数学一轮总第九章直线和圆的方程训练检测PDF理新人教B

第九章 直线和圆的方程 第九章 直线和圆的方程 直线方程和两条直线的位置关系 对应学生用书起始页码 考点一 直线及其方程 （ 湖南， 分）在等腰直角三角形 中， ， 点 是边 上异于 ， 的一点光线从点 出发，经 ， 反射后又回到点 （如图）若光线 经过 的重心，则 等于（ ） 答案 以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立 如图所示的坐标系， 由题可知 （，）， （，），（，），则直线 的方程 为， 设 （，）（），由对称知识可得点 关于直线 的对称 点 的坐标为（，），点 关于 轴的对称点 的坐标为 （，），根据反射定理可知 就是光线 所在直线由 、两点坐标可得直线 的方程为 （），设 的重心为 ，易知 ， ()因为重心 ， ()在光 线 上，所以有 ()，即 所以 或 ，因为 ，所以 ，即 ，故选 考点二 两条直线的位置关系 （ 四 川， ， 分） 设 直 线 ， 分 别 是 函 数 （ ） ， ， 图象上点 ，处的切线，与 垂直相交于 点 ，且 ，分别与 轴相交于点 ，则 的面积的取 值范围是（ ） （，）（，）（， ）（，） 答案 设 是 （）的切线，切点 （， ），是 （）的切线，切点 （，）， ： （）， ： （）， 得 ， 易知 （，），（，）， ， ， ， （ ） （ ） （ ） ， 又 ， ， ， 故选 思路分析 设出点 ，坐标，进而根据已知表示出 ， 然后求出 、 点坐标及 ，最后利用点在曲线上及垂直的 条件求出面积表达式，从而求出面积的取值范围 本题考查了利用导数求切线问题，及考生的运算 能力 （ 课标全国， 分）已知点 （，），（，），（， ），直线 （）将 分割为面积相等的两部分，则 的取值范围是（ ） （，） ， ， ， ) 答案 （）当直线 与 、 相交时，如图 所示 年高考年模拟 版（教师用书） 图 易求得 ， 由已知条件得 () ， 点 在线段 上， ， 点 在线段 上， ， 由 ， ， ， 解得 （）当直线 与 、 相交时，如图所示 图 设 ， 则 ， 显然， ， 又已知 且 且 设 到 、 的距离为 ，则 ， ， ， 而 （） 且 的值域为 ， ， 即 ， ， 综合（）、（）可得 （ 浙江， 分）设 ，则“”是“直线 ： 与直线 ：（） 平行”的（ ） 充分不必要条件必要不充分条件 充分必要条件既不充分也不必要条件 答案 由 ，得 ，解得 或 ，代入 检验符合，即“”是“”的充分不必要条件，故选 本题考查两直线平行和充要条件的判断，考查运 算求解能力 （ 江苏， 分）在平面直角坐标系 中，若曲线 （， 为常数）过点 （，），且该曲线在点 处的切 线与直线 平行，则 的值是 答案 解析 ， ， 由题意可得 ， ， 解得 ， （ 四川， 分）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 （，），则 的最大值是 答案 解析 易知 （，），（，），且 ， ， （当且仅当 时取“ ”） 本题考查两条直线的位置关系首先，要确定 、 两点的具体位置，其次，要发现两直线的斜率间的关系 以下为教师用书专用（） （ 辽宁， 分）已知点 （，），（，），（，）若 为直角三角形，则必有（ ） （） () 答案 若 为直角三角形，则 或 当时，有 ； 当时，有 ，得 故（） () ，选 第九章 直线和圆的方程 对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷） 一、直线及其方程选择题 求直线方程、倾斜角、斜率、 截距等 三角函数，导函数， 曲线的切线 二、两条直线的位置 关系 选择题 利用斜率进行直线的平行、 垂直的判定；两直线交点坐 标，点到直线的距离，平行 直线的距离；对称问题 均值不等式，二元一 次方 程 组， 对 称 问 题，最值问题 课标全国 ， 分 对应学生用书起始页码 直线的倾斜角与斜率 名称定义求法范围 倾斜角 当直线 与 轴相交 时， 轴正方向与直线 向上方向之间所成 的角 叫做直线 的 倾斜角 当直线 与 轴平行 或重合时，规定它的 倾斜角为 解法一：构造三角形 求角 ； 解法二：利用斜率求 角 ，即由 求 斜率 一条直线的倾斜角 的 正切值 叫做 这条直线的斜率 解法一：由 （）求 ； 解法二：由 求 （其中（，），（， ）分别是直线上两个 不同点的坐标） 任何直线都有倾斜角，当倾斜角为时，斜率不存在 