天津第一中学数学三角恒等变换资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 1414 第一学期 第十二周第一学期 第十二周 课程内容 三角恒等变换 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 1414 1、本阶段知识要点：运用两角和的正弦、余弦公式，通过角的各种变换，可以推导出其 他公式；熟练运用三角公式去解决有关三角求值和化简的问题。 三角公式不仅是研究复角三角函数性质，而且是运用三角知识去解决其他问题的重要 工具. 这些公式的中心环节是两角和的正弦、余弦公式，通过角的各种变换，可以推导出其 他公式，而对这些公式的理解、记忆和反复运用是本部分复习的主要特点. 常用公式如下： （1）两角和与差的公式： tantan1 tantan )tan( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( m m = = = （2）倍角与半角公式： 2 cos1 2 sin tan1 tan2 2tan sin211cos2sincos2coscossin22sin 2 2222 = = = cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 tan 2 cos1 2 cos + = = + = + = 以上公式不要死记硬背，记住几个核心公式，则其余的公式都可相应推导出来.如两角和 与差的公式是核心内容.令=，则可得倍角公式，再用 2 替，替 2，又可得半角公 式，至于万能公式，其特点是把 sin,cos,tan统一成了正切的表示形式. （一）附有条件的求值问题： （一）附有条件的求值问题： 要通过分析思考挖掘出条件式与所求式的内在联系，对条件式或所求式进行适当变 换，主要方法是运用基本公式考察角之间关系. 1利用基本公式 例 1的值与求若 4 sin2sin),3 , 2 5 (, 25 24 )sin( =+ 解： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 4 / 1414 5 4 2 2 cos1 4 sin ) 2 3 , 4 5 ( 2 ( 5 3 2 cos1 2 cos 625 336 cossin22sin 25 7 cos, 25 24 sin 2 = = = + = = = Q 5 52 4 sin) 4 3 , 8 5 ( 4 = Q 例 2 ( )( )( ).2cos3; sin3cos4 coscossin2sin 2;cos2sin31 2 1 tan 22 22 =求，已知 解：()()5 5 7 2tan3 tan1 1 2tan3cos 2 = + = 原式 13 1 tan34 1tan2tan 2 2 = = 原式 5 3 tan1 tan1 2cos 2 2 = + = 例 3（1）已知 sin4+cos4=1 求 sin+cos值 （2）已知 sin3+cos3=1 求 sin+cos值 解：（1）解 1：由 sin4+cos4=1 得 sin4=1-cos4=(1+cos2)sin2 当 sin20 时 sin2=1+cos2 1-cos2=1+cos2 cos=0 此时 sin=1 当 sin2=0 时 cos=1 sin+cos=1 解 2：(sin4+cos4)=1 (sin2+cos2)2-2sin2cos2=1 sincos=0 (sin+cos)2=1+2sincos=1 sin+cos=1 解 3：设 sin+cos=a 则 1+2sincos=a2 () ()()11 2 1 21cossin2cossincossin 1 2 1 cossin 2 222 2 2244 2 = =+=+ = a a a2=1，a=1 （2）解：设 sin+cos=a 则 1+2sincos=a2 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 1414 () ()() ()11 2 1 1 cossincossincossincossin 1 2 1 cossin 2 2233 2 = =+=+ = aa a a3-3a+2=0 即(a-1)2(a+2)=0 a=1 或 a=-2（舍） sin+cos=1 2.利用角之间关系化简或求值： 例 1()() 2sin, 5 3 sin, 13 12 cos, 4 3 2 求已知=+= 解： ()() () () 65 56 5 4 13 5 13 12 5 3 sin2sin 5 4 cos 13 5 sin 2 3 , 4 0 = +=+= =+= + 例 2值求，且 + = x x xx 4 cos 2cos , 4 0 13 5 4 sin 解 1： 13 12 4 cos 13 5 4 cos 4 sin = = += x xx 13 24 13 5 169 120 169 120 2cos 169 120 13 12 13 5 22 2 sin = = 原式即x x 解 2： () () 13 24 4 sin2sincos2 sincos 2 2 sincos 13 12 4 sin 13 5 4 cos 13 5 4 sin 22 = +=+= = = += += xxx xx xx xxx 原式 Q 说明：在本题中，同角三角函数关系及诱导公式起了重要作用，某些三角问题有时不 必展开到最后的单角而是利用相互关联的复合角简化计算.