5 4 3 71 3 3 13 2 2 2 2 y x y x C 点坐标为（5，4） 例 2例 2已知 P1(2,1)，P2(4,-3)，求出下列情况下，点 P 分有向线段 21P P所成的比及 P 点 的坐标： （1）点 P 在 P1P2上，且 4 1 | 21P P|=| PP 1 |； （2）点 P 在 P1P2的延长线上，| PP1|=3| 21P P| （3）点在 P2P1的延长线上，| PP2|=3| 21P P| 解（1） PP1= 3 1 2 PP，= 3 1 由定比分点公式得 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1212 / 1212 = + + = = + + = 0 3 1 1 )3( 3 1 1 2 5 3 1 1 4 3 1 2 y x 即 P 点坐标为（0 , 2 5 ） （2） PP1= 2 3 2 PP，= 2 3 代入公式，得 P 点坐标为（8，-11） （3） PP1= 3 2 2 PP= 3 2 代入公式，得 P 点坐标为（-2，9） 例 3例 3学科内综合已知点 A（2，-1），B（5，3）。若直线l：kx-y+1=0 与线段 AB 相 交，求 k 的取值范围。 解由于直线l：kx-y+1=0 是表示过定点(0，1)的直线系，设交点为 P。 设 P 内分线段 AB 的比为，则有0，且点 P) 1 31 , 1 52 ( + + + + ，利用 P 点在直线l 上，有：k) 1 31 () 1 52 ( + + + + +1=0 关于化简，得(5k-2)=-(2k+2) 因 P 与 B 点不能重合，所以 5k-20 从= 25 22 + k k 0，得-1k 5 2 当直线l恰好过 A(2,-1)或 B(5,3)时，k=-1 或 5 2 所以-1k 5 2 点评注意运用定比分点坐标公式更深层次的内涵，既 P 点内分线段 AB0 若用下述结论，对解此类题更为简便：已知 A(x1,y1),B(x2,y2)，l：Ax+By+C=0，过 A、B 的直线与l交于点 P，则点 P 分 AB的比 CByAx CByAx + + = 22 11 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 11 向量的概念及运算向量的概念及运算 1.下列命题中正确的是（ ） (A)单位向量都相等 (B)任一向量与它的相反向量不相等 (C)平行向量不一定是共线向量 (D)模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件. 2.下列命题中，真命题的个数为（ ） (1)|a|b|ab| a与b同向共线 (2)|a|b|ab| a与b反向共线 (3)|ab|ab| a与b有相等的模 (4)|a|b|ab| a与b同向共线 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3下列命题中真命题是（ ） （1）ba/存在唯一的实数，使ba= （2）ba/存在不全为 0 的实数 21 ，使得0 21 =+ba （3）00 2121 =+则若不共线与baba （4）0 2121 =+baba使不存在实数不共线与 (A) (1)与(4) (B) (2)与(3) (C) (1)与(3) (D) (2)与(4) 4如果 21,e e是平面内所有向量的一组基底，那么（ ） （A）若实数 21 ，使0 2211 =+ee，则0 21 = （B）空间任一向量a，可以表示为 2211 eea+=这里 21 ，是实数 （C）对实数 21 ， 2211 ee+不一定在平面内 （D）对平面内的任一向量a，使 2211 eea+=的实数 21 ，有无数对 5如果AB=a a，CD=b b，那么 a a=b b 是四点 A、B、C、D 构成平行四边形的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充非要条件 6已知 a a=（-1，3），b b=（x，-1），且 a ab b，则 x 等于（ ） A3 B 3 1 C-3 D- 3 1 7e e1、e e2不共线，当 k=_时，a a=ke e1+e e2与 b b=e e1+ke e2共线。 8e e1=（1，0），e e2=（1，2），以 e e1、e e2为基底，可将 a a=（3，-2）表示为 a a=_。 9已知 A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）且CACM3=，CBCN2=，求 M、 N 的坐标和MN。 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 11 平面向量的数量积平面向量的数量积 10已知)sin,(cos),sin,(cos=ba，则（ ） （A） ba （B）ba/ （C）)()(baba+ （D）ba与夹角为+ 11已知),2, 1(),4 , 2(),3 , 2(=cba 则ab_， （ab）（ab）_，a（bc）_, (ab)2_，（ab）c_，a（bc）_ 12已知|a|3，b（1，2），|c5，若a/b，则a_， 若cb，则c_ 13已知|a a|=3，|b b|=2，a a 与 b b 的夹角为 300，则|a a+b b|等于（ ）。 A23 B13 C5 D3 14已知ABC 的顶点坐标为 A（1，1），B（4，1），C（4，5），则 cosA 的值为 （ ） A 5 3 B 5 4 C 5 1 D 5 2 15已知 a a=（3，4），且 a ab b=10，则向量 b b 在 a a 方向上的投影是_。 