两条直线的斜率与这两条直线平行、垂直的关系 两条直线平行 对于两条不重合的直线 、，若其斜率分别为 、 ，则有 两条直线垂直 如果两条直线 、的斜率分别为 、，则有 直线方程的几种形式 名称条件方程适用范围 点斜式 斜 率 与 点 （，） （） 不含直线 斜截式斜率 与截距 不含垂直于 轴 的直线 两点式 两点（，）， （，） 不含直线 （ ）和直线 （） 截距式截距 与 不含垂直于坐标 轴 和 过 原 点 的 直线 一般式 （ ） 平面直角坐标系 内的直线都适用 两条直线的交点坐标 设两条直线的方程为 ： ，： ， 则 这 两 条 直 线 的 交点坐标 就 是 方 程 组 ， 的解 （）若方程组有唯一解，则这两条直线 相交 ，此解就是 交 点坐标 ； （）若方程组无解，则这两条直线 平行 ，此时这两条直线 无交点 ，反之，亦成立 距离 点 （，），（，） 之间的距离 （ ） （ ） 点 （，）到直线 ： 的距离 两条平行线 与 间的 距离 【知识拓展】 符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系 方程有如下几种： （）过定点 （，）的直线系方程为 （） （）和直线 平行的直线系方程为 （） （）和直线 垂直的直线系方程为 （）经过两相交直线 和 的 交点的直线系方程为 （） （这个直 线系不包括直线 ） 年高考年模拟 版（教师用书） 对应学生用书起始页码 方法 直线的倾斜角与斜率 倾斜角， () ， () 斜 率 取值（， ） 不存在 （，） 增减性递增递增 求倾斜角 的取值范围的一般步骤： （）求出 的取值范围； （）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 的取 值范围 （ 山东潍坊期末， 分） 若过点 （ ， ）的直线与圆 有公共点，则该直线的倾斜角的取 值范围是（ ） ， () ， ， ， ( 解题导引 设直线的点斜式方程 根据圆心到直线 的距离小于或等于 半径列不等式 求出 的取值范围 结论 解析 易知直线的斜率存在，设直线方程为 （ ）， 即 ， 因为直线与圆有公共点， 所以 ，解得 ， 所以直线的倾斜角的取值范围是 ， 答案 方法 两条直线的平行与垂直 判定两直线平行的方法 （）判定两直线的斜率是否存在，若都存在，则化成斜截式， 若 且 ，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定 两直线是否重合 （）直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线 ：，： ， 则 且 判定两直线垂直的方法 （）判定两直线的斜率是否存在，若存在，则化成斜截式，若 ，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直 线的斜率为 ，则两直线也垂直 （）直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线 ：，： ， 则 （ 四川德阳二诊，）已知直线 ： ， ：（），则“”是“”的（ ） 充分必要条件充分不必要条件 必要不充分条件既不充分也不必要条件 解题导引 由垂直得两直线方程中系数关系 求 结论 解析 若 ，则 （）（） ， 解得 或 ， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选 答案 已知两直线 ： 和 ：试确定 ， 的值，使： （）与 相交于点 （，）； （）； （），且 在 轴上的截距为 解析 （）由题意得 ， ， ， （）由 得 由 （） 得 即当 ， 或 ， 时， （）当且仅当 ，即 时， 又 ， ， 即 ， 时，且 在 轴上的截距为 方法 距离问题 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运 用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中 ， 的系 数化为相同的形式 若动点 、 分别在直线 ： 和 ： 上移动，则 的中点 到原点的距离的最小值为（ ） 解题导引 平行线间 距离公式 求 点的 轨迹方程 点到直线的 距离公式 结论 解析 依题意知 的中点 的集合为与直线 ： 和 ： 距离都相等的直线，则 到原点的距离的最 小值为原点到该直线的距离，设点 所在直线的方程为 ，根据平行线间的距离公式得 ，解得 ，即 第九章 直线和圆的方程 ，根据点到直线的距离公式，得 到原点的距离的最小 值为 答案 已知直线 ： 与圆 ：（） （） ，则 圆 上各点到 的距离的最小值为 答案 解析 如图，过圆心 作直线 ： 的垂线，交圆 于 ，垂足为 ，则 的长即为所求 圆 ：（） （） 的圆心为 （，），半径为 ，点 到直线 ： 的距离为 ， ，故圆 上各点到 的 距离的最小值为 方法 对称问题 对称包括中心对称和轴对称两种情形 常见对称问题的求解方法： （）中心对称 若点 （，）与 （，）关于 （，）对称，则由中点坐 标公式得 ， 若直线关于点对称，则在已知直线上取两点，利用中点坐 标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出 直线方程，或者求出一个对称点，再利用 ，由点斜式得到所 求直线方程 （）轴对称 点关于直线的对称 若两点 （，）与 （，）关于直线 ： 对 称，则线段 的中点在对称轴 上，而且连结 的直线垂 直于对称轴 ，由方程组 ， （ ） （ ）， 可得到点 关于 对称的点 的坐标（，）（其中 ，） 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两 种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴 平行 已知 （，），（，），若 的平分线的方程为 ，则直线 的方程为（ ） 解题导引 求点 关于 的平分线的对称点 的坐标 求直线 的斜率 得到直线 的方程 解析 设点 （ ，） 关于直线 的对称点 为（，）， 则有 ， ， ， 即 （，） 因为 （，）在直线 上， 所以直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 （）， 即 故 正确 答案 在直线 ： 上求一点 ，使得： （） 到 （，）和 （，）的距离之差最大； （） 到 （，）和 （，）的距离之和最小 解析 （）设 关于 的对称点为 ，的延长线交 于 ，在 上另任取一点 ，则 ，则 即为所求 易求得直线 的方程为 ， 设 （，），则 ， 又线段 的中点 ， ()在 上，故 由解得 ，所以 （，） 所以 所在直线的方程为 由 ， 可得 （，） （）设 关于 的对称点为 ，与（）同理可得 ， () 连结 交 于 ，在 上另任取一点 ，有 ，故 即为 所求 又 ：， 联立 ， 得 ， () 年高考年模拟 版（教师用书） 对应学生用书起始页码 组 年高考模拟基础题组 时间： 分钟 分值： 分 一、选择题（每题 分，共 分） （ 广西南宁二中 月月考，）直线 的方程为 ，若 、 满足 且 ，则直线 不经过的象限是 （ ） 第一象限第二象限第三象限第四象限 答案 原直线方程可转化为 ，由 可得 直线的斜率为正，由 可知直线的纵截距为正，因此直线 不经过第四象限，故选 （ 内蒙古呼伦贝尔一模，）“”是“直线 ： 与 ：（） 互相平行”的（ ） 充分不必要条件必要不充分条件 充分必要条件既不充分也不必要条件 答案 （）（）， 或 ，所以 是两直线平行的充分不必要条件，故选 （ 黑龙江伊春一模，）直线 的倾斜角的取 值范围是（ ） ， () （，） ， ， ， ) 答案 直线 的斜率是 ， ， 当 时，倾斜角的范围是 ， ； 当 时，倾斜角的范围是 ， ) 综上，倾斜角的取值范围是 ， ， ) 二、填空题（每题 分，共 分） （ 福建南平模拟，）与直线 平行，且距离等于 的直线方程是 答案 或 解析 设所求直线方程为 ，利用两平行线间距 离公式可解得 或 （ 浙江嘉兴模拟，）垂直于直线 且经过点 （，）的直线的方程为 答案 解析 由题意，设所求直线方程为 ，又 该直线过 点（，）， ，则所求直线方程为 （ 青海西宁模拟，）设 （， 为常数），则直线 恒过定点 答案 ， () 解析 可化为 （），即 （）， 此式对于任何 都成立，则 ， ， 解得 ，故直 线 恒过定点 ， () 组 年高考模拟提升题组 时间： 分钟 分值： 分 一、选择题（共 分） （ 福建光泽一中月考，）若动点 到点 （，）和直线 的距离相等，则点 的轨迹方程为（ ） 答案 点 （，）在直线 上，则过点 （，） 且垂直于已知直线的直线即为所求，设与 垂直的直 线方程为 ，又 （，）在该直线上，所以 ，故 选 二、填空题（每题 分，共 分） （ 福建三明 月月考，）已知直线 ： 和两 点 （，），（，），下列命题正确的是 （填上所有正 确命题的序号） 直线 对任意实数 恒过点 （，）； 方程 可以表示所有过点 （，）的直线； 当 及 时，直线 在坐标轴上的截距相等； 若 ，则直线（）（） （）（）与直线 及直线 都有公共点； 使得直线 与线段 有公共点的 的范围是，； 使得直线 与线段 有公共点的 的范围是（， ，） 答案 解析 直线 的方程为 （），恒过点 （，）， 故正确 由于方程 不能表示直线 ，故不正确 当 时，直线 的方程为 ，在 轴， 轴上的截 距分别为 和，故不正确 若 ，则点 （，）在直线 上（截距式），又点 （，）在直线 上， 而直线（）（） （）（）过点 ，（两点式），即 与直线 有公共点 ，与直线 有公共点 ，故正确 直线 与线段 有公共点，不宜先解方程再解不等式组 （麻烦），数形结合易知，直线 应在直线 到 之间，而其 间有斜率不存在的情况，故命题不正确，命题正确综上， 答案为 （ 辽宁沈阳一模，）若直线 ： （，）经过 第九章 直线和圆的方程 点（，），则直线 在 轴上和 轴上的截距之和的最小值 是 答案 解析 因为直线 ： （，）经过点（，）， ， （） () ， 当且仅当 时等号成立 直线在 轴， 轴上的截距之和的最小值为 三、解答题（共 分） （ 山东东营 月月考，）设直线 的方程为（） （） （）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程； （）若 ，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 为坐标 原点，求 面积取最小值时，直线 的方程 解析 （）当直线 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上 的截距都为 ，此时 ，解得 ，此时直线 的方程为 ，即 ；当直线 不经过坐标原点，即 且 时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得 ，解 得 ，此时直线 的方程为 所以直线 的方程为 或 （）由直线方程可得 ， ()，（，），因为 ， 所以 （） （） （） （） ， 当且仅当 ，即 时等号成立 此时直线 的方程为 圆的方程 对应学生用书起始页码 考点 圆的方程 （ 课标， 分）一个圆经过椭圆 的三个顶 点，且圆心在 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 答案 () 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点 （，）、（， ）、（，）易知线段 的垂直平分线的方程为 令 ，得 ，所以圆心坐标为 ， ()，则半径 故该圆的标准方程为 () 本题考查圆和椭圆的方程，求出圆心坐标是解题关 键 （ 课标， 分）设点 （，），若在圆 ： 上 存在点 ，使得，则 的取值范围是 答案 ， 解析 解法一：当 时，（，），由圆的几何性质得在 圆上存在点 （，）或 （，），使当 时， 过 作圆的两条切线，切点为 、 若在圆上存在 ，使得， 应有， ， 或 综上， 解法二：过 作 ， 为垂足， ， ， ， ， ， 本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题 的能力 （ 陕西， 分）若圆 的半径为 ，其圆心与点（，）关 于直线 对称，则圆 的标准方程为 答案 （） 解析 根据题意得点（，）关于直线 对称的点（，）为 圆心，又半径 ，所以圆 的标准方程为 （） （ 江苏， 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知 以 为圆心的圆 ： 及其 上 一 点（，） （）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程； （）设平行于 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程； （）设点 （，）满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范围 年高考年模拟 版（教师用书） 解析 圆 的标准方程为（） （），所以圆心 （，），半径为 （）由圆心 在直线 上，可设 （，） 因为圆 与 轴相切，与圆 外切，所以 ， 于是圆 的半径为 ，从而 ，解得 因此，圆 的标准方程为（） （） （）因为直线 ，所以直线 的斜率为 设直线 的方程为 ，即 ， 则圆心 到直线 