第一章数学物理方程讲义

数学物理方程讲义,第二版高等教育出版社姜礼尚陈亚浙刘西垣易法槐编著,参考文献：1偏微分方程第二版中国科大出版社陈祖犀编著2偏微分方程概论高等教育出版社陈恕行编著3数学物理方程第二版高等教育出版社谷超豪陈恕行等编,第一章绪论,本章主要介绍两个内容。第一个内容是介绍一些常见常用的公式和不等式，为以后的学习作必要准备；第二个内容是介绍本课程所必须的基本概念和基本记号。,第一章绪论,第一节常用的重要公式与不等式一常用的重要公式1牛顿莱布尼兹公式2分部积分公式或,3格林公式格林定理设既是型又是型的平面区域，如果与都在及其边界上有连续的一阶偏导数，则其中的方向是逆时针的。,或者其中是曲线的单位法向量或者：,4二重积分的分部积分公式设是型又为型的平面区域如果是在及其边界上有连续的一阶偏导数的函数，则有：,证明：因为又由格林公式有：,5奥高公式设三维区域是由按块光滑的闭曲面所围成的是由有限片组成的，每一片可表成，而以及它的一阶微商在平面的对应区域上直到界限是连续的）另有及和是在上连续的，在内有连续偏导数的任意函数则有如下的奥-高公式,其中是在点处的外法向量,6格林第一公式三重积分的分部积分公式在上述的奥-高公式中令，其中和以及它们的所有一阶偏导数在闭区域上是连续的，它们所有的二阶偏导数在内是连续的。即只要注意到显然的恒等式：,我们就有如下的格林第一公式或者：,其中用到方向导数的公式即：,7格林第二公式在上述格林第一公式中，交换的位置，然后两式消减，我们就得到格林第二公式：它在位势方程和调和函数的研究中非常重要,二常用的重要不等式1不等式设是上连续且严格递增的实值函数，若则：其中是的反函数，等式当且仅当成立,在上述不等式中取得到：若取，则有：，其中特例：取，则有：对，有：,2不等式若，且则：,3不等式及其推广若是正整数，则：这个不等式称为不等式推广：若并且，则：等式当且仅当时成立。,4不等式及其有关不等式设是两个实数序列，则：设和是在上的可积实函数，则有：等式当且仅当和是线性相关时成立,设，若和是定义在上的实函数，并且及在可积，则：5平均值不等式其中,6不等式与有关不等式设并且则：其中等式成立当且仅当和成比例。,积分形式设和是上的实函数，并使函数和对在上可积分，则有：其中等式成立，当且仅当几乎处处为零，或对某个常数几乎处处成立,7不等式若非负函数在上连续函数，且对，有：其中为常数，在上不减，且非负可积，则有：,8贝塞尔不等式若函数在上可积，则：其中为的傅里叶级数。,第二节基本概念与记号,一、基本记号与符号。12称为算子,称为哈密顿算符（算符）读作,3，表示的边界4设则：表示在内关于连续的函数的集合表示在内关于连续可微的函数的集合表示在上连同边界关于连续的函数的集合类似,又设，则：表示在内对次连续可微，而对次连续可微的函数的集合。例：其中表示关于连续可微，关于连续的函数的集合。,5678重指标，则可记:,二基本概念1偏微分方程：含有未知函数的偏导数（偏微分）的关系式（或方程）。一般形式：例：,2偏微分方程的阶最高阶微商的阶数3偏微分方程的解一个函数（在方程组是一组函数）在其自变量的某变化范围内连续，且具有方程（方程组）中出现的一切连续偏微商，将它代入方程（方程组）后使其成为恒等式，则称该函数（函数组）是方程（方程组）的解或古典解。广义解弱解的概念,4线性与非线性在偏微分方程中，如果它关于未知函数及其所有微商是线性的，则称此偏微分方程是线性方程，否则称为非线性的。在非线性方程（组）中，如果它关于未知函数的最高阶微商（例如是阶）是线性的，其系数仅依赖于自变量及未知函数的阶数低于阶的微商，则称,它是阶拟线性方程（组）。进而，若阶微商的系数仅依赖于自变量，则称这种拟线性方程是阶半线性方程（组）。不是拟线性的非线性方程（组），叫做完全非线性方程（组）。在线性方程（组）中，像常微分方程一样，又分为常系数变系数齐次和非齐次方程（组）等。,5举例例1：维波动方程：其中是常数，为算子，可以说，它是偏微分方程中的重要算子，这个算子在刚性运动下保持不变，即在坐标的平移和旋转变换下保持不变。例2：维热传导方程：其中是常数。在研究粒子的扩散过程时，例如气体的扩散液体的渗透以及半导体材料中杂质的扩散等，也会遇到类似的方程。,例3：维方程：它的解称为调和函数或势函数。这也许是理论上最重要，同时在应用中最为广泛的方程。当方程是非齐次时，叫做方程。它们通称为位势方程。在研究静电场的电位函数平稳状态下的波动现象和扩散过程时都会遇到这类方程。,例4：二阶线性方程（一般形式）其中，且至少有一个，此方程是我们学习的重点对象例5：我们称通过给定周线而具有最小面积的曲面为极小曲面。设此曲面方程为则它满足以下二阶拟线性方程：,例6：方程：这是一个三阶拟线性方程，它是在水波的研究中被首先遇到的，其中是二元光滑函数。例7：方程：其中是元空间自变量，是其自变量的非线性函数。此方程是一个一阶完全非线性方程。,例8：一个复解析函数的实部和虚部满足一阶线性方程组：我们可以把视为无旋不可压缩流的速度场。,例9：向量方程形式的非线性方程组设是自变量的向量函数，则有二阶半线性反应扩散方程组和一阶拟线性能量守恒律方程组：其中，,6定解条件和定解问题定解条件：我们把方程的解必须要满足的事先给定的条件叫做定解条件。常见的定解条件有初始条件（条件）和边界条件两类。定解问题：一个方程配上一个定解条件就构成一个定解问题。通常分为初值问题（问题）边值问题混合问题等几类。,初边值问题的解：在区域的内部具有方程中出现的一切连续偏微商，而本身在区域的闭包上连续（有时根据具体问题的性质或边界条件的类型，也要求有关的偏微商连续到边界），且满足方程，同时当时间变量趋于初始时刻或空间变量趋于区域的边界时它（有时及其有关的偏微商）连续地取到给定的初始值或边界值。,边界条件分为三类：第一边界条件：给出未知函数在边界上的值。相应的问题称为第一边值问题，或称问题。第二边界条件：给出未知函数在边界上的法向微商的值。相应的问题称为第二边值问题，或称为问题。第三边界条件：给出未知函数在边界上的法向微商和本身的线性组合的值。相应的问题称为第三边值问题，或称为问题。,7定解问题的适定性解的稳定性：当初始数据或边界数据发生微小变化时，解的变化也微小。定解问题的适定性：如果定解问题的解在给定的函数空间存在，唯一并且稳定，则称该定解问题是适定的，否则称不适定的。定解问题不适定的一个著名例子,例：阿达玛考察问题不难验证函数是问题的解，并且是唯一的。,但此解不稳定，因为把此解与齐次初边值条件下的解相比较可知，两者的初边值之差的绝对