16已知向量 a a=（2，x），b b=（3，4）且 a a、b b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 _。 17已知|a a|=1，|b b|=2，当且仅当 k 为何值时，向量 a a+kb b 与 a a-kb b 互相垂直。 18设nm和是两个单位向量，其夹角是 60，试求向量nmbnma232+=+=和的夹 角. 线段的定比分点线段的定比分点 19已知点 A 分有向线段BC的比为 2，则下述结论中错误的是（ ） AB 分AC的比为 3 2 BA 分CB的比为-2 CC 分 AB的比为 3 1 DC 分3的比为BA 20已知ABC 的顶点 A(2,3)和重心 G(2,-1)，则 BC 边上的中点坐标是（ ） A(2,-3) B(2,-9) C(2,-5) D(2,0) 21已知平面内三点 A(1，0)，B(5，6)，P(3，4)，且PBAP，则的值为（ ） （A） 3 （B） 2 （C） 2 1 （D） 3 1 向量的概念及运算向量的概念及运算 1设平面内有四个互异的点 A，B，C，D，已知（DCDB ）与（DADCDB2+）的 内积等于零，则ABC 的形状为（ ） 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 11 （A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形 2把空间所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A一条线段 B一个圆面 C一个圆 D以上答案都不对 3若 G 为ABC 的重心，且各边中点分别为 D、E、F，则GFGEGD+=_。 4非零向量 a、b 满足|a a|=|b b|=|a a+b b|，则 a a 与 a a+b b 的夹角为_。 5设向量OA=（3，1），OB=（-1，2），向量OBOC ，OABC /，又 OAOD +=OC，求OD。 6如图所示，OADB 是以向量OA=a a，OB=b b 为边平行四边形，又 BM= 3 1 BC， CN= 3 1 CD，试用 a a，b b 表示MNONOM,。 平面向量的数量积平面向量的数量积 7已知baba与,12| ,10|=的夹角 ，且)2( 7 1 )3( 14 1 1200 xybxya+= 则yx等于（ ） （A）968 （B）968 （C）484 （D）以上皆非 8已知向量ba,的模分别为 4 和 10，且ba,所成的角为 120，则向量ba 2的模为 （ ） （A）221 （B）461 （C）261 （D）421 9若bababa,7|, 3|, 1|且=所成的角为，则为（ ） （A） 6 （B） 4 （C） 3 2 （D） 3 10已知a（1，2），b（3，2），若（ka+b）（a3b）则 k _，若（ka+b）/（a3b），则 k_ 11如果由向量ACAB),3 , 2(=(1,k)，确定的ABC 为直角三角形，则 k 的值为 _ 12设|a a|=3，|b b|=1，a a 与 b b 的夹角为 300，求 a a+b b 与 a a-b b 的夹角余弦。 13在三角形ABC 中，a a=AB，b b=BC，c c=CA，且|a a|=3，|b b|=2，|c c|=4， 求 a ab b+b bc c+c ca a 的值。 14以原点 O 和 A（5，2）为两个顶点作等腰直角OAB，使B=900，求点 B 和向量 AB的坐标。 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 11 15已知向量 a a、b b、c c 两两所成的角相等，且不共线，|a a|=1，|b b|=2，|c c|=3，求向量 a a+b b+c c 的长度及向量 a a、b b、c c 的夹角。 线段的定比分点 线段的定比分点 16若直线 l：x+3y-6=0 与过点 A(-3,2)和 B(6,1)的直线交于点 P，则点 P 分AB的比为 。 17已知 O(1,1),A(2,3),B(8,-3)，且 C、D 为AB的三等分点，试求OC、OD的坐标。 1在ABCD?中，,3ABa ADb ANNC= uuu rr uuurr uuuruuur ，M 为 BC 的中点，则MN = uuuu r _。 （用a b r r 、表示） 2已知向量a r 与b r 的夹角为120o，3,13,aab=+= rrr 则b r 等于 （A）5 （B）4 （C）3 （D）1 3已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则= b a A. 4 1 B. 4 C. 2 1 D. 2 4已知向量),2 , 1 (), 2(=bta r r 若 1 tt =时，a r b r ； 2 tt =时，ba r r ，则 A1, 4 21 =tt B. 1, 4 21 =tt C. 1, 4 21 =tt D. 1, 4 21 =tt 5已知向量(1 sin )a= r ，(1 cos )b= r ，则ab rr 的最大值为 6 ABC的三内角ABC， ，所对边的长分别为abc， ，设向量p()=+ ，acb， q()=，baca若pq，则角C的大小为（ ） 6 3 2 2 3 7已知abc， ，为ABC的三个内角ABC， ，的对边，向量 ( 31)(cossin)AA=， ，mn若mn，且coscossinaBbAcC+=，则角 AB，的大小分别为（ ） A 6 3 ， B 2 36 ， C 3 6 ， D 3 3 ， 8已知平面向量(12)=，a，( 2)m= ，b，且ab，则23ab+=（ ） A( 510)， B( 48)， C( 36)， D ( 24)， 9设=+= cbacba)2(),2 , 3(),4 , 3(2, 1 (则），（ ） A.