湖北省宜昌市2020届高三年级3月线上统一调研测试理科数学试题及解析

高三理科数学试题第 1页（共 4 页） 宜昌市 2020 届高三年级 3 月线上统一调研测试 数学试题（理科） 本试卷共本试卷共 23 题（含选考题） ，全卷满分题（含选考题） ，全卷满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 祝考试顺利 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项 在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项. 1已知集合 2 log (1)1Mxx，集合 2 60Nx xx，则MN A.33xx B.12xxC.3x x D.23xx 2已知纯虚数z满足(1 2 )2i zai，其中i为虚数单位，则实数a等于 A.1B.1C.2D.2 3下图是国家统计局公布的 20132018 年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错 误的是 A. 2014 年我国入境游客万人次最少 B.后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C.这 6 年我国入境游客万人次的中位数大于 13340 万人次 D.前 3 年我国入境游客万人次数据的方差小于 后 3 年我国入境游客万人次数据的方差 4在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终 边落在直线2yx上，则 3 sin(2 ) 2 A. 4 5 B. 4 5 C. 3 5 D. 3 5 5已知正项等比数列 n a的前n项和为 n S，且 24 74SS，则公比q的值为 A.1B.1或 1 2 C. 3 2 D. 3 2 6设 0.08 log0.04a ， 0.3 log0.2b ， 0.04 0.3c ，则a、b、c的大小关系为 A.cbaB.abcC.bcaD.bac 7已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，点M为棱 1 DD的中点，则平面ACM截该正方体 的内切球所得截面面积为 A. 3 B. 2 3 C.D. 4 3 8已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，O为坐标原点， 1 F、 2 F为其左、右焦点，点G在C 的渐近线上， 2 F GOG，且 1 6 OGGF，则该双曲线的渐近线方程为 第 3 题图 高三理科数学试题第 2页（共 4 页） A. 2 2 yx B. 3 2 yx C.yx D.2yx 9 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳 术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左， 四、九在右，五、十背中如图，白圈为阳数，黑点为阴数若从这 10 个 数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为 A. 1 5 B. 1 20 C. 1 12 D. 3 40 10.如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初 始位置C出发，已知A在C的北偏西45的方向上，B在C 的北偏东15的方向上，现在船往东开2百海里到达E处， 此时测得B在E的北偏西30的方向上，再开回C处，由C 向西开2 6百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5 的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为 A.3B.3 2C.4D.4 2 11.已知直线:310l kxyk 与椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 交于A、B两点，与圆 2: C 22 (3)(1)1xy交于C、D两点若存在2, 1k ，使得ACDB ，则椭圆 1 C的离心 率的取值范围为 A. 36 , 33 B. 3 ,1) 3 C. 3 (0, 3 D. 6 ,1) 3 12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为 22 322 ()xyx y给出下列四个结论： 曲线C有四条对称轴； 曲线C上的点到原点的最大距离为 1 4 ； 曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为 1 8 ； 四叶草面积小于 4 其中，所有正确结论的序号是 A.B.C.D. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在答题卡对应题号的 位置上 请将答案填在答题卡对应题号的 位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13 26 3 ()x x 的展开式中的常数项为 14如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a 、 b 、c 满足(2)0atb c ，则实数t的值为 15设函数( )lnln(2)(0)f xxxax a，若( )f x在0,1上的最大值为 1 2 ，则a _ 第 9 题图 第 12 题图 A B D C E 第 10 题图 第 14 题 高三理科数学试题第 3页（共 4 页） A M D B E C 第 17 题图 16 已知函数( )sin()() 4 f xxN 在0,上仅有 2 个零点， 设( )2 ( )() 28 x g xff x ， 则( )g x的在区间0,上的取值范围为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥MABCD中，ABAD，2ABAMAD，2 2MBMD （1）证明：AM 平面ABCD； （2）若CDAB，2CDAB，E为线段BM上一点， 且2BEEM，求直线EC与平面BDM所成角的正弦值 18.