数学终极压轴 理陕西卷

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011KS5U2011 年高考终极压轴年高考终极压轴陕西卷陕西卷 数学（理科） 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的 空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域 内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 锥体的体积公式: 1 3 VSh.其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 一一、选择题选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1i是虚数单位，复数1 i i ( ) A1 i B1 i C1 i Di 2若全集U ，集合A 2 |430 x xx ，B 3 |log (2)1xx ，则 () U CABI( ) A x|1x或2x B x|1x或2x C x|1x或2x D x|1x或2x 3.在ABC中，O为边BC中线AM上的一点，若4AM，则)(OCOBAO的 （ ） A.最大值为 8 B.最大值为 4 C.最小值4 D.最小值为8 4如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误 的为（ ） AACBD BAC截面PQMN CACBD C异面直线PM与BD所成的角为45o 5.在二项式 1 (1) 2 n x的展开式中，偶数项二项式系数为 32，则展开式的中间项为（ ） A. 5 2 B. 5 2 C. 3 5 2 x D. 3 5 2 x 6、2.“a1”是“直线a 2xy60 与直线 4x(a3)y90 互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 7.从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期 五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有（ ） A.120 种 B.96 种 C.60 种 D.48 种 8.函数 x xa y x (01)a的图象的大致形状是 （ ） 9已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 3 10 0 (12 )Sx dx ， 20 17S，则 30 S为（ ） A15 B20 C25 D30 10. 点 P （-3,1） 在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左准线上.过点 P 且方向为a a=(2,-5)的光线， 经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A. 3 3 B. 1 3 C. 2 2 D. 1 2 二二、填空题填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共本大题共 5 5 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2525 分分） 11.若 1 sin(),(,0), 22 则tan = . 12.按下图所示的程序框图运算：若输出k2，则输入x的取值范围是 . 13一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直 角三角形，则该几何体的外接球的表面积 为 . x x y 1 1 B. x y 1 1 A. x y 1 1 C. y 1 1 D. O O O O 主视图 左视图 俯视图 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 B O D A C 14.设x、y满足约束条件 20 440 0 0 xy xy x y ，若目标函数zaxby(0,0)ab的最大值 为 6，则 3 12 log() ab 的最小值为 . 15( (考生注意考生注意：请在下列三题中任选一题作答请在下列三题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题评分则按所做的第一题评分.) .) A. （不等式选做题）若不等式|ax+2|6 的解集为（1，2） ，则实数a 等 于 . B.（几何证明选讲）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知2 3AD ， 6AC ，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为 C.（坐标系与参数方程选做题）曲线 C 的极坐标方程2cos，直角坐标系中 的点 M 的坐标为（0，2） ，P 为曲线 C 上任意一点，则MP的最小值是 . 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7575 分分, , 解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤）. . 16. （本小题满分 12 分）在ABC中，, ,a b c分别是角, ,A B C的对边，向量( ,2)mbac u r ， (cos ,cos)nBC r ，且/mn u rr . （）求角B的大小； （）设( )cos()sin(0) 2 B f xxx，且( )f x的最小正周期为，求( )f x在 区间0, 2 上的最大值和最小值. 