数学 最新3类编 15.2 双曲线 文pdf

韩信点兵( 一) 韩信点兵又称为中国剩余定理, 相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少, 韩信答曰: 每人一列余 人、人一列余人、 人一列余人、 人一列余人刘邦茫然而不知其数我们先考虑下列的问题: 假设兵不满一 万, 每人一列、人一列、 人一列、 人一列都剩人, 则兵有多少? 首先我们先求、 、 之最小公倍数 ( 注: 因为、 、 为两两互质的整数, 故其最小公倍数为这些数的积) , 然后再加, 得 ( 人) 第 十 五 章 圆 锥 曲 线 第二节 双 曲 线 一、选择题 ( 全国新课标文 )等轴双曲线的中心在原点, 焦 点在x轴上, 与抛物线y x的准线交于A、B两点,|A B| , 则C的实轴长为( ) A B C D ( 全国大纲文 )已知F、F为双曲线C:x y 的左、 右焦点, 点P在C上,|P F| |P F|, 则c o s FP F 等于( ) A B C D ( 浙江文)如图, 中心均为原点O的双曲线与椭 圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点若M、 O、N将椭圆长轴 四等分, 则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) ( 第题) A B C D ( 湖南文)已知双曲线C: x a y b 的焦距为 , 点P(,) 在C的渐近线上, 则C的方程为( ) Ax y B x y C x y D x y ( 福建文)已知双曲线x a y 的右焦点为 ( ,) , 则该双曲线的离心率等于( ) A B C D ( 湖南文)设双曲线x a y (a) 的渐近线 方程为xy, 则a的值为( ) A B C D ( 天津文)已知双曲线x a y b ( a,b) 的 最新年高考试题分类解析数学 韩信点兵( 二) 中国有一本数学古书 孙子算经 也有类似的问题: 今有物, 不知其数, 三三数之, 剩二, 五五数之, 剩三, 七七数之, 剩二, 问物 几何? 答曰: 二十三 术曰: 三三数之剩二, 置一百四十, 五五数之剩三, 置六十三, 七七数之剩二, 置三十, 并之, 得二百三十三, 以二百一十减之, 即得凡三三 数之剩一, 则置七十, 五五数之剩一, 则置二十一, 七七数之剩一, 则置十五, 即得 左顶点与抛物线y p x ( p) 的焦点的距离为, 且双曲线的 一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(,) , 则双曲线 的焦距为( ) A B C D ( 全国文)已知F、F为双曲线C:x y 的左、 右焦点, 点P在C上,FP F , 则|P F|P F|等 于 ( ) A B C D ( 全国新课标文)中心在原点, 焦点在x轴上的双 曲线的一条渐近线经过点( ,) , 则它的离心率为( ) AB C D ( 辽宁文)设双曲线的一个焦点为F, 虚轴的一 个端点为B, 如果直线F B与该双曲线的一条渐近线垂直, 那么 此双曲线的离心率为( ) AB C D ( 浙江文 )设O为坐标原点,F、F是双曲线x a y b ( a,b) 的 焦 点, 若 在 双 曲 线 上 存 在 点P, 满 足 FP F ,|O P| a, 则该双曲线的渐近线方程为( ) Ax y B xy Cx yDxy 二、填空题 ( 辽宁文 )已知双曲线x y, 点F 、F为 其两个焦点, 点P为双曲线上一点, 若P FP F, 则|P F| |P F|的值为 ( 江苏)在平面直角坐标系x O y中, 若双曲线x m y m 的离心率为, 则m的值为 ( 天津文 )已知双曲线C: x a y b ( a,b ) 与双曲线C: x y 有相同的渐近线, 且C 的右焦点 为F(,) , 则a ,b ( 江西文 )若双曲线y x m 的离心率e , 则m ( 全国大纲文 )已知F、F分别为双曲线C: x y 的左、 右焦点, 点 AC, 点M的坐标为(,) ,AM 为FA F的平分线,则|A F| ( 北京文 )已知双曲线x y b ( b) 的一 条渐近线的方程为yx, 则b ( 山东文 )已知双曲线x a y b ( a,b) 和椭圆x y 有相同的焦点, 且双曲线的离心率是椭圆离 心率的两倍, 则双曲线的方程为 ( 四川文 )双曲线x y 上一点P 到双曲 线右焦点的距离是, 那么点P到左准线的距离是 ( 江苏)在平面直角坐标系x O