天津第一中学数学概率、统计资料文pdf

高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 1212 第二学期 第九周第二学期 第九周 课程内容 概率、统计专题 2014-2015 学年 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 2 / 1212 本阶段知识要点： （1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义 （2）了解古典概型、几何概型的意义，会用计算一些事件的概率。 （3）了解随机抽样、分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样 （4）会用样本估计总体分布 二、难点知识剖析： 1.概率 （1）事件与基本事件： : S S S 随机事件 在条件 下,可能发生也可能不发生的事件 事件 不可能事件:在条件 下,一定不会发生的事件 确定事件 必然事件:在条件 下,一定会发生的事件 基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个 基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的 形式来表示 （2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值频 率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小随机 事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化 （3）互斥事件与对立事件： 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 1212 （4）古典概型与几何概型： 古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型 几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现 的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个 （5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式： ( ) A P A = 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 几何概型的概率计算公式： ( ) A P A = 构成事件 的区域长度(面积或体积) 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积) 两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同 （6）概率基本性质与公式 事件 A 的概率 ( ) P A 的范围为： 0 ( )1 P A 互斥事件 A 与 B 的概率加法公式： ()( )( ) P ABP AP B =+ 对立事件 A 与 B 的概率加法公式： ( )( )1 P AP B += 2、统计 （1）三种抽样方法 简单随机抽样 简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法抽样中选取个体的方法有两种：放 回和不放回我们在抽样调查中用的是不放回抽取 简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限从总体中逐个进行抽取，使抽样 便于在实践中操作它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性每一次抽样时，每个个体 等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性 实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解随机数表法：要理解好随机数表， 即表中每个位置上等可能出现 0，1，2，9 这十个数字的数表随机数表中各个位置 上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号 的等可能性 系统抽样 系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况 事件 定义 集合角度理解 关系 互斥事件 事件 A 与 B 不可能同时 发生 两事件交集为空 对立事件 事件 A 与 B 不可能同时 发生，且必有一个发生 两事件互补 事件 A 与 B 对立，则 A 与 B 必为互斥事件； 事件 A 与 B 互斥，但不 一是对立事件 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 4 / 1212 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段 中进行抽样时，采用的是简单随机抽样 系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总 体的编号分段，要确定分段间隔 k ，当 N n （为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数 时， N k n = ；当 N n 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数能被 n 整 除，这时 N k n = ；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号 l ，再按事先确定 的规则抽取样本通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个编号 ( ) lk + ，将 ( ) lk + 加上 k，得到第 3 个编号 ( 2 ) lk + ，这样继续下去，直到获取整个样本 分层抽样 当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个 个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占 比例进行简单随机抽样 分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算 出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四 步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本 （2）用样本估计总体 样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示 相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总 体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确 用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处 理作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤画样本频率分布直方图的步骤： 求全距决定组距与组数分组列频率分布表画频率分布直方图 茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于 记录和表示，但数据位数较多时不够方便 平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程 度，其计算公式为 2 1 1 () n i i sxx n = = 有时也用标准差的平方方差来代替标准差， 两者实质上是一样的 （3）两个变量之间的关系 变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一 定随机性的相关关系在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程 就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解分析两个变量的相 关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小 二乘估计求出回归直线方程通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标 系中作出，形成散点图然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 1212 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线 