安徽六安第一中学高三数学下学期线下考试自测卷三理PDF

1 六安一中六安一中 2020 届高三年级自测试卷 理科数学（三） 届高三年级自测试卷 理科数学（三） 命题人：命题人：时间：时间：120 分钟满分：分钟满分：150 分分 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 1 的等腰梯形， 则原平面图形的面积为（） A 2 1 2 B1 2 2 + C2 2 D1 2 2如图，点 P 在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动，则下列四个结论： 三棱锥 1 AD PC的体积不变； 1 / /AP平面 1 ACD； 1 DPBC；平面 1 PDB 平面 1 ACD 其中正确的结论的个数是() A1 个B2 个C3 个D4 个 3已知圆C的方程为 22 (1)(1)2xy，点P在直线3yx=+=+上，线段AB为圆C的直径， 则PA PB 的最小值为（） A2B 5 2 C3D 7 2 4在正四棱锥PABCD中，已知异面直线PB与AD所成的角为 0 60，给出下面三个命题： 1 p：若2AB ，则此四棱锥的侧面积为4 4 3； 2 p：若,E F分别为,PC AD的中点，则/ /EF平面PAB； 3 p：若, , ,P A B C D都在球O的表面上，则球O的表面积是四边形ABCD面积的2倍. 在下列命题中，为真命题的是（） A 23 ppB 12 ()pp C 13 ppD 23 ()pp 5已知1,4A，点 P 为抛物线 2 12yx上一动点，点 P 到直线2x 的距离是d，则PAd 的最小值为（） A2 51B2 51 C2 5D3 6我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆 台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为 2 尺 8 寸，盆底直径为 l 尺 2 寸，盆深 1 尺 8 寸. 若盆中积水深 9 寸，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 1 尺等于 10 寸） （） A3 寸B4 寸C5 寸D6 寸 7已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为36，则该圆柱的体积为（） 2 A27B36C54D81 8在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 1 F， 2 F在x轴上，离心率为 2 2 .过 1 F的直线l交C于A，B两点，且 2 ABF的周长为16，那么椭圆C的方程为（） A 22 1 168 xy B 22 1 1612 xy C 22 1 84 xy D 22 1 82 xy 9如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，E 是棱 AB 的中点，F 是侧面 AA1D1D 内一点， 若 EF平面 BB1D1D，则 EF 长度的范围为（） A 2, 3 B 2, 5 C 2, 6 D 2, 7 10已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab的两个焦点分别为 1 F, 2 F，以 12 FF为直径的圆交双 曲线C于P,Q,M,N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（） A2 2 B 22 C2 2 D 22 11M 是正方体 1111 ABCDABC D的棱 1 DD的中点，给出下列命题 过 M 点有且只有一条直线与直线AB、 11 BC都相交； 过 M 点有且只有一条直线与直线AB、 11 BC都垂直； 过 M 点有且只有一个平面与直线AB、 11 BC都相交； 过 M 点有且只有一个平面与直线AB、 11 BC都平行. 其中真命题是：() ABCD 12 我们把由半椭圆 22 22 1(0) xy x ab 与半椭圆 22 22 1(0) yx x bc 合成的曲线称作“果圆”(其中 222, abc0abc).如图,设点 012 ,F F F是相应椭圆的焦点, 12 ,A A和 12 ,B B是“果圆” 与 , x y轴的交点,若 012 F FF是边长为1的等边三角,则, a b的值分别为() A 7 ,1 2 B3,1 C5,3 D5,4 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：，双曲线 22 22 1 xy N mn ：若双曲线 N 的两条渐近线与 椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 _；双曲线 N 的离心率为_ 14已知四棱锥SABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则 3 球O的表面积等于_. 