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1 均值不等式和不等式的解法均值不等式和不等式的解法 1、引理：设,Ra b，则 22 2abab+，当且仅当ab=时等号成立. 2、均值定理：设, a b + R，则 22 2 22 ababab ab ab + + ，当且仅当ab=时等号成立. 3、均值定理的几何解释. 【例1】已知, x y都是正数，求证： （1）如果xy是定值P，那么当xy=时xy+有最小值2 P； （2）如果xy+是定值S，那么当xy=时xy有最大值 2 1 4 S . 【例2】已知a、bR+，求证： 11 ()4ab ab + . 【例3】已知a、bR，求证： （1） 22 1ababab+； （2） 444 ()abcabc abc+. 2 【例4】已知x、yR，a、bR+，且1ab+=，求证： 222 ()axbyaxby+. 【例5】已知正实数, ,a b c互不相等，求证：lglglglglglg 222 abbcca abc + +. 【例6】已知0,0,21xyxy+=，求证： 11 32 2 xy +. 【例7】已知nN*，1n，求证： (1) log (1)log nn nn + +=，求lglgxy+的最大值. 【例10】已知,3x yR xy+=，求22 xy +的最小值是. 3 【例11】已知, x yR且 2 yx=，求证： 2 7 log (22 ) 8 xy +. 【例12】已知0a，求 2 2 16 16 aa aa + + + 的最值. 【例13】解关于x的不等式： （1） 2 a xaxa+； （2） 2 (21)(52)3(1) ()xaxaxa+R. 【例14】已知二次函数 2 yxpxq=+，当0y时，有 11 23 x0，y0） 1111 (2)xy xyxy +=+ 2 3 yx xy =+32 2+ 原式成立 【例7】证明： 2 1 log (1)log (1)log (1) log (1) log (1) log2 nnn nn n nnn nn n + =+ 2 2 log 2 nn = 2 2 log 1 2 nn 又 16 2 168xa a =+= 当且仅当 16 a a =时取“=” 即a=4时取“=” )8,x + ( ) 1 f xx x =+ )8,x+ ) 12 ,8,xx+ 且x1x2 ()() 12 121212 1212 11 ()(1) xx f xf xxxx x xxx x =+= ()() 12 f xf x1或a0 则解为 (1) a x x a a 当a=1时 原式为01不成立 无解 0a+ 讨论： 1 2 a 或a 1 2 a =时
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