常用的角之间的关系是： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 6 / 1414 等 2 3 6 7 3 244 3 2 3 263 = + = + += = + 例 3 () 75 28 3 4 25 7 3 4 4 tan 5 4 4 sin 25 7 2sin 25 7 1 4 cos22 2 cos 5 3 4 cos 4 tan2sin 4 cos 4 sin 2sin cos sincos sincossin2 tan1 sin22sin , 4 7 12 17 5 3 4 cos 2 2 = = = + = + = += += + += + + = + = + = + 原式 且 即知由 原式 求，已知 x x xxxx xx x x x x xx xxx x xx xx 例 4 () ()值 求 tan tan ,2sinsin5 + += 解：由已知得 5sin(+)- =sin(+)+ 5sin(+)cos-5sincos(+)=sin(+)cos+cos(+)sin 4sin(+)cos=6sincos(+) () () 2 3 tan tan tan 2 3 tan = + =+ 本题是巧妙利用了角的关系，需要同学们有较强的观察力，主要是比较一下已知式与 求证式中的角的不同，即可发现规律. 例 5 () + = += sin 4 3 4 , 4 0. 13 5 4 3 sin, 5 3 4 cos 求 又已知 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 7 / 1414 解： () () 65 56 sin 65 56 5 4 13 5 5 3 13 12 44 3 cos 2 cossin 13 12 4 3 cos 5 4 4 sin 4 3 4 3 0 24 =+ = += += +=+ = += + ， 本题仍是巧妙利用了角之间的关系，不是先单独地去求、，而是观察规律，整体求 值. 3利用比例性质： 例 6 .), 4 , 0()tan()tan(tan 2 为锐角若 +=xxx sin22sin:=x求证 证： )cos()cos( )sin()sin( 2cos1 2cos1 xx xx x x + + = + 由条件 运用合分比性质 = = = = = + + = 为锐角 ), 4 , 0(sin22sin sin2)sin21 (12cos12sin 2cos2sin1 2cos2cos 2cos 2cos 2cos 1 )sin()sin()cos()cos( )cos()cos()sin()sin( 2cos 1 222 2 2 xx x x x x x xxxx xxxx x Q （二）含非特殊角的无条件求值与化简： （二）含非特殊角的无条件求值与化简： 主要解题思路是消去所有非特殊角的三角函数，具体消去的途径有：利用角之间的关 系，公式逆用法，拆项法，分组法，降幂法等. 1.利用基本公式 例 1求值 tan6730-tan2230 解 1： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 1414 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 45cos1 45sin 135cos1 135sin = + = + + =原式 解 2： () () 2 45sin 45sin2 30222sin 2 1 45sin 3022cos3022sin 30223067sin 3022cos3067cos 3067cos3022sin3022cos67sin 3022cos 3022sin 3067cos 3067sin = = = = = =原式 解 3：原式=(1+tan6730tan2230)tan(6730-2230) =(1+tan6730cot6730)tan45=1+1=2 解 4： () 2 45cos90cos 2 1 2 2 3022cos3067cos 3067cos3022sin3022cos3067sin 3022cos 3022sin 3067cos 3067sin = + = = =原式 说明：四种解法各有特色,但分别抓住了已知条件的特点,解 1 利用 6730、2230的 倍角为 135，45这样的特殊角，解 2 利用了 6730与 2230的互余性质，解 ()式，并则是借用了积化和差公解的逆用是对公式4. tantan1 tantan tan3 + = 抓住了两角之差是 45的特点. 例 2 + 15sin15cos 15sin15cos 化简 解 1： ()() ()() 3 3 2 3 2 1 1 30cos 30sin1 15sin15cos 30sin1 15sin15cos15sin15cos 15sin15cos15sin15cos 22 = = = = + =原式 解 2： () 3 3 30tan 1545tan 45tan15tan1 15tan45tan 15tan1 15tan1 = = + = + =原式 例 3 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 1414 65sin35cos 80sin1 化简 解： () 2 1 2 5sin30sin2 5sin45sin2 25cos35cos 50cos40cos 65sin35cos 40sin40cos = = = = =原式 例 4 + 15sin8sin7cos 15cos8sin7sin 化简： 解： () () () () 3215tan 8cos15cos 2 1 8cos15sin 2 1 23cos7cos 23sin7sin 23cos7cos 2 1 23sin7sin 2 1 7cos23cos 2 1 7cos 7sin23sin 2 1 7sin = = + + = + + = + + =原式 例 5 () 212cos4 12csc312tan3 2 化简： 解： () 34 48sin 48sin34 24cos24sin 6012sin32 24cos12sin12cos2 12cos 2 3 12sin 2 1 32 24cos2 12sin12cos 12cos312sin3 2 2 24cos1 