15如图，扇形AOB的圆心角为 90，半径为 1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB 的对称点Q，则OP OQ 的取值范围为_ 16 如图， 在ABC中， 已知BAC120其内切圆与AC边相切于点D， 延长BA到E，使BEBC，连接CE,设以,E C为焦点且经过点A的 椭圆的离心率为 1 e， 以,E C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为 2 e， 则当 12 21 ee 取最大值时， AD DC 的值为_ 三、解答题三、解答题: :解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤， 17 （本小题本小题满分满分 10 分分） 如图， 在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是正方形， 且1ADPD， 平面PCD平面ABCD， PDC120，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 是线段 AB 上的一个动点 （）求证：平面DEF 平面 PBC； （）设二面角CDEF的平面角为，试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F，使得 tan2 3，若存在，求出 | | AF FB 的值；若不存在，请说明理由 18（本小题（本小题满分满分 12 分）分） 设椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F， 过F的直线l与C交于,A B两点， 点M的坐标为(2,0). （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB . 19（本小题（本小题满分满分 12 分）分） 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值 15 题图 4 20 （本小题（本小题满分满分 12 分）分） 如图， 已知点(10)F ，为抛物线 2 2(0)ypx p， 点F为焦点， 过点F的直线交抛物线于,A B 两点，点C在抛物线上，使得V ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F 右侧.记,AFGCQG的面积为 12 ,S S. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G的坐标. 21 （本小题（本小题满分满分 12 分）分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形且垂直于底ABCD， o 1 ,90 , 2 ABBCADBADABC E是PD的中点 （1）证明：直线/ /CE平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为 o 45，求 二面角MABD的余弦值 22 （本小题（本小题满分满分 12 分）分） 双曲线 22 :10,0C axbyab的虚轴长为1，两条渐近线方程为 3yx . （1）求双曲线C的方程； （2）双曲线C上有两个点DE、，直线OD和OE的斜率之积为1，判别 22 11 OEOD 是否为定 值； （3）经过点,0 a P tt a 的直线m且与双曲线C有两个交点,M N，直线m的倾斜角是 2 , 2 33 ，是否存在直线 00 :lxx（其中 0 a x a ）使得 M N PMd dPN 恒成立？ （其中, MN dd分别是点,M N到 0 l的距离）若存在，求出 0 x的值，若不存在，请说明理由. 5 六安一中六安一中 2020 届届高三年级自测试卷高三年级自测试卷 理科数学理科数学（三三）参考答案参考答案 题号题号13456789101112 答案答案CBAAACACDCA 1331214101 5 15211 ，.16 1 6 . 17 （）见证明； （） 1 2 AF FB 解： （）四边形ABCD是正方形，BCDC. 平面PCD平面,ABCD平面PCD平面ABCDCD，BC 平面PCD. DE 平面PDC，BCDE. ADPDDC，点E为线段PC的中点，PCDE. 又PCCBC，DE 平面PBC. 又DE 平面DEF，平面DEF平面PBC. （）由（）知BC 平面PCD，/ /ADBC，AD 平面PCD. 在平面PCD内过D作DGDC交PC于点G， ADDG，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点， 以DA，DC，DG所在直线分别为 , ,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz. 因为1ADPD，120PCD ， 3PC . AD 平面PCD， 则0,0,0D，0,1,0C， 13 0, 22 P 又E为PC的中点， 13 0, 44 E ， 假设在线段AB上存在这样的点F，使得tan 2 3 ,设1,0 (0)Fmm ， 13 0, 44 DE ， 1,0DFm ， 设平面DEF的法向量为 1 , ,nx y z ， 则 1 1 0, 0, nDE nDF 0 13 0 44 xmy yz ，令3y ，则1,3zxm ，则 1 3, 3, 1nm AD 平面PCD，平面PCD的一个法向量 2 1,0,0n ,tan 2 3 ,则 13 cos 13 12 2 3 13 coscos, 13 33 1 m n n m . 6 0m ，解得 1 3 m ， 1 2 AF FB 18 （1）AM的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx ； （2）证明见解析. （1）由已知得1,0F，l 的方程为1x .由已知可得，点A的坐标为 2 1, 2 或 2 1, 2 . 所以AM的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx . （2）当l与x轴重合时， 0OMAOMB o. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB . 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为10yk xk， 1122 ,A x yB x y， 则 12 2,2xx，直线MA、MB的斜率之和为 2 12 1 22 MAMB xx yy kk . 由 1122 ,ykkxykxk得 1212 12 234 22 MAMB kx xk xxk kk xx . 将1yk x代入 2 2 1 2 x y得 2222 214220kxk xk. 所以， 2 1 2 21 2 2 2 422 , 2121 xxx kk k x k .则 333 1212 2 441284 2340 21 kkkkk kx xk xxk k . 从而0 MAMB kk，故MA、MB的倾斜角互补，所以OMAOMB . 综上，OMAOMB . 19 （1）见解析； （2） 10 5 . （1）连接ME， 1 BC M，E分别为 1 BB，BC中点 ME 为 1 B BC的中位线 1 /MEBC且 1 1 2 MEB C 又N为 1 A D中点，且 11 /AD BC 1 /NDBC且 1 1 2 NDBC /ME ND四边形MNDE为平行四边形 / /MNDE，又MN 平面 1 C DE，DE 平面 1 C DE / /MN平面 1 C DE （2）设ACBDO， 11111 ACB DO 由直四棱柱性质可知： 1 OO 平面ABCD 四边形ABCD为菱形 ACBD 则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：3,0,0A，0,1,2M， 1 3,0,4A ， D （0， -1,0） 31 ,2 22 N 7 取AB中点F，连接DF，则0 3 1 , 22 F 四边形ABCD为菱形且 60BAD BAD 为等边三角形DFAB 又 1 AA 平面ABCD，DF 平面ABCD 1 DFAA DF 平面 11 ABB A，即DF 平面 1 AMA DF 为平面 1 AMA的一个法向量，且 3 3 , ,0 22 DF 设平面 1 MAN的法向量, ,nx y z r ，又 1 3, 1,2MA ， 33 ,0 22 MN 1 320 33 0 22 n MAxyz n MNxy ，令3x ，则1y ，1z 3,1, 1n 315 cos, 515 DF n DF n DFn 10 sin, 5 DF n 二面角 1 A MAN的正弦值为： 10 5 20 （1）1，1x ； （2） 3 1 2 ，2,0G. (1)由题意可得1 2 p ，则2,24pp，抛物线方程为 2 4yx，准线方程为1x . (2)设 1122 ,A x yB xy， 设直线 AB 的方程为1 ,0yk xk，与抛物线方程 2 4yx联立可得： 2222 240k xkxk，故： 2222 2 4 2,1 k xxx x， 12121212 4 2,444yyk xxy yxx k ， 设点 C 的坐标为 33 ,C x y，由重心坐标公式可得： 123 3 G xxx x 3 2 14 2 3 x k ， 123 3 G yyy y 3 1 4 3 y k ， 令0 G y 可得： 3 4 y k ，则 2 3 3 2 4 4 y x k .即 222 1441 2 33 8 2 G k x kk ， 由斜率公式可得： 1313 22 311313 4 44 AC yyyy k yyxxyy ， 直线 AC 的方程为： 33 13 4 yyxx yy ， 令0y 可得： 2 313313 313 3 4444 Q yyyyyyyy y xx ， 8 故 11 1 1 22 181 21 323 118 223 GF y Sxxyy kk ， 且 3 2 2 13 3 118 224 2 3 QG yy y Sxxy k ， 由于 3 4 y k ，代入上式可得： 1 2 2 228 33 y S kkk ， 由 1212 4 ,4yyy y k 可得 1 1 44 y yk ，则 1 2 1 4 4 y k y ， 则 22 11 1 22 1 2 11 1 2 2 81 233 22 228 44 33 yy S yS yy kkk y k 2 1 2 1 4 2 48 816 8 y y 2 1 2 1 43 21 248 2816 8 y y . 当且仅当 2 1 2 1 48 8 8 y y ，即 2 1 84 3y ， 1 62y 时等号成立. 此时 1 2 1 4 2 4 y k y ， 2 81 22 3 G x k ，则点 G 的坐标为2,0G. 21 （1）见解析； （2） 10 5 试题解析： （1）取PA中点F，连结EF，BF 因为E为PD的中点，所以/ /EFAD, 1 2 EFAD,由 90BADABC得/ /BCAD，又 1 2 BCAD所以 四边形BCEF为平行四边形，/ /CEBF又 BFPAB 平面，CEPAB 平面，故/ /CEPAB平面 （2）由已知得BAAD,以 A 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴正方 向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 则0 0 0A，1 0 0B，1 1 0C，0 13P， 103PC ， ，, 10 0AB ， ，则 1,13BMxyzPMxyz ， ， 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而0 01n ， ，是底面 ABCD 的法向量，所以 0 ,cossin45BM n ， 2 22 z2 2 1xyz 即（x-1）+y-z=0 又 M 在棱 PC 上,设,PMPC 则x,1,3