17(本题满分 12 分)设数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，当2n时， 1nn atSn ()若2t，求 32,a a及 2011 S； ()求 n a的通项公式 18.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中 ,BAAD CDAD，2,CDADAB PA底面ABCD，E是PC的中点 （1）求证：BE/平面PAD； （2）若BE 平面PCD， 求异面直线PD与BC所成角的余弦值； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 求二面角EBDC的余弦值 19 （本小题共 12 分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的 若干次预赛成绩中随机抽取 5 次，绘制成茎叶图如下 .现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？ 请说明理由； .若将频率视为概率，对乙同学在今后的 3 次数学竞赛成绩进行预测，记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为X，求X的分布列及数学期望EX. 20 （本小题共 13 分）已知椭圆 22 222 22 1(0,) xy abcabc ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，若以 2 F为圆心，bc为半径作圆 2 F，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且 |PT的最小值不小于 3 () 2 ac （1）证明：椭圆上的点到点 2 F的最短距离为ac； （2）求椭圆的离心率e的取值范围； （3）设椭圆的短半轴长为1，圆 2 F与x轴的右交点 为Q， 过点Q作斜率为(0)k k 的直线l与椭圆相交 于AB、两点，若OAOB，求直线l被圆 2 F截得的弦长s的最大值 21. （本小题共 14 分）已知函数 lnf xaxxx的图象在点ex （e为自然对数的底数） 处的切线斜率为 3 （1）求实数a的值； （2）若kZ，且 1 f x k x 对任意1x 恒成立，求k的最大值； （3）当4nm时，证明 mn nm mnnm 甲 乙 9 0 8 1 2 7 8 7 5 3 0 5 F2 T O P y x 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011KS5U2011 年高考终极压轴陕西卷年高考终极压轴陕西卷 数学数学（理科理科）参考答案参考答案 一一、选择题选择题：本大题每小题本大题每小题 5 5 分分，满分满分 5 50 0 分分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D A C C A C D A A 二二、填空题填空题：本大题每小题本大题每小题 5 5 分分，满分满分 2525 分分 11. 3 3 12. (28,57 13. 14. 2 15. A. -4 B. 5 C. 51 三三、解答题解答题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤（本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7575 分分）. . 1 16 6.(.(本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 解: （）由/mn u rr ，得cos(2)cos,bCacB， 2 分 coscos2 cosbCcBaB由正弦定理， 得sinossincos2sincosBcCCBAB 4 分 1 sin()2 incos ,cos. 23 BCsABBB 6 分 （）由题知 33 ( )cos()sincossin3sin() 6226 f xxxxxx ， 由已知得 2 ，2，( )3sin(2) 6 f xx 9 分 当0,2x时， 71 2,sin(2),1 66662 xx 10 分 所以，当 6 x 时，( )f x的最大值为3；当 2 x 时，( )f x的最大值为 3 2 12 分 17.17.解解： （）在nSa nn 1 2中取2n得，22 12 aa，0 2 a. -2 分 由，nSa nn 1 2得. 12 1 nSa nn 相减可得12 1 nnn aaa，即当2n 时 1 1 nn aa. 可见，1 201153 aaa. 3 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 . 0 201042 aaa .1006 2011 S 注注：只写结果扣只写结果扣 1 1 分分. . （）由，ntSa nn 1 得. 1 1 ntSa nn 相减可得1 1 nnn taaa，即当2n时 1)1 ( 1 nn ata. 其中，.2 2 ta 若0t，则由1 1 nn aa知第二项之后是公差为1的等差数列，但2, 1 21 aa， 故 n a是等差数列，. nan 若1t，则. 1 n a 若0t，1t，则由1)1 ( 1 nn ata可得) 1 )(1 ( 1 1 t at t a nn 于是当2n时， t an 1 是一个公比为t1的等比数列 ,)1)( 1 ( 1 2 2 n n t t a t a即 t t t ta n n 1 )1)( 1 2( 2 （2n）. 1n也适合上式，故 n a的通项公式为 t t t a n n 1 )1 ( 1 . 注注：未讨论特殊情形的扣未讨论特殊情形的扣 1 12 2 分分. . 