4 12sin 1 3 12cos 12sin 3 = = = = = + =原式 （三）三角恒等变换的常用技巧：（三）三角恒等变换的常用技巧： 1公式的逆用： 例 1：tan25o+tan20o+tan25otan20o 解：tan45o=tan(20o+25o)=1 1 20tan25tan1 20tan25tan = + oo oo tan25o+tan20o=1-tan25otan20o 故 原式=1-tan25otan20o+tan25otan20o=1 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1010 / 1414 2降幂思想： 例 2：化简 sin220o+cos250o+sin20ocos50o 解 1： 4 3 )20cos20(sin 4 3 20sin 2 1 20cos20sin 2 3 20cos20sin 2 3 20sin 4 1 20cos 4 3 20sin )20sin 2 1 20cos 2 3 (20sin)20sin 2 1 20cos 2 3 (20sin )30cos(20sin20)20(30cos20sin 22 2222 2o2 ooooo2o2 = += += += += oo oooooooo ooooo 原式 解 2：ABC 中，设A=20o，B=40o，C=120o，三角所对的边分别为 a，b，c，设 ABC 外接圆半径为 R，则 c2=a2+b2-2abcosC 应用正弦定理，有： (2RsinC)2=(2RsinA)2+(2RsinB)2-2(2RsinA)(2RsinB)cosC sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC 将 A=20o，B=40o，C=120o，代入： . 4 3 4 3 ) 2 3 (40sin20sin40sin20sin 222 即原题值为 故=+ oooo 例 3： 16 7 sin 16 5 sin 16 3 sin 16 sin 4444 +化简 解： :) 2 2cos1 cos, 2 2cos1 (sin 22 得由降幂公式 + = = ) 8 cos 8 cos21 ( 4 1 ) 2 8 cos1 () 16 (sin 16 sin 22224 += = 4 cos 8 1 8 1 8 cos 2 1 4 1 2 4 cos1 4 1 8 cos 2 1 4 1 += + += 8 cos 2 1 16 2 8 3 += 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1111 / 1414 8 7 cos 2 1 16 2 8 3 16 7 sin 8 5 cos 2 1 16 2 8 3 16 5 sin 8 3 cos 2 1 16 2 8 3 16 3 sin 4 4 4 += = =同理 2 3 ) 8 5 cos 8 3 (cos) 8 7 cos 8 (cos 2 1 2 3 ) 8 7 cos 8 5 cos 8 3 cos 8 (cos 2 1 4 8 3 = += += 原式 本解法又是一个降幂思想的典型应用. 解 2： 解 2： 2 3 2 1 2) 8 cos 8 (sin 2 1 2) 8 3 sin 8 (sin 2 1 2 16 3 cos 16 3 sin2 ) 16 3 cos 16 3 (sin 16 cos 16 sin2 16 cos 16 sin 16 3 cos 16 3 sin 16 cos 16 sin 16 3 cos 16 3 sin 16 cos 16 sin 22222 22 22222222 4444 4444 =+=+= += + += += 原式 解 2 与解法 1 相比有其简便之处，关键是用到了上一讲我们复习的“巧妙利用角度间 的关系”，象 216 5 16 3 , 216 7 16 =+=+这样的关系，希望同学们有这种明察秋毫的能 力. 3某些特殊技巧： （1）在求角度成等比数列的若干角的余弦值乘积时，常对分子分母同乘以最小角的正弦 值以实现化简. 例 4：求 cos20ocos40ocos80o 解： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1212 / 1414 8 1 20sin8 20sin 20sin8 160sin 20sin4 80cos80sin 20sin2 80cos40cos40sin 20sin2 80cos40cos20cos20sin2 = = = = = o o o o o oo o ooo o oooo 原式 例 5： 14 5 sin 14 3 sin 14 sin: 求值 解： 解： 7 4 cos 7 2 cos 7 cos 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 14 2 cos 14 4 cos 14 6 cos = = =原式 8 1 7 sin8 7 sin 7 sin8 7 8 sin 7 sin4 7 4 cos 7 4 sin 7 sin2 7 4 cos 7 2 cos 7 2 sin 7 sin2 7 4 cos 7 2 cos 7 cos 7 sin2 = = = = = = 注意：注意：本题的前 3 步很关键，通过对几个诱导公式的使用，使一道看似不是本类型的 题转化为此类型，进而轻松化简. 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1313 / 1414 （2）求角度成等差数列的若干角的余弦值的和时，常分子分母同乘以公差的一半的 正弦值，再进一步利用积化和差公式可达到消去的目的. 