y中, 双曲线x y 上一点 M, 点M的横坐标是, 则点M到双曲线右焦点的 距离是 ( 北京文 )已知双曲线x a y b 的离心率为 , 焦点与椭圆x y 的焦点相同, 那么双曲线的焦点坐标 为 ; 渐近线方程为 ( 上海文 )在平面直角坐标系中, 双曲线的 中心在原 点, 它 的 一 个 焦 点 坐 标 为 (,) , e(,) ,e ( ,) 分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点P, 若O P a eb e(a,bR) , 则a,b满足的一个等式是 ( 福建文 )若双曲线x y b ( b)的渐近 线方程为y x, 则b等于 ( 江西文 )点A(x,y) 在双曲线x y 的 右支上, 若点A到右焦点的距离等于x, 则x 三、解答题 ( 上海文 )在平面直角坐标系x O y中, 已知双 曲线C:x y ( ) 设F是C的左焦点,M是C右支上一点, 若|MF| , 求点M的坐标; ( ) 过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线, 求这两组平 行线围成的平行四边形的面积; ( ) 设斜率为k(|k| ) 的直线l交C于P、Q两点, 若l与 圆x y相切, 求证: O PO Q ( 四川文 )如图, 动点M与两定点A(,) , B(,) 构成MA B, 且直线MA、MB的斜率之积为设动点M 的轨迹为C ( ) 求轨迹C的方程; ( ) 设直线yxm(m) 与y轴交于点P, 与轨迹C相交 于点Q、R, 且|P Q|P R|, 求| P R| |P Q|的取值范围 ( 第 题) ( 湖北文 )平面内与两定点A(a,) 、A(a, 第十五章 圆 锥 曲 线 韩信点兵( 三) 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考, 不过根据考证, 著作年代不会在晋朝之后, 以这个考证来说 上面这种问题的解法, 中国人发现得比西方早, 所以这个问题的推广及其解法, 被称为中国剩余定理中国剩余定理 (C h i n e s eR e m a i n d e rT h e o r e m) 在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位 ) (a) 连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹, 加上 A、A两点所成的曲线C可以是圆、 椭圆或双曲线 ( ) 求曲线C的方程, 并讨论C的形状与m值的关系; ( ) 当m时, 对应的曲线为C; 对给定的m(,) (,) , 对应的曲线为C设F、F是C的两个焦点试 问: 在C上, 是否存在点N, 使得FNF的面积S|m|a ? 若存在, 求t a nFNF的值; 若不存在, 请说明理由 ( 全国 文 )已知斜率为的直线l与双曲 线C: x a y b ( a,b) 相交于B、D两点, 且B D的中点为 M(,) ( ) 求C的离心率; ( ) 设C的右顶点为A, 右焦点为F,|D F|B F| , 证 明: 过A、B、D三点的圆与x轴相切 ( 重庆文 )已知以原点O为中心,F(,) 为右 焦点的双曲线C的离心率e ( ) 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程; ( ) 如图, 已知过点M(x,y) 的直线l:xxyy与过 点N(x, y) ( 其中xx) 的直线l:xxyy的交点E 在双曲线C上, 直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H 两点, 求O G OH的值 ( 第 题) C 【 精析】 设双曲线方程为x ya, 将x, 代入 得y a , 于是由 | A B| a , 得a, 所以a,a, 故选C C 【 精析】 由题意可知,a b c 设|P F|x,|P F|x |P F|P F|x |P F| ,|P F| ,|FF| 利用余弦定理, 则c o s FP F( ) ( ) B 【 精析】 设椭圆方程为x a y b ( ab) , 双曲线 方程为x m y n ( m,n) , 则由题意, 得ca b m n , 且a m, 所以 e双 e椭 m n m m n m 故选B A 【 精析】 由题意, 得 c , ba, 则 c, ab 所以a b ( c a) ( a ) , 解得a , b , 所以双曲线的 方程为x y 