（本题满分 12 分） 已知数列 n a为公差不为零的等差数列， n S是数列 n a的前n项和，且 1 a、 2 a、 5 a成等比 数列， 7 49S .设数列 n b的前n项和为 n T，且满足 21 log (2) nn TS . （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）令 n n n a c b （*nN） ，证明： 12 3 n ccc. 19.（本题满分 12 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3420 xy的距 离为 1 d，焦点F到抛物线C的准线的距离为 2 d，且 1 2 1 2 d d . （1）求抛物线C的标准方程； （2） 若x轴上存在点M， 过点M的直线l与抛物线C相交于P、Q两点， 且 22 11 PMQM 为定值，求点M的坐标 20.（本题满分 12 分） 某地在每周六的晚上 8 点到 10 点半举行灯光展，灯光展涉及到 10000 盏灯，每盏灯在某一时 刻亮灯的概率均为(01)pp，并且是否亮灯彼此相互独立现统计了其中 100 盏灯在一场灯光 展中亮灯的时长（单位：min） ，得到下面的频数表： 亮灯时长/min50,6060,7070,8080,9090,100 频数1020402010 以样本中 100 盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长 （1）试估计p的值； 高三理科数学试题第 4页（共 4 页） （2）设X表示这 10000 盏灯在某一时刻亮灯的数目 求X的数学期望()E X和方差()D X； 若随机变量Z满足 () () XE X Z D X ，则认为(0,1)ZN假设当49005000X时， 灯光展处于最佳灯光亮度试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为 整数） 附： 某盏灯在某一时刻亮灯的概率p等于亮灯时长与灯光展总时长的商； 若(0,1)ZN，则()0.6827PX，(22 )0.9545PX， (33 )0.9973PX 21.（本题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2ln 2 x f xmxx，mR. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）已知( )f x在1x 处的切线与y轴垂直，若方程( )f xt有三个实数解 1 x、 2 x、 3 x （ 123 xxx） ，求证： 13 2xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分 22 （本小题满分 10 分）选修选修 4-4： 参数方程与极坐标选讲： 参数方程与极坐标选讲 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 3 3 2 xat yat （t为参数，aR）.在以坐 标 原 点 为 极 点 、x轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线C的 极 坐 标 方 程 为 222 3cos24sin3. （1）若点(2,0)A在直线l上，求直线l的极坐标方程； （2）已知0a ，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，且PQ的最小值为 6 2 ，求a的值. 23 （本小题满分 10 分）选修选修 4-5： 不等式选讲： 不等式选讲 设函数( )222f xxx. （1）解不等式( )21f xx； （2）记( )f x的最大值为M，若实数a、b、c满足abcM， 求证： 222222 3 2abbcca. 高三理科数学参考答案第 1页（共 5 页） 宜昌市 2020 届高三年级 3 月线上统一调研测试 理科数学参考答案 一、选择题一、选择题 题号123456789101112 答案ABDCCDADCBAC 二、填空题二、填空题 13.13514. 3 2 15. 1 2 16. 5 ,21 4 三、解答题三、解答题 17.（1） 2ABAMAD，2 2MBMD， 222 AMADMD， 222 AMABMB AMAD，AMAB ABADA，AD 平面ABCD，AM 平面ABCD4 分 （2）由（1）知ABAD，AMAD，AMAB 以A为坐标原点，分别以AD，AM，AB为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0)A，(0,2,0)M，(2,0,0)D，(0,0,2)B，(2,0,1)C6 分 (2,0, 2)BD ，( 2,2,0)DM ，2BEEB ， 4 2 (0, ) 3 3 E， 41 ( 2,) 33 CE 7 分 设( , , )nx y z 是平面BDM的一个法向量 则 0 0 n BD n DM 即 220 220 xz xy ，取1x 得(1,1,1)n 9 分 41 2 159 33 cos, 5353 3 3 n CE n CE n CE 11 分 直线EC与平面BDM所成的正弦值为 159 53 12 分 18.（1）设的首项为 1 a，公差为d.由题意，得 2 215 1 7 6 749 2 aa a d a .