数学终极压轴 理辽宁卷

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011KS5U2011 年高考终极压轴年高考终极压轴辽宁辽宁卷卷 数数 学学 试试 题题（理理） 注意事项：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟。 （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工 整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草 稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 参考公式： 球的表面积公式 2 4 RS 球的体积公式 3 4 3 VR 第卷（选择题，共 50 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 ） 1i 是虚数单位，复数 z= i 23 i 32 的虚部是 A0 B-1 C1 D2 【答案答案】B 【解析解析】z=, i ) i 2()3( i 6i 9i 46 ) i 23)(i 23( ) i 23)(i 32( i 23 i 32 22 2 z 的虚部为-1,故选 B. 2设非空集合 Sxmxl满足：当 xS 时，有 x2S，给出如下三个命题：若 m 1，则 S1；若 1 2 m ，则 1 1 4 l ；若 1 2 l ，则 2 0 2 m其中正 确的命题的个数为 A0 B1 C2 D3 【答案答案】D 【解析】 若 m1，则集合 Sx1xl，当 xl 时，x2l2S，1l2l， 解得 l1，即集合 S 中只有一个元素 1，所以 S1，所以命题正确； 若 1 2 m ，则集合 1 | 2 Sxxl，由 2 1 () 2 l，且 l2l，解得1 1 4 l ， 所以命题正确；若 1 2 l ，则集合 1 | 2 Sx mx ，由 2 1 2 mm，解得 2 0 2 m ， 所以命题正确故选 D 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 3设 a，bR，若 ba0，则下列不等式中正确的是 Aab0 Bab0 Ca2b20 Da3b30 【答案答案】B 【解析】 由 ba，可得bab由 ab，可得 ab0，所以选项 A 错误由 ba，可得 ab0，所以选项 B 正确由 ba，两边平方得 b2a2，则 a2b20， 所以选项 C 错误由ba，可得b3a3，则 a3b30，所以选项 D 错误故选 B 4已知向量 a（1，2） ，ab5，| 2 5ab，则b等于 A5 B2 5 C5 D25 【答案答案】C 【解析】 由 a（1，2） ，可得 a2a212225| 2 5ab，a22ab b220，525b220，b225，b5，故选 C 5函数 f(x)= ) 2 0(cos2 0)(-22 xx xx 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 A3 B 2 7 C4 D 2 9 【答案答案】C 【解析解析】依题意得，所求封闭图形的面积等于 2 1 22+ 2 0 (2cosx)dx=2+2sinx| 2 0 =4， 选 C 6设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 S830，S47，则 a4的值等于 A 1 4 B 9 4 C13 4 D17 4 【答案答案】C 【解析】 由题意可得， 1 1 88 (8 1)30 2 44 (4 1)7 2 d a d a ，解得 1 1 4 1 a d ，故 41 13 3 4 aa ，故选 C 7设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）单调递减，若 x1x20，则 f （x1）f（x2）的值 A恒为负值 B恒等于零 C恒为正值 D无法确定正负 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 【答案答案】A 【解析】 由 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）单调递减，可知 f（x） 是 R 上的单调递减函数，由 x1x20，可知 x1x2，f（x1）f（x2）f（x2） ，则 f（x1） f（x2）0，故选 A 8若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 A18 3 B15 3 C248 3 D24 16 3 【答案答案】C 【解析】 由三视图可知，该正三棱柱的直观图如图所示易知，底面等边三角形的高 为2 3，正三棱柱的高为 2，则底面等边三角形的边长为 4，所以该正三棱柱的表面积为 1 3 4 224 2 3248 3 2 9函数 2 ln1f xx x （ ）（）的零点所在的大致区间是 A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 【答案答案】B 【解析】 利用排除法解题由题知，函数 2 ln1f xx x （ ）（） 的定义域为（1，0） （0，） ，而四个选项均在定义域内，故无法排除选项又 f（1）0，f（2）0，所以可 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 知函数 2 ln1f xx x （ ）（） 的零点所在的大致区间是（1，2） 10函数 f（x）Asin（x） （其中 A0， | 2 ）的图象如图所示，为了得到 g（x） sin 3x 的图象，则只要将 f（x）的图象 A向右平移 4 个单位长度 B向右平移 12 个单位长度 C向左平移 4 个单位长度 D向左平移 12 个单位长度 【答案答案】B 【解析】 由题知，函数 f（x）的周期 52 4() 1243 T ，所以 22 3 T ，解得 3，易知 A1，f（x）sin（3x） 又 f（x）sin（3x）过点 5 (1) 12 ，所以 5 sin(3)1 12 ，所以 53 32 122 k，kZ，所以 2 4 k，kZ，又 | 2 ，所以 4 ，所以 ( )sin(3)sin3() 412 f xxx，所以将函数 f（x）的图象 向右平移 12 个单位长度可以得到函数 g（x）sin 3x 的图象，故选 B 11在 1，2，3，4，5，6，7 的任一排列 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质 的排列方式种数共有 A576 B720 C864 D1152 【答案答案】C 【解析解析】a7=6 与 a1=6 情形相同,若 