故选A C 【 精析】 因为a , 所以a, a,ec a 故选C C 【 精析】 双曲线x a y 的渐近线方程为 x a y , 与已知方程比较系数, 得a B 【 精析】 由题意, 得p a, p ,ba, 所以a ,b,c a b , 所以 c , 故选B B 【 精析】 设|P F|r,|P F|r, 则|rr|, |FF| 由余弦定理, 得r r r r(rr) r r, 故 rr故选B D 【 精析】 设双曲线半实轴长、 半虚轴长, 半焦距分别为 a,b,c 由条件, 得b a a b ( c a) c a 故选D D 【 精析】 设F(c,) ,B(,b)渐近线为yb ax, 则由 题意知b a b c (), 即b a c, c aa c 所以e e , 解得e 故选D D 【 精 析】 如 图,FP F,FP F ,|P F| |P F|a,O P a, 所以由余弦定理, 得|P F| a c a cc o sP O F,|P F| a c a c c o sP O F, 则 |P F| | P F| c a , c | P F| | P F| | P F| |P F|, 即|P F| |P F| a c , 从而 a (P F P F ) c a a c , 即 a cab, a b , 则b a , 渐近线方程为xy故选D ( 第 题) 最新年高考试题分类解析数学 没有来的人请举手! ( 一) 从前, 山东省有个大军阀, 在一次会议开始时想点点名, 了解一下哪些人来了, 哪些人没来可 是, 到会的人数比较多, 点名很费事, 于是这个不学无术的军阀就想了一个“ 办法” , 他大声地叫道: “ 没有来的人请举手!” 他 认为没有来的人总是少数, 只要知道哪些人没来, 来的人无需一一点明就明白了到会的人面面相觑, 都感到莫明其妙 【 精析】 由P FP F, 得 |P F| | P F| | FF| c , | |P F| |P F| | a 所以|P F| | P F| | P F| |P F| |P F| |P F|, 所以|P F|P F| 所以( |P F|P F|) | P F| | P F| | P F| |P F| 所以|P F|P F| 故填 【 精析】 由题意, 得m, 所以a m, c mm , 又ec a , 所以m m m , 即(m) , m故 填 【 精析】 由题意, 得b a , 又c a b , 所以a a a , 解得a, b故填, 【 精析】 因为a , b m, 所以cam, 又e c a , 所以c a , 即 m , 解得m 故填 【 精析】 由角平分线的性质, 得| A F| |A F| |MF| |MF| , 所以由|A F|A F|a, 得|A F|, 故填 【 精析】x y b ( b) 的两条渐近线为yb x, 所以b故填 x y 【 精析】 由题意知双曲线的焦点为( , ) , 所以c 又ec a , 所以a,b , 双曲线方程为 x y , 故填x y 【 精析】 显然P在双曲线右支上, 点P到左焦点的 距离为 , 于是由双曲线第二定义, 得 d ec a , 解得d 故填 【 精析】 双曲线上一点M的横坐标为, 点M的纵坐标为 又 双曲线右焦点为F(,) , |MF|故填 (,) xy 【 精析】 由题意, 得c , c, ec a ,a, 所以b c a , 从而双曲线的渐近线方程 为yb ax x故填(,) ,xy a b 【 精析】 由已知, 得O E e(,) ,O E e ( ,) , 设P(x, y) ,O P a e b e, 得 x(ab) , yab 将x y 代入 ( ab) (ab) , 即 a b 【 精析】 由 b , 得b, 故填 【 精 析】 如 图, 设 点A到 右 准 线 距 离 为|A B|, 则 A Bx , 于是由e x x , 得x ( 第 题) () 双曲线C: x y , 左焦点F , 设M(x, y) , 则|MF| x y x 由点M是右支上一点, 知x , 所以|MF| x , 得x 所以M , ( ) 左顶点A , , 渐近线方程为y x 过点A与 渐 近 线y x平 行 的 直 线 方 程 为y x , 即y x 解方程组 y x, y x, 得 x , y 故所求平行四边形的面积为S|O A| |y| ( ) 设直线P Q的方程是yk xb, 因直线P Q与已知圆相 切, 故 |b| k , 即b k () 由 yk xb, x y, 得(k ) x k b xb 设P(x, y) ,Q(x,y) , 