( 15,12) B.0 C.-3 D.-11 10在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC= uuu r uuur ( ) A 2 3 B 3 2 C 3 2 D 2 3 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 11 11已知平面向量),(, ) 1 ,( 2 xxbxa= ，则向量 + ba A平行于 x 轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于 y 轴 D平行于第二、四象限的角平分线 12已知)0 , 1(),2 , 3(= ba，向量 + ba与 ba2垂直，则实数的值为 （A） 1 7 （B） 1 7 （C） 1 6 （D） 1 6 13.若等边ABC的边长为2 3，平面内一点M满足 12 63 CMCBCA=+ uuuu ruuu ruuu r ，则 MA MB= uuur uuur _ 14、若平面向量，满足|=1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为 1 2 ，则与的夹角的取值范围是 。 15、叙述并证明余弦定理。 必会基础题答案： 向量的概念及运算 必会基础题答案： 向量的概念及运算 1. D 2. C 3. B 4. A 5B 6B 71 84e e1 1-e e2 2 9),24, 3()8 , 1 (33) 3 , 6(),8 , 1 (),4, 3(),1, 3(),4 , 2(=CACMCBCACBAQ = = =+ =+ += 20 0 244 33 )4, 3(),(). 6 , 12() 3 , 6(22 y x y x yxCMyxMCBCN得因此则设 )18, 9()202 , 09(),2 , 9().20, 0(=MNNM同理可得 平面向量的数量积平面向量的数量积 10. C 118，7，0，49，（8，16），（12，18） 12（5 5 6 5 5 3 ，），（2，1）or（2，1） 13B 14A 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 11 152 16（-，- 2 3 ） 17 2 1 18解：解： 2 1 60cos| 0 =nmnm 2 1 4144|4|2| 2222 +=+=+=nmnmnma7 2 1 124912|4|9|23| 2222 +=+=+=nmnmnmb7 22 |234|6)23()2(nnmnmmnmnmba+=+= 6 2 7 2 2 1 设的夹角为与ba， 则 cos 2 1 7 2 7 | = = = ba ba =120 线段的定比分点线段的定比分点 19B 20A 21B 提高拓展题答案： 向量的概念及运算 提高拓展题答案： 向量的概念及运算 1B 2D 30 0 4 3 5由题设OABC /，所以OAkBC =（k0，kR），其中 k 为待定系数，又设OC= （x，y），再利用OBOA,及OC与OB的垂直关系为确定 k，x 与 y 的 B 值，就能得出 OD，如图所示，因为OABC /，所以OAkBC =（3k, k）（k0 且 kR），设 OC=（x，y），则由OBOC ，所以OBOC =0，即-x+2y=0，因为 OBOCBC=（x+1，y-2），从而有 x+1=3k x=3k-1 y-2=k y =k+2 将、代入，得-3k+1+2k+4=0，k=5 -x+2y=0 -x+2y=0 再代入、得：x=14，y=7，即OC=(14,7)。 A B C D 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 11 所以OD=OC-OA=(14，7)-(3，1)=(11,6) 3 1 , 6 5 6 1 )( 6 1 6 1 )( 6 1 3 1 .6=+=+=CNbaBMOBOMbaBAOBOABCBM baOMONMNbaODODODCNOCONODCD 6 1 2 1 ),( 3 2 3 2 6 1 2 1 6 1 =+=+=+= 平面向量的数量积平面向量的数量积 7B 8C 9D 1019， 3 1 11 2 133 3 11 3 2 ， 127 7 2 13- 2 29 14设 B（x，y），则OB=（x，y），AB=（x-5，y-2）,ABOB x(x-5)+y(y- 2)=0，即 x2+y2-5x-2y=0 又|OB|=|AB| x2+y2=(x-5)2+(y-2)2，即 10 x+4y=29 ， 解，得 x1= 2 7 ， 或 x2= 2 3 ， B 点坐标为（ 2 3 , 2 7 ）或( 2 7 , 2 3 ）。 y1=- 2 3 y2= 2 7 故) 2 7 , 2 3 (=AB或AB=（ 2 3 , 2 7 ） 15|a a+b b+c c|=3；a a 与 a a+b b+c c 的夹角为 1500，b b 与 a a+b b+c c 的夹解为 900，c c 与 a a+b b+c c 的夹角为 300 线段的定比分点线段的定比分点 161 17)2, 5(),0 , 3(=ODOC 链接高考题答案： 链接高考题答案： 1 解：343A =3()ANNCANCab=+ uuuruuuruuuruuurrr 由得， 1 2 AMab=+ uuuu rrr ， 高三数学(理)