a1=6,则 a2只能是 1、5、7 之一,有 3 种选法,对 a3、a4、a5、 a6、 a7,只需要使用范围 2、 4 不相邻即可,先安排另三个无限制条件的数字,有 A3 3种方法,再将 2、 4 插入,有 2 4 A种方法,共有 3 A3 3 2 4 A种排法; a6=6 与 a2=6 情形相同,若 a2=6,则 a1、a3只能是 1、5、7 之二,有 2 3 A种方法,对 a4、a5、a6、a7, 只需要使 2、 4 不相邻即可,先安排另两个无限条件的数字,有 2 2 A种方法,a1、 a6可任意安排,有 2 3 A 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 种排法,共有 2 3 A 2 2 A 2 3 A种排法, a3=6 与 a5=6 情景相同,若 a3=6,则 a2、 a4只能是 1、 5、 7 之二,有 2 3 A种方法,当 a1为 2、 4 之一时， 1 2 A种方法，a5、a6、a7可以任意安排,有 2 2 A种方法,当 a1、a6可以任意安排,有 2 2 A种方法,共有 2 3 A ( 2 2 2 2 3 3 1 2 AAAA)种排法. 若 a4=6,则 a3、a5只能是 1、5、7 之二,有 2 3 A种方法, 2、4 必分别在 a4的两侧,2 有 4 种安排方 法,4 有 2 种安排方法,其余两个数字任意安排,有 2 2 A种方法,共有 2 3 A42 2 2 A种排法. 所 以 对1,2,3,4,5,6,7的 排 列 , 使 得 相 邻 两 数 都 互 质 的 排 列 方 式 种 数 共 有23 A 3 3 2 4 A+ 2 3 A 2 2 A 2 3 A+ 2 3 A( 2 2 2 2 3 3 1 2 AAAA)+ 2 3 A42 2 2 A=864,故选 C. 12已知定义域为 R 的函数 f（x）既是奇函数，又是周期为 3 的周期函数，当 3 0 2 x （ ，）时， f（x）sin x， 3 0 2 f（ ） ，则函数 f（x）在区间0，6上的零点个数是 A3 B5 C7 D9 【答案答案】D 【解析】 对 R 上的奇函数 f（x） ，有 f（0）0；又 f（1）sin 0；再由 T3，f （3）f（03）f（0）0；f（6）f（33）f（3）0；f（4）f（13）f（1） 0；f（2）f（23）f（1）0，f（2）f（2）0；f（5）f（23）f（2） 0因为 3 0 2 f（ ） ，所以 933 30 222 fff（ ） （） （ ） 综上可知 f（x）在区间0，6上的 零点为 0，1， 3 2 ，2，3，4， 9 2 ，5，6，共 9 个，故选 D 第卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题后的横线上。 ） 11已知抛物线 y2=2px(p0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切，则 p 的值为_ 【答案答案】2 【解析解析】依题意得，直线 x=- 2 p 与圆(x-3)2+y2=16 相切，因此圆心(3，0)到直线 x=- 2 p 的距离等 于半径 4，于是有|- 2 p -3|=4，- 2 p -3=4，解得，p=2 或 p=-14又 p0因此有 p=2 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 12设 f(x)= e , 1 (, 1 1 , 0, 2 x x xx (e 为自然对数的底数)，则 e 0 )(dxxf的值为_ 【答案答案】 3 4 【解析解析】依题意得， 1 0 e 1 e 1 1 0 32 e 0 3 4 |ln| 3 11 )(xxdx x dxxdxxf 13某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问 题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回 答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于_ 【答案答案】0.128 【解析解析】依题意得，事件“该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在 回答前面 4 个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答 对了；要么第一、二个问题都答错，第三、四个问题都答对了” ，因此所求事件的概率等于0.8 (1-0.8)+(1-0.8)20.82=0.128 16设 A，B，C，D 是半径为 2 的球面上的四点，且满足 ABAC，ADAC，ABAD， 则 SABC+SABD+SACD的最大值是_ 【答案答案】8 【解析解析】依题意得，由点 A，B，C，D 构成的三棱锥可补形成一个长方体，该长方 体的外接球即是题中所提及的球，因此有 AB2+AC2+AD2=(22)2=16；又 4 22 ACAB + 4 22 ADAC + 4 22 ADAB 2 1 ABAC+ 2 1 ACAD+ 2 1 ABAD，即有 2 1 ABAC+ 2 1 ACAD+ 2 1 ABAD 2 1 (AB2+AC2+AD2)=8，SABC+SABD+SACD8，当 且仅当 AB=AC=AD 时取等号，即 SABC+SABD+SACD的最大值是 8 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 某巡逻艇在 A 处发现在北偏东45距 A 处 8 处有一走私船， 正沿东偏南15的方向以 12 海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12 3海里/小时的速度沿直线追击，问巡 逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向。 【解析】设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意： 120,12,312ABCtBCtAC 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 在ABC中， BAC tt sin 12 120sin 312 , 所以 2 1 sinBAC，30BAC 6 分 所以tBCAB128 ，解得 3 2 t， 10 分 所以最少经过 3 2 小时可追到走私船，沿北偏东15的方向航行 12 分 18 （本小题满分 12 分） 为了参加 2010 年第 16 届广州亚运会，我省组织某项运动的两位种子选手进行了阶段性 训练，现分别从他们在训练期间的若干次成绩中随机抽取 8 次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 ()用茎叶图表示这两组数据 ()现要从中选择一人参加广州亚运会，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位选手参 加较为合适？