性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程在本节要经常与 数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器 （4）求回归直线方程的步骤： 第一步：先把数据制成表，从表中计算出 2 11 nn iii ii x yx yx = ， ， ， ； 第二步：计算回归系数的 a，b，公式为 111 22 11 ()() () nnn iiii iii nn ii ii nx yxy b nxx aybx = = = = ， ； 第三步：写出回归直线方程 ? ybxa =+ （4）独立性检验 2 2 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为 12 , x x 和 12 , y y 的样本频数表称为2 2 列联表 1 分类 y 1 y 2 总计 x 1 a b ab + x 2 c d cd + 总计 ac + bd + abcd + 构造随机变量 2 2 () ()()() n adbc K ab cd ac bd = + （其中 n abcd =+ ） 得到 2 K 的观察值 k 常与以下几个临界值加以比较： 如果 2.706 k ，就有 0 0 90 的把握因为两分类变量 X 和Y 是有关系； 如果 3.841 k 就有 0 0 95 的把握因为两分类变量 X 和Y 是有关系； 如果 6.635 k 就有 0 0 99 的把握因为两分类变量 X 和Y 是有关系； 如果低于 2.706 k ，就认为没有充分的证据说明变量 X 和Y 是有关系 三维柱形图：如果列联表 1 的三维柱形图如下图 由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值 | adbc 较大，说明两分类变量 X 和Y 是有关的，否则的话是无关的 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 6 / 1212 重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立 性检验的思路方法。 二维条形图（相应于上面的三维柱形图而画） 由深、浅染色的高可见两种情况下所占比例，由数据可知 a ab + 要比 c cd + 小得多，由 于差距较大，因此，说明两分类变量 X 和Y 有关系的可能性较大，两个比值相差越大两分 类变量 X 和Y 有关的可能性也越的否则是无关系的 重点：通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关，更重要的一方面是提供了 构造随机变量进行独立性检验的思想方法。 等高条形图（相应于上面的条形图而画） 由深、浅染色的高可见两种情况下的百分比；另一方面，数据 a ab + 0 0 要比 % d c c + 小得多，因此，说明两分类变量 X 和Y 有关系的可能性较大， 否则是无关系的 b a c d 图 2 a b c d 图 1 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 7 / 1212 重点：直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况，是在 图的基础上换一个角度来理解。 考点一：概率 【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式。掌握古典概型和几何概型的概率求 法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为 2 道，约占全卷总分的 6-10，试题的 难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式 和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。 这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实 际，体现了人文教育的精神。 例 1、例 1、在平面直角坐标系 xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值 均不大于 2 的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成 的区域，向 D 中随意投一点，则落入 E 中的概率 为 。 解解：如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部（含边 界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此 2 1 4 416 P = 。 答案 16 点评：本题考查几何概型，利用面积相比求概率。 例 2例 2、某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z a c b d 图 3 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 1212 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19. 求 x 的值； 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 已知 y 245,z 245,求初三年级中女生比男生多的概率. 解析：解析：（1） 0.19 2000 x = 380 x = （2）初三年级人数为 yz2000（373377380370）500， 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在初三年级抽取的人数为： 48 50012 2000 = 名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为 A ，初三年级女生男生数记为（y，z）； 由（2）知 500 yz += ，且 , y zN ,基本事件空间包含的基本事件有： （245，255）、（246，254）、（247，253）、（255，245）共 11 个 事件 A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、 (254,246)、(255,245) 共 5 个 5 ( ) 11 P A = 例 3、例 3、为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查部门对某 校 6 名学生进行问卷调查6 人得分情况如下：5，6，7，8，9，10 把这 6 名学生的得分看成一个总体 （）求该总体的平均数； （）用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本求该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率 解：解：（）总体平均数为 1 (5 678910)7.5 6 + += （）设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有： (5 6) ， ， (5 7) ， ， (58) ， ， (59) ， ， (510) ， ， (6 7) ， ， (68) ， ， (6 9) ， ， (610) ， ， (7 8) ， ， (7 9) ， ， (710) ， ， (89) ， ， (810) ， ， (910) ， 共 15 个基本结果 事件 A 包括的基本结果有： (59) ， ， (510) ， ， (68) ， ， (6 9) ， ， (610) ， ， (7 8) ， ， (7 9) ， 共有 7 个基本结果 所以所求的概率为 7 ( ) 15 P A = 例 4、例 4、现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 123 AAA ， ， 通晓日语， 123 BBB ， ， 通晓俄语， 12 CC ， 通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组 （）求 1 A 被选中的概率； 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 1212 （）求 1 B 和 1 C 不全被选中的概率 解：解：（）从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本 事件空间 = 111112121 () () () ABCABCABC ， ， ， ， ， ， ， ， ， 122131 () () ABCABC ， ， ， ， ， ， 132 () ABC ， ， ， 211212221 () () () ABCABCABC ， ， ， ， ， ， ， ， ， 222 () ABC ， ， ， 231 () ABC ， ， ， 232 () ABC ， ， ， 311312321 () () () ABCABCABC ， ， ， ， ， ， ， ， ， 322331332 () () () ABCABCABC ， ， ， ， ， ， ， ， 由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发 生是等可能的用M 表示“ 1 A 恰被选中”这一事件，则 M = 111112121 () () () ABCABCABC ， ， ， ， ， ， ， ， ， 122131132 () () () ABCABCABC ， ， ， ， ， ， ， ， 事件M 由 6 个基本事件组成， 因而 61 () 183 P M = （）用N 表示“ 11 BC ， 不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“ 11 BC ， 全被选中” 这一事件， 由于N = 111211311 () () () ABCABCABC ， ， ， ， ， ， ， ， ，事件N 有 3 个基本事件组成， 所以 31 () 186 P N = ，由对立事件的概率公式得 15 ()1()1 66 P NP N = = = 考点二：统计 【内容解读】理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，了解它们各自的特点及步 骤会用三种抽样方法从总体中抽取样本会用样本频率分布估计总体分布会用样本数 字特征估计总体数字特征会利用散点图和线性回归方程，分析变量间的相关关系；掌握 独立性检验的步骤与方法。 【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为 2 道，约占全卷总分的 6-10，试题的 难度为中等或中等偏易。 （2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式 和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。 这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实 际，体现了人文教育的精神。 例 5、例 5、为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了 20 位工人某天生产该产品的 数量.产品数量的分组区间为 ) 45,55 ， ) ) ) 55,65 , 65,75 , 75,85 ， ) 85,95 由此得到频率分布直方图如图 3，则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 ) 55,75 的人数是 . 解析：解析： 20 (0.065 10) 13 = ,故答案为 13. 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1010 / 12 12 例 6、例 6、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如 下： 甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ； 解析解析： （1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉 花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度） （2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维 长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品 种棉花的纤维长度的分散程度更大） （3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm （4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）甲品 种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀 注：上面给出了四个结论如果考生写出其他正确答案，同样给分 例 7、例 7、（2007 广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 Y(吨标准煤)的几组对照数据 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出 Y 关于 x 的线性回归方程 Y=bx+a； (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方 程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 甲 乙 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1111 / 1212 (参考数值：325+43+54+645=66.5) 解：解：(1)散点图略. (2) 4 1 66.5 ii i x y = = , 4 63 x y = , 4 2 1 86 i i x = = , 2 481 x = 由所提供的公式可得 0.7 b = ? ? 0.35 a = ,故所求线性回归方程为 0.70.35 yx =+ 10 分 (3) 100(0.7 1000.35)29.65 += 吨. 例 8、例 8、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与 某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资 料: 日 期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日 昼夜温差 x(C) 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回 归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. ()求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；(5 分) ()若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程 ? ybxa =+ ；(6 分) ()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3 分) (参考公式: 11 2 22 11 ()() , () nn iiii ii nn ii ii x ynxyxx yy baybx xnxxx = = = ) 解：解：()设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 15 种情 况,每种情况都是等可能出现的。其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 所以 3 1 15 5 P (A) = = ()由数据求得 11,24 xy = 由公式求得 18 7 b = 再由 30 7 aybx = 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ? 1830 77 yx = 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1212 / 1212 ()当 10 x = 时, ? 150 7 y = , 150 |22| 2 7 ； 同样, 当 6 x = 时, ? 78 7 y = , 78 |14| 2 7 所以,该小组所得线性回归方程是理想的. 方法总结与高考预测 1.