则 xx k b k , xx b k 又yy(k xb) (k xb) , 所以O P O Qx xyy (k ) xxk b(xx)b ( k ) ( b ) k k b k b b k k 由() 知, O P O Q, 所以O PO Q () 设点M的坐标为(x,y) , 当x时, 直线MA的 斜率不存在; 当x时, 直线MB的斜率不存在 第十五章 圆 锥 曲 线 没有来的人请举手! ( 二) 在数学中, 集合是一个重要的基本概念今天会议应到的人就构成一个集合其中实到的人是 应到的人的一部分我们就把应到的人叫做“ 全集” , 实到的人叫做它的“ 子集”未到的人也是应到的人的一部分, 所以它也 是一个子集实到的人这个子集与未到的人这个子集之和正好是应到的人这个全集, 我们把这两个子集叫做互补的集合 这个军阀为了了解“ 实到的人” 这个子集, 转而去了解这个子集的补集 未到的人的集合这个方法是不错的不过由于 他脱离了实际, 结果闹了个大笑话 于是x且x此时,MA的斜率为 y x ,MB的斜率 为 y x 由题意, 有 y x y x 化简, 可得x y 故动点M的轨迹C的方程为x y ( x 且x ) ( ) 由 yxm, x y , 消去y, 可得x m xm () 对于方程() , 其判别式( m) ( m ) m , 而当或 为方程() 的根时,m的值为 或 结合题设(m ) 可知, m , 且m 设点Q、R的坐标分别为(xQ, yQ) , (xR,yR) , 则xQ,xR为方程 () 的两根 因为|P Q| |P R|, 所以|xQ| |xR|,xQm m , xR m m 所以| P R| |P Q| xR xQ m m m 此时 m , 且 m 所以 m , 且 m 所以 | P R| |P Q| xR xQ , 且 |P R| |P Q| xR xQ 综上所述, |P R| |P Q| 的取值范围是, () , () () 设动点为M, 其坐标为(x,y) , 当xa时, 由条件可得kMA k MA y xa y xa y x a m, 即m x y m a( xa) 又A(a,) 、A(a,) 的坐标满足m x y m a, 故依题意, 曲线C的方程为m x y m a 当m时, 曲线C的方程为x a y m a , C是焦点在 y轴上的椭圆; 当m时, 曲线C的方程为xy a, C是圆心在原 点的圆; 当m时, 曲线C的方程为x a y m a , C是焦点 在x轴上的椭圆; 当m时, 曲线C的方程为x a y m a , C是焦点在x轴 上的双曲线 ( ) 由() 知, 当m时,C的方程为x ya; 当m(,)(,) 时, C的两个焦点分别为F a m, (),Fa m, () 对于给定的m(,)(,) ,C上存在点N(x, y) (y) 使得S|m|a 的充要条件是 x y a , y, a m|y|m|a 由, 得|y|a, 由, 得|y| |m|a m 当 |m|a m a, 即 m或m 时, 存 在点N, 使S|m|a ; 当 |m|a m a, 即m 或m 时, 不存在 满足条件的点N 当m , , 时, 由N F ( a mx,y) , N F ( a mx,y) , 可得NF NF x (m)a y m a 令|NF |r,|NF |r,FNF, 则由NF NF rrc o sm a , 可得r rm a c o s , 从而S r rs i nm a s i n c o s m a t a n, 于是由S |m|a , 可得 m a t a n|m|a , t a n | m| m 综上可得, 当m , 时, 在C 上存在点N, 使得S |m|a , 且t a n F NF; 当m , 时, 在C 上存在点N, 使得S|m|a , 且t a n FNF; 当m , , , 在C 上不存在满 足条件的点N () 由题意知,l的方程为yx 代入C的方程, 并化简, 得( b a ) x a x a a b 设B(x, y) ,D(x,y) , 则xx a b a, xx a a b b a , 由M(,) 为B D的中点, 知x x 故 a b a, 即b a , 故c a b a 所以C的离心率ec a ( ) 由知C的方程为x y a , A(a,) ,F(a,) ,xx,xx a , 最新年高考试题分类解析数学 没有来的人请举手! ( 三) “ 补集” 的思想在我们生活中是常用的现在是什么时间了?点差分这里不说点 分, 因为点差分比较简单明了我们在电视和小说中也常看到, 公安人员侦破案子时,