解得 1 1,2ad2 分 22 1 21,21(1) nn anSnnn 3 分 21 log (2)1 nn TSn ， 1 22 n n T 4 分 当2n时， 1 22 n n T 2 ,2. n n bn当1n 时， 11 2bT满足上式. 2n n b6 分 （2） 21 2 n n n c ，令数列 n c的前n项和为 n H. 123 13521 2222 n n n H 高三理科数学参考答案第 2页（共 5 页） 2341 11352321 222222 n nn nn H 8 分 两式相减得 1231 1111121 2() 222222 n nn n H 9 分 1 11 11 1 22 121323 1 2222 1 2 n nn nn 23 33 2 n n n H 恒成立，得证.12 分 19.（1）由题意可得，焦点(,0),0 2 p Fp ，则 1 12 2 32 2 32 32 12 52 , 552 p p p d ddp dp 解得2p .抛物线C的标准方程为 2 4yx4 分 （2）设( ,0)M t，设点 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy，显然直线l的斜率不为0. 设直线l的方程为xmyt 联立方程 2 4 xmyt yx ，整理可得 2 440ymyt 2 1212 16()0,4 ,4tmyym y yt 6 分 2 1 1PMmy， 2 2 1QMmy 22 12 222222222 1212 1111 (1)(1)(1) yy mymymy y PMQM 8 分 22 1212 222222 12 ()42 (1)22 yyy ymt my yt mt 9 分 要使 22 11 PMQM 为定值，必有 22 2 22 t tt ，解得2t ，11 分 22 11 PMQM 为定值时，点M的坐标为(2,0)12 分 20.（1）平均时间为55 0.1 65 0.275 0.485 0.295 0.175（分钟）2 分 751 1502 p3 分 （2） 1 (10000, ) 2 XB，4 分 1 ()100005000 2 E Xnp， 11 ()(1)100002500 22 D Xnpp6 分 49005000X， ()5000 50() XE XX Z D X ，2,0Z 8 分 (0,1),0,1ZN 高三理科数学参考答案第 3页（共 5 页） 11 ( 20)(22 )0.95450.47725 22 PZPZ 10 分 150 0.4772571.587572 即最佳时间长度为72分钟.12 分 21. （1） 2 ( )2ln 2 x f xmxx， 22 22(2) ( )2 2 xmxx fxxmm xxx 1 分 当2 2m 时，( )0fx恒成立，则( )f x在(0,)单调递增2 分 当2 2m 时，令( )0fx得 2 20 xmx，解得 2 1 8 2 mm x ， 2 2 8 2 mm x 又 12 12 0 20 xxm x x ， 12 0 xx 当 2 8 (0,) 2 mm x 时，( )0fx，( )f x单调递增； 当 22 88 (,) 22 mmmm x 时，( )0fx，( )f x单调递减； 当 2 8 (,) 2 mm x 时，( )0fx，( )f x单调递增.5 分 （2）依题意得，(1)30fm ，则3m 6 分 由（1）得，( )f x在(0,1)单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,)上单调递增 若方程( )f xt有三个实数解 123123 ,()x x x xxx，则 123 012xxx 7 分 法一：双偏移法法一：双偏移法 设 1( ) ( )(2)(02)xf xfxx，则 2 1 224(1) ( )40 2(2) x x xxxx 1( ) x 在(0,2)上单调递增，(0,1)x ， 11 ( )(1)0 x 11111 ( )( )(2)0(01)xf xfxx，即 11 ( )(2)h xhx 12 ( )()f xf xt， 21 ()(2)f xfx，其中 2 (1,2)x ， 1 2(1,2)x ( )f x在(1,2)上单调递减， 21 2xx，即 12 2xx10 分 设 2( ) ( )(4)(14)xf xfxx， 2 2 222(2) ( )20 4(4) x x xxxx 2( ) x 在(1,4)上单调递增，(1,2)x ， 22 ( )(2)0 x 22222 ()()(4)0(12)xf xfxx，即 22 ()(4)f xfx 23 ()()f xf xt， 32 ()(4)f xfx，其中 3 (2,)x ， 2 4(2,3)x ( )f x在(2,)上单调递增， 32 4xx，即 2312 42xxxx 13 2xx.12 分 法二：直接证明法法二：直接证明法 1 22x ， 3 2x ，( )f x在(2,)上单调递增， 要证 13 2xx，即证 131 (2)()( )f xf xtf x 设( )(2)( )(0)xf xf x x，则 222(31)(31) ( )2 2(2) xx x xxx x ( ) x在(0, 31)上单调递减，在( 31,)上单调递增8 分 高三理科数学参考答案第 4页（共 5 页） 1 (0,1)x， 1 ()( 31)( 31)( 31)2 ln(23)330 xff 111 ( )(2)( )0 xf xf x，即 113 (2)( )()f xf xf x12 分 （注意：若ln(23)330没有证明，扣 3 分） 关于ln(23)330的证明： （1）0 x 且 1 x e 时，ln2xex（需要证明），其中2.7231e ln(23)(23)2( 31)(23)233e 1 ln(23)lnln(23)33 23 ln(23)330 （2）31