求事件发生的概率的处理方法和技巧 （1）解决等可能性事件的概率问题的关键是：正确求出基本事件总数和事件 A 包含的基 本事件数，这就需要有较好的排列、组合知识. （2）计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式，以便准确 计算事件 A 所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数；计算几何概型问题的关键是怎 样把具体问题（如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题，及准确计算事件 A 所包 含的基本事件对应的区域的长度、面积或体积 （3）在古典概型问题中，有时需要注意区分试验过程是有序还是无序；在几何概型问题 中需注意先判断基本事件是否是“等可能”的 （4）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 2关于统计 （1）对简单随机抽样公平性的理解，即每一次抽取时每个个体被抽到的可能性相等 （2）随机数表产生的随机性计算器和许多计算机数学软件都能很方便地生成随机数 表 （3）系统抽样中当总体个数不能被样本容量整除时，应注意如何从总体中剔除一些个 体 （4）用系统抽样法在第一段抽样时，采用的是简单随机抽样，因此第一段内每个个体被 抽到的可能性相同，而总体中个体编号也是随机的，所以保证了整个系统抽样的公平性 （5）分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况每一层抽样时，采用简单随 机抽样或系统抽样分层抽样中，每个个体被抽到的可能性也是相同的 （6）分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，在各层抽样时，根据具 体情况可采用不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着广泛的应用 高考预测 高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较 大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容。 五、复习建议 1. 对于一些容易混淆的概念，应注意弄清它们之间的联系与区别. 2.注意体会解决概率应用题的思考方法，正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解，解 决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法. 3. 注意复习求线性回归方程的方法，回归分析方法，独立性检验的方法及其应用问题。 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 17 1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是 12，11，10 的概率依次是 123 , P P P ，则 （ ） A. 123 PPP = B. 123 PPP C. 123 PPP = D. 321 PPP = 2.玻璃球盒中装有各色球 12 只，其中 5 红，4 黑，2 白，1 绿，从中取 1 球为红或黑的概 率为 （ ） A. 5 36 B. 5 12 C. 1 3 D. 3 4 3.有 4 条线段，长度分别为 1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构 成一个三角形的概率是 （ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 5 4.函数 2 ( )2, 5,5 f xxxx = ,那么任意 0 5,5 x 使 0 ()0 f x 的概率为 ( ) A0.1 B. 2 3 C0.3 D0.4 5.从 1,2,3,9 共九个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是 ( ) A. 2 9 B. 5 9 C. 4 9 D. 8 9 6.在长为 10cm的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则正方形的面积介 于 2 36cm 与 2 81cm 之间的概率是 ( ) A0.3 B.0.6 C0.7 D0.9 7.某学校上午8:0011:50 上四节课，每节课 50 分钟，课间休息 10 分钟，家长看望学生 只能在课外时间，某学生家长上午8:0012:00 之间随机来校.则这位家长一来就可以去见 其子女的概率是_. 8.从分别写有 A,B,C,D,E 的 5 张卡片中,任取 2 张,这 2 张上的字母恰好按字母顺序相邻的概 率为_. 9.向面积为 S 的ABC 内任投一点 P,则PBC 的面积小于 2 S 的概率为_. 10.正六边形的顶点共有 6 个,以其中 2 个点为端点连成的线段中,正好是正六边形的边的概 率为_. 一、选择题 1面积为 S 的ABC，D 是 BC 的中点，向ABC 内部投一点，那么点落在ABD 内的概 率为 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 6 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 17 2 要从其中有 50 个红球的 1000 个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取 100 个进行分析，则应抽取红球的个数为（ ） A5 个 B10 个 C20 个 D45 个 3面积为 S 的ABC，D 是 BC 的中点，向ABC 内部投一点，那么点落在ABD 内的概 率为 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 6 4某市有高中生 3 万人，其中女生 4 千人为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方 法抽取一个容量为 150 人的样本，则样本中女生的数量为 A30 B25 C20 D15 二、填空题 1某中学高中部有三个年级，其中高三有 600 人，采用分层抽样抽取一个容量为 45 的样 本。已知高一年级抽取 15 人，高二年级抽取 10 人，则高中部的总人数是 2某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校 的考试时间相同，因此，该学生不能同时报考这两所学校.则该学生不同的报名方法种数 是 .（用数字作答） 3为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量. 产品数量的分组区间为 ) 45,55 ， ) ) ) 55,65 , 65,75 , 75,85 ， ) 85,95 由此得到频率分布 直方图如下图，则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 ) 55,75 的人数是 . 4为了让人们感知塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中 一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：33，25，28，26，25，31，如果 该班 45 名学生。那么根据提供的数据，估计本周全班同学各家丢弃塑料袋的总数量约 为 。 三、解答题 1将A、B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： （1）共有多少种不同的结果？ （2）两数之和是 3 的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是 3 的倍数的概率是多少？ 2某商场举行抽奖活动，从装有编号 0，1，2，3 四个小球的抽奖箱中，每次取出后放 回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖，等于 4 中二等奖，等于 3 中三等奖 （）求中三等奖的概率； （）求中奖的概率 3某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下： 甲: 512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙:515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩; (2)分别求两学生成绩的中位数和平均分. 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 17 4有甲、乙、丙三种产品，每种产品的测试合格率分别为 0.8，0.8 和 0.6，从三种产品 中各抽取一件进行检验。 （1）求恰有两件合格的概率； （2）求至少有两件不合格的概率。 1. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98）， 98，100),100，102)，102，104),104，106,已知样 本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重 大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 2. 在区间, 22 上随机取一个数 x，cosx的值介于 0 到 2 1 之间的概率为（ ） A. 3 1 B. 2 C. 2 1 D. 3 2 3. 考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三 角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ） A.1 B. C. D. 0 . 4. 