4化切为弦与保持切类： 例 6： o ooo 10cos1 )370tan31 (100sin130sin2 + + 求值 解： 2 5cos2 )40sin50(sin2 5cos2 40sin250sin2 5cos2 10cos 10sin310cos 80sin50sin2 15cos21 )10tan31 (80sin50sin2 2 = + = + = + + = + + = o oo o oo o o oo oo o ooo 原式 例 7： )6tan3(84sin36cos4: 2ooo 求值 解： 112) 2 1 (22 )54sin72(cos22 54sin2)72cos1 (2 )6sin 2 1 6cos 2 3 (2)72cos1 (2 6cos 6sin6cos3 6cos)72cos1 (2 ) 6cos 6sin 3(84sin 2 72cos1 4 =+= += += += += + = oo oo ooo o oo oo o o o o 原式 例 8：化简 tan20o+2tan40o+4tan10o 解：原式=tan20o+2tan40o+4cot80o oo o o oo o 20tan40tan2 40tan2 )40tan1 (4 20tan40tan2 80tan 4 2 + = += =2cot40o(1-tan240o)+2tan40o+tan20o =2cot40o-2(cot40otan40o)tan40o+2tan40o+tan20o 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1414 / 1414 oooooo ooo o o o o o 20cot20tan20tan20cot20tan20cot 20tan)20tan1 (20cot 20tan 20tan2 )20tan1 (2 20tan 40tan 2 2 2 =+= += + = += 以上三个例题中均含有正切形式的三角函数，此时一般有两种方法：化切为弦或保持 切类.原题中正余弦为主，正余切为辅时，一般是化切为弦，当全部是切类形式时，可考虑 直接使用正余切的有关公式.当然，象例 8 也可完全化切为弦，但显然要复杂一些. 例 9 o oo 20cos 20sin10cos2 计算 解： 3 20cos )6010sin(3 20cos 10sin 2 3 10cos 2 3 20cos 10sin 2 3 10cos 2 1 10cos2 20cos )1030sin(10cos2 0 00 0 00 0 000 0 000 = + = + = + = =原式 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 11 （一）选择题 （一）选择题 33 2 )( 4 3 4 )( 4 3 )( 4 )( )(, 5 1 cos, 10 1 cos, . 1 或或 的值等于则且为锐角、知 DCBA += 3)( 3 1 )( 2 1 )( 2 1 )( )( 2 tan, 02sin, 5 3 sin. 2 DCBA =的值为则 65 16 )( 65 16 65 56 )( 65 56 )( 65 56 )( )()sin( , 4 0, 4 3 4 , 13 25 sincos, 5 3 ) 4 cos(. 3 + = DCBA或 的值为则 其中且已知 5 5 )(5 5 2 )( 5 5 )( 5 5 )( )( 2 sin,) 12lg(, 5 4 sin . 4 cos = DCBA 的值为则有意义且已知 2 5.,tan,tan3 340, 2222 () 22 ( )( )( )() 33333 xx ABCD += + 设是方程的两个不等实根 则的值为 或 2 2cossin2 6.2sin2cos21(,),() 1tan 8525 ( )( )( )() 5852 xx xxxkkZ x ABCD + += + 若则的值为 1 7.,cos,tan2,() 10 357 ( )( )( )() 4444 ABCD =+=设锐角满足则 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 11 1 8.(,),sin2,cossin() 4 216 331515 ( )( )( )() 4444 2 9.cot2,tan(),tan(2 )() 3 7114 ( )( )( )() 4887 11 10.coscos,sinsin,cos()() 23 13591359 ( )( )( )() 36727272 ABCD ABCD ABCD = = = 若则的值为 已知则的值是 已知则的值是 （二）填空题： （二）填空题： 2 11 11.1,sin2_. cossin 13 12._. sin50cos50 2cos 42sin75 cos811 13._. cos6cos75 cos81 14. cot704cos70_. = += + = + = 若则的值等于 求值 求值 2 2 15.tan3 ,tan3 ,_ 6 3 16.cos,cot()_ 542 51 17.sin,sin2()_ 24 2cos1 18._ 2tan()sin () 44 xx x A AA xx = = = = + 若且则 的值为 已知为第四象限的角 则的值等于 已知则 求值 （三）解答题: （三）解答题: 19. 求 cos2A+sin2(300+A)+cos2(600+A)的值. 11 20.,tan4 3,cos(),cos. 14 5 21, , ,tantan. 422 AB ABCa b cA B Cabc =+= += 已知均为锐角求的值 在中 边分别是角所对边 若求的值 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 11 （一）选择题 （一）选择题 1化简 sin1190sin1810-sin910sin290等于（ ） 2 3 )( 2 3 )( 2 1 )( 2 1 )(DCBA )() 120tan3(10cos70tan . 