的距离 因为 ，而 () ， 所以 （） ，解得 或 故直线 的方程为 或 （）设 （，），（，） 因为 （，），（，）， ， 所以 ， 因为点 在圆 上，所以（ ） （ ） 将代入，得（） （ ） 于是点 （，）既在圆 上， 又在圆（） （） 上， 从而圆（） （） 与圆（）（） 有 公共点， 所以 （） （） ， 解得 因此，实数 的取值范围是， 本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直 线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知 识，考查分析问题能力及运算求解能力 对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷） 圆的方程选择题 求圆的方程，已知圆的方程 求圆心、半径、弦长 求圆的方程的“几何 法” 和 “ 待 定 系 数 法”，与圆有关的最 值问题 课标， 分 课标， 分 对应学生用书起始页码 圆的标准方程 （）方程（） （） （）表示圆心为 （，） ，半 径为 的圆的标准方程； （）特别地，以原点为圆心，（）为半径的圆的标准方程 为 圆的一般方程 方程 可变形为 () () （）当 时，方程表示以 ， () 为圆心， 为半径的圆； （）当 时，方程表示一个点 ， () ； （）当 时，方程不表示任何图形 （，）与圆（） （） 的位置关系 （）若（ ） （ ） ，则点 在圆外； （）若（ ） （ ） ，则点 在圆上； （）若（ ） （ ） ，则点 在圆内 【知识拓展】 确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（、 或 、）的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定 系数法得到关于 、（或 、）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程 若 （，），（，），则以 为直径的圆的方程为 （）（）（）（） 外接圆半径的求解，可利用正弦定理： （， 为 对应三边的长， 为 外接圆 的半径） 第九章 直线和圆的方程 对应学生用书起始页码 方法 圆的方程 “选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法： （）选形式：若已知条件多与圆心、半径，与直线相切，弦长， 弧长，三角形（扇形）面积、距离等几何性质有关，常选用圆的标 准方程（） （） ；若已知条件与圆上的普通点相关， 则常选用圆的一般方程： （）定参数：若已知条件与圆的几何性质相关，则采用几何 法；若已知条件与圆心、半径有关，则采用待定系数法但是不论 哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式 （ 课标， 分） 过三点 （，），（，）， （，）的圆交 轴于 ， 两点，则 （ ） 解析 解法一：待定系数法（选标准方程形式求圆的参 数） 设圆心为 （，），由点 （，），（，）在圆上，知 再由 ，得 ，则 （， ）， （） （） ，于是圆 的方程为（）（） 令 ，得 ，则 （ ）（ ） 解法二：待定系数法（选一般方程形式求圆的参数） 设过 ， 三点的圆的方程为 ，代入 ， 三点的坐标， 得 ， ， ， 解得 ， ， ， 圆的方程为 令 ，得 ， ， （ ） 解法三：几何法（利用几何性质确定圆的参数） 由已知得 ， ，所以 ， 所以 ，即 为直角三角形，其外接圆圆心为（， ），半径为 ，所以外接圆的方程为（）（） ，令 ，得 ，所以 答案 求圆心在直线 上，并且与直线 ： 相 切于点 （，）的圆的方程 解析 解法一：设圆心 （，），则 到 的距离 ， 点 在圆上， （）（）， 即 ，解得 圆心 （，）， 圆的标准方程为（） （） 解法二：过切点 且与 垂直的直线是，即 由 ， 得圆心坐标为（，），于是 ， 圆的标准方程为（） （） 方法 与圆有关的最值问题 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根 据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值 问题，常见的有以下几种类型： （）形如 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值 问题；