1818、解解：设,ABa PAb，建立如图的空间坐标系，(0,0,0),( ,0,0)AB a，(0,0, )Pb, (2 ,2 ,0),(0,2 ,0)CaaDa，( , , ) 2 b E a a. （1）(0, , ) 2 b BEa uuu r ，(0,2 ,0),(0,0, )ADaAPb uuu ruuu r ， 所以 11 22 BEADAP uuu ruuu ruuu r ， BE 平面PAD，/ /BE平面PAD. （2）BE Q平面PCD，BEPC，即0BE PC uuu r uuu r (2 ,2 ,)PCaab uuu r ， 2 2 20 2 b BE PCa uuu r uuu r ，即2ba. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 )0 ,2 ,(),2,2 , 0(aaBCaaPD， 2 410 cos, 52 25 a PD BC aa uuu r uuu r ， 所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为 10 5 ； 平面BDE和平面BDC中，(0, , ),(,2 ,0)BEa a BDaa uuu ruuu r ( ,2 ,0)BCaa uuu r ， 所以平面BDE的一个法向量为 1 (2,1, 1)n ur ；平面BDC的一个法向量为 2 (0,0,1)n uu r ； 12 1 cos, 6 n n u r u u r ，所以二面角EBDC的余弦值为 6 6 1919解解：.本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可 得分。 由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为： 甲：82 81 79 88 80 乙：85 77 83 80 85 （1）派乙参赛比较合适，理由如下： 甲的平均分82x 甲 ，乙的平均分82x 乙 ， 甲乙平均分相同； 又甲的标准差的平方（即方差） 2 10S 甲 ，乙的标准差的平方（即方差） 2 9.6S 乙 ， 22 SS 乙甲 _5 分 甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 派乙去比较合适； （2） （参照理由 1 给分） 派乙去比较合适，理由如下： 从统计学的角度看，甲获得85分以上（含 85 分）的概率 1 1 5 P 乙获得85分以上（含 85 分）的概率 2 2 5 P ， 甲的平均分82x 甲 ，乙的平均分82x 乙 ，平均分相同； 派乙去比较合适. 若学生或从得82分以上(含 82 分)去分析： 甲获得82分以上（含 82 分）的概率 1 2 5 P 乙获得82分以上（含 82 分）的概率 2 3 5 P ， 甲的平均分82x 甲 ，乙的平均分82x 乙 ，平均分相同； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 派乙去比较合适.（同样给此问的分） .记乙同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分为事件A， 3 ( ) 5 P A ， X可能取值为：0，1，2，3，其分布列为： X 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 9 5 EX 2020、解解： （1）设椭圆上任一点Q的坐标为 00 (,)xy，Q点到右准线的距离为 2 0 a dx c ，则 由椭圆的第二定义知： 2 |QFc da ， 20 | c QFax a ，又 0 axa ，当 0 xa时， 2 min |QFac； （2）依题意设切线长 22 2 |()PTPFbc 当且仅当 2 |PF取得最小值时|PT取得最小值， 22 3 ()()() 2 acbcac， 1 0 2 bc ac ，从而解得 32 52 e，故离心率e的取值范围是 32 52 e； （3）依题意Q点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)yk x， 联立方程组 2 2 2 (1) 1 yk x x y a 得 22222222 (1)20a kxa k xa ka，设 1122 (,), (,)A x yB xy，则有 22 12 22 2 1 a k xx a k ， 222 12 22 1 a ka x x a k ，代入直线方程得 2 121212 ()1y ykx xxx 22 22 (1) 1 ka a k ， 22 1212 22 1 ka xxyy a k ，又OAOB， 22 1212 0,0,OA OBx xy yka uuu r uuu r ， ka，直线的方程为0axya，圆心 2 F( ,0)c到直线l的距离 2 | 1 aca d a ，由图象 F2 T O P y x 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 可知 22 22 2 22|1|21214 222 1 9 12 1 212 21 dccccc s aac a c c ， Q 32 52 e， 35 1,213 42 cc ， 2 41 (0, 41 s，所以 max 2 41 41 s 21.21.（1 1）解解：因为 lnf xaxxx，所以 ln1fxax1 分 因为函数 lnf xaxxx的图像在点ex 处的切线斜率为 3， 所以 e3 f ，即lne 13a 所以1a 2 分 （2 2）解解：由（1）知， lnfxxxx， 所 以 1 f x k x 对 任 意1x 恒 成 立 ， 即 ln 1 xxx k x 对 任 意1x 恒 成 立3 分 令 ln 1 xxx g x x ， 则 2 ln2 1 xx gx x ， 4 分 令 ln2h xxx1x ， 则 11 10 x h x xx ， 所以函数 h x在1,上单调递增5 分 因为 31 ln30,422ln20hh ， 所以方程 0h x 在1,上存在唯一实根 0 x，且满足 0 3