对变量 x, y 有观测数据理力争（ 1 x ， 1 y ）（i=1,2,，10），得散点图 1；对变量 u ， v 有观测数据（ 1 u ， 1 v ）（i=1,2,，10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。 图 1 图 2 A.变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 5. ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点， 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 A. 4 B.1 4 C. 8 D.1 8 96 98 100 102 0.15 0 0.12 5 克 频率/ 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 17 6. 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样 法，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610 号，196200 号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是 。若用分 层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 7. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布 直方图如图,数据的分组一次为 ) ) 20,40 , 40,60 , ) ) 60,80 ,8 20,100 ,若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是( ) A45 B50 C55 D60 8. 从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是_。 9. 现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次 随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 10. 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s = . 11. 某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 1：2：1， 用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使 用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均 值分别为 980h，1020h，1032h，则抽取的 100 件产品的使用寿命 的平均值为 h. 12. 某学院的 A，B，C 三个专业共有 1200 名学生，为了调查这些学 生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样 本。已知该学院的 A 专业有 380 名学生，B 专业有 420 名学生，则在 该学院的 C 专业应抽取_名学生。 13. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧 AB 的 长度小于 1 的概率为 。 14. （本小题满分 13 分）随机抽取某中学甲乙两班各 10 名 同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率. 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 17 15.（本小题满分 12 分）一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种 型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. （1） 求 z 的值. （2） 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; （3） 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与 样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 16. （本小题满分 13 分） 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列 表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) () 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; () 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (1) 用产品编号列出所有可能的结果; (2) 设事件B 为“在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件B 发 生的概率. 17.（本小题满分 12 分）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法 从 A，B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 A,B，C 区中分别有 18，27，18 个工厂 （）求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数； （）若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工 厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。 18.（本小题满分 12 分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机 摸取 3 次，每次摸取一个球 （I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； （）若摸到红球时得 2 分，摸到黑球时得 1 分，求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。 19.（本小题满分 13 分） 某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽 取 6 所学校对学生进行视力调查。 （I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第九周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 17 （II）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的 2 所学校均为小学的概率。 20、一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9，则服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为_（用数字作答） 21.如图，A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人 进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 1020 2030 3040 4050 5060 选择 L1 的人数 6 12 18 12 12 选择 L2 的人数 0 4 16 16 4 （）试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率； （）分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率； （）现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允 许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径 22.（本小题满分 13 分） 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 80,85) 85,90) 90,95) 95,100) 频数(个) 5 10 20 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 80,85)的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个