请说明理由 解：()茎叶图如下： ()派甲参加比较合适，理由如下： x甲1 8(70280490289124835)85， x乙1 8(7018049035003502585， s 2 甲1 8(7885) 2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9385)2 (9585)235.5， s 2 乙1 8(7585) 2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2 (9585)241. 因为 x甲 x乙，s 2 甲s 2 乙， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 所以甲的成绩较稳定，派甲参加比较合适 注：本题结论理由不唯一，如：从统计学的角度看，甲获得 85 分以上的(含 85 分)的概率 P13 8，乙获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P2 1 2，所以 P2P1.所以派乙参赛比较合适 ()记“甲选手在一次训练中成绩高于 80 分”为事件 A，P(A)3 4，随机变量 的可能取 值为 0,1,2,3，且 服从 B(3，3 4)，所以 P(k)C k 3(3 4) k(1 4) 3k，k0,1,2,3. 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 1 64 9 64 27 64 27 64 故 E0 1 641 9 642 27 643 27 64 9 4.(或 Enp3 3 4 9 4) 19 （本小题满分 12 分） 已知四棱锥的底面 ABCD 是正方形，底面 ABCD，E 是 SC 上的任意一 点. ()求证：平面 EBD平面 SAC； ()设 SA=4，AB=2，求点 A 到平面 SBD 的距离； ()当的值为多少时，二面角的大小为 120？ 【解析】()SA平面 ABCD，BD平面 ABCD，SABD ABCD 是正方形，ACBD，BD平面 SAC BD平面 EBD，平面 EBD平面 SAC ()设 ACBDF，连接 SF，则 SFBD AB2BD 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 设点 A 到平面 SBD 的距离为 h， SA平面 ABCD， ， ， 点 A 到平面 SBD 的距离为 ()设 SAa，以 A 为原点，AB、AD、AS 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，为计算方 便，不妨设 AB1，则 C(1，1，0)，S(0，0，a)，B(1，0，0)，D(0，1，0) (1，1，a)(1，0，a)，(0，1，a)， 再设平面 SBC，平面 SCD 的法向量分别为 n1(x1，y1，z1)n2(x2，y2，z2) 则 y10从而取 x1a，则 z11. 可取 n1(a，0，1) x20，取 y2a则 z21，可取 n2(0，a，1) 要使二面角 BSCD 的大小为 120，则，从而 a1 即当时，二面角 BSCD 的大小为 120 20 （本小题满分 12 分） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 已知两点 M(2，0)，N(2，0)，平面上动点 P 满足. ()求动点 P 的轨迹 C 的方程； ()如果直线(mR)与曲线 C 交于 A、B 两点，那么在曲线 C 上是否存在 点 D， 使得ABD 是以 AB 为斜边的直角三角形？若存在， 求出 m 的取值范围； 若不存在， 请说明理由. 【解析】本题主要考查向量、直线、抛物线等基础知识及轨迹的求解方法，考查函数与方 程思想、分类与整合思想及运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力 ()设 P(x，y)，由， 得 化简得 y28 x，点 P 的轨迹 C 的方程为 y28 x (II)设直线 xmy40 与曲线 C 交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得 y28 my320， 此方程有两个不等实根：y1，y2， 64 m24320，即 m22 ，y1y28 m，y1 y232 若存在点 D 满足条件，可设 D(，t)， ABD 是以 AB 为斜边的直角三角形， 即 y1 t，y2 t，(y1t)(y2t)640， t28 m t960 此方程有实根，64m2496 0，m2 6， 当或时，存在点 D 使得ABD 是以 AB 为斜边的直角三角形 又 m22，当或时，满足条件的点 D 不存在 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 21 （本题满分 12 分） 已知函数， （e=2.718) （1）求函数的极大值； （2 ）求证：； （3） 对于函数与定义域上的任意实数， 若存在常数， 使得 和都成立，则称直线为函数与的“分界线”设函数 ， 试探究函数与是否存在 “分 界线”？若存在，请加以证明，并求出的值；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）， 令，解得：，令，解得：， 函数在上递增，上递减， （2）由（1）知是函数极大值点,也是最大值点， ， 即，（当且仅当时等号成立） 令得：， 取， 则， ， 叠加得 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （3）设， 则 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增 是函数的极小值点，也是最小值点， =0， 函数与的图象在处有公共点 设与存在 “分界线”且方程为： 令函数， ）由在恒成立， 即在上恒成立， 成立， ，故 ）下面再证明：恒成立 设，则 当时，函数单调递增；当时，函数单 调递减 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 时取得最大值 0，则成立 综上）和）知：且， 故函数与存在分界线为，此时 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，则按所做的第一题记分。 22 （本题满分 10 分）选修 41：平面几何选讲 如图，AB 是半圆