2 000 等于 （A）1 （B）2 （C）-1 （D）-2 )( 2 ,sin1 2 sin 2 cos, . 3 是那么且满足是第二象限角如果 = （A）第一象限角 （B）第三象限角 （C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D）不是第一象限角，也不是第三象限角 )( , 2 1 sin1, 2 1 2 cos 2 sin4那以条件甲是条件乙的条件乙为条件甲为= （A）充分且必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不必要也不充分条件 5)( 5 5 )( 5 5 )(5)( )( cossin1 cossin1 ,5 2 tan . 5 + = DCBA 等于则已知 )(8cos228sin12 . 6 等于化简+ (A) 2sin4 (B) 2sin4-4cos4 (C) 4cos4-2sin4 (D) 2sin4 7. 若 tan和 tan是方程 x2-px-q=0 的二根，cot和 cot是方程 x2-rx+s=0 的二根，那 么 rs 必是( ) 22 )()( 1 )()( p q D q p C pq BpqA 3 8.(tan)tan1,(cot)() 28 x fxf =+已知函数则等于 2)(2)( 2 1 )( 2 1 )(DCBA 2 1 sincos1 9.,cos()4 1 sincos2 bac + = + 已知则的值是 5 4 )( 5 5 )( 5 3 )( 5 3 )(DCBA （二）填空题（二）填空题 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 11 123 10.,cos(),cos(2),cos_. 135 +=+=已知 、 均为锐角 且则 11 11.sin(),sin(),tancot_. 210 +=已知则 2 4tan 12.tantan()_. 21tan 1111 13.cos(23 ),_. 2222 += += 化简 化简原式 14sin100sin500sin700=_. 15. (sincos)(sincos)_. 12121212 += 246 16.coscoscos_ 777 510 17.sin, sin,_ 510 18.sinsinsin0coscoscos0,cos()_ = =+= +=+= 求值 若且 、 为锐角 则 已知且则 300 0 00 8cos 204cos201 19._ 2cos20 114 3 20.,cos_ sin(120)sin(120)3 x xx = += + 化简 若则 000 21.(1tan1 ) (1tan2 )(1tan44 )_+=L求值 （三）解答题 （三）解答题 6644 22.:2(sincos)3(sincos) 23tan 23.:sin(), sin(),. 34tan + += 化简 已知求的值 2 2cossin1 2 24.tan22 2,(,), 4 2 3sin() sin() 33 = + 已知求 25.sin(2)5sin(,), 22 :3tan2tan() kkkZ +=+ =+ 设 求证 26已知 2tan2=tan+tan,求证：tan(-)=sin2. 27若 acos+bsin=c，acos+bsin=0 （abc0）,试求 sin2(-)的值. 1.若 cos 22 2 sin() 4 = ，则cossin+的值为 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 11 （A） 7 2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D） 7 2 2.若2sin, 5 1 cossin则=+的值是 . 3、已知, 2) 4 tan(=+ x 则 x x 2tan tan 的值为_ 必会基础题答案： （一）选择题: 必会基础题答案： （一）选择题: 1.B 2. D 3. B 4.D 5. C 6. C 7. B 8. C 9. C 10. B （二）填空题： （二）填空题： 11.2 22 12.4 13.23 14.3 1 15. 2 1 16. 3 17.25 18.1 （三）简答题： （三）简答题： 3 19. 2 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 11 14 311 20.cos,sin,cos(), 7714 5 3 sin() 14 1 coscos()cos()cossin()sin. 2 55 21.,sinsinsin 44 4sincos5sincos 2222 5cos4cos, 22 5(coscos 22 a abcABC ABABCC ABC ABAB AB =+= += =+=+= +=+= + = += + = 由已知即 又 即 sinsin)4(coscossinsin) 222222 1 tantan 229 ABABAB AB =+ = 提高拓展题答案： （一）选择题 提高拓展题答案： （一）选择题 1B 2. C 3. B 4. B 5. D 6. D 7. C 9. C 9. B （二）填空题 （二）填空题 56 10. 65 3 11. 2 12.4cot4 13. sin 4 1 14. 8 3 15. 2 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 11 1 16. 8 17. 4 1 18. 2 19. 1 1 20. 1 4 或 21222 （三）解答题 （三）解答题 22解：解： 1 )cos(sin cossin2cossin cos3sin3cos2cossin2sin2 )cos(sin3)coscossin)(sincos(sin2 22