12章 代数系统习题补充

1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。A=1,2。B=b|b是素数。C=c|c是偶数。D=2n| nN 。解：因为224A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。因为2、3B，236B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。a,bC，a、b是偶数，ab也是偶数，即abC且ab的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。(4) a,bD, $n,mN，使a2n，b2m，ab=2n2m=2n+m, n+mN，所以abD且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。2.集合A=1,2,3,4，*和是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=abb，运算定义为ab=max(a, b)，试写出*和的运算表。解：*和的运算表如表6.12和表6.13所示。 表6.12 表6.1312341234100001123421234222343246833334436912444443.和是代数系统，其中N7=0,1,2,3,4,5,6，运算7是模7加法，运算7是模7乘法。试写出7和7的运算表。解：7和7的运算表如表6.14和表6.15所示。 表6.147012345600123456112345602234560133456012445601235560123466012345 表6.1570123456000000001012345620246135303625144041526350531642606543214.设代数系统，其中A=a,b,c，是A上的二元运算，分别由下列表给出。试分别讨论交换性、幂等性、单位元和逆元。表6.3表6.4表6.5表6.6abcabcabcabcaabcaabcaabcaabcbbcabbacbabcbabcccabcccccabccccb解：*的交换性、幂等性、单位元和逆元如表6.16所示。 表6.16交换律幂等律单位元逆元表6.3有无aa 1= a, b 1= c, c 1= b 表6.4有无aa 1= a, b 1= b表6.5无有无无表6.6无无无无5.写出代数系统的幺元和零元，各元素的逆元。解：代数系统的运算表如表6.14所示。由表知幺元为0，无零元，0逆元是0，1和6，2和5，3和4互为逆元。6.写出代数系统的幺元和零元，各元素的逆元。解：代数系统的运算表如表6.15所示，由表知幺元为1，零元为0，0无逆元，1的逆元为1，6的逆元为6，2和4，3和5互为逆元。7.设是代数系统，A是有限集，那么当运算在A上是封闭的时，其运算表有何特征?当运算是可交换运算时，其运算表有何特征?解：代数系统，A是有限集。当运算在A上是封闭的时，其运算表中各元素的运算结果都是集合A中的元素。当运算是可交换运算时，运算表关于主对角线是对称的。8.设A=1,3,5,7,9，是A上的二元运算，其定义分别为：ab=min(a,b) ab=aab=ab+a问：哪些运算满足幂等律？解： 满足幂等律。因为a A, aa= min(a,a)=a。满足幂等律。因为a A, aa=a。不满足幂等律。因为11111219.写出的所有幂等元。解：因为0100=0，1101=1，5105=5，6106=6，所以，0,1,5,6为幂等元。10.设A=1,2,3,4，A上的二元运算定义为取最大值运算，即a,bA，有表6.17123411234222343333444444ab=max(a,b)证明是可结合的运算，并指出代数系统的幺元、零元和各元素的逆元。解：作运算表如表6.17所示，由表知，幺元为1，零元为4，1的逆元为1，其余元素无逆元。(ab)c= max(max(a,b),c) a(bc)= max(a,max(b,c) 以上两式都是取a，b，c三者中得最大者，所以abc 和acb时，(ab)c=aa(bc)bac 和bca时，(ab)c=ba(bc)cab和cba时，(ab)c=ca(bc)即a,b,cA，(ab)c= a(bc)，运算满足结合律。11.设是代数系统，的定义分别为：ab=|a+b|， ab=ab， ab=a+b1， ab=a+2b， ab=2ab。问：哪些运算在Z上是封闭的？哪些运算是可交换的？哪些运算是可结合的？解：Z为整数集合，因为整数加法运算在Z上封闭，绝对值运算在Z上也封闭。a,bZ，ab=|a+b|=|b+a|=ba当a1，b2，c-3时，(ab)c=|a+b|+c|=0，a(bc)=|a+|b+c|=2，(ab)ca(bc)。所以，运算在Z上封闭，可交换，但不可结合。因为当b0时，ab= ab不一定是整数，例如a2，b-1，ab=2-1Z，a,bZ，ab=ab， ba=ba，ab不一定等于ba，例如a2，b1时，ab=ab=2，ba=ba=1。abba。当a=2，b=1，c=2，(ab)c=(ab)c=(21)2=22=4，a(bc)=a(bc)=2(12)=2，(ab)ca(bc)。所以运算在Z上不封闭，不可交换，不可结合。因为整数加法和减法运算在Z上封闭，a,bZ，ab=ab-1= ba-1= baa,b,cZ，(ab)c=(ab-1)c-1=abc-2=a(bc-1)-1。所以，运算在Z上封闭，可交换，可结合。因为整数加法和乘法运算在Z上封闭。a,bZ，ab=a2b，ba=b2a。 ab不一定等于ba，如a1，b2时。ab=a2b=5，ba=b2a=4，abba。a,b,cZ，(ab)c=(a2b)2c，a(bc)=a2(b2c)=a2b4c，当a0，b0，c1时，(ab)c=2，a(bc)=4，(ab)ca(bc)。所以，运算在Z上封闭，不可交换，也不可结合。因为整数乘法运算在Z上封闭，a,bZ，ab=2ab=2ba=baa,b,cZ，(ab)c=2(2ab)c=4abc=2a2bc=2a(bc)=a(bc)。所以，运算在Z上封闭，可交换，也可结合。12.在代数系统中，Z是整数集合，运算定义为ab=abab，证明运算在Z上是封闭的，是可交换的和可结合的，并指出其幺元。证明：因为整数加法和乘法在整数集合Z上封闭，所以，运算在Z上是封闭的。因为ab=abab=baba=ba，所以，运算在Z上是可交换的。因为a0=a0a0=a=0a0a=0a，即0为运算的幺元。13.写出的幺元和各元素的逆元。解：iN5，i50=i0=i=0i=05i 即0为5的幺元。当ij=ji=0时，i与j互为逆元，即1和4，2和3互为逆元，0的逆元为0。14.写出的幺元和各元素的逆元(如果有逆元)。解：iN5，i51=i =15 i， 所以，1为5的幺元。表6.18*abcaabcbbbbccbc2533521，4541，所以， 0无逆元，1和4的逆元为自身，2和3互为逆元。15.请构造一个含幺元的代数系统，且除幺元外，其它元素都没有逆元。解：令A=a,b,c，是A上的二元运算，的运算表如表6.18所示。根据运算表，a为幺元，a的逆元为a，b和c无逆元。16. 是代数系统，证明k对于k是可分配的。解： 根据k和k的定义，一方面，因为a(bck)=a(bc)ak，ak mod k= 0，所以a(bck) mod k= a(b+c) mod k，故ak(bk c)= a(bk c) mod k= =a(bc) mod k另一方面，当abk时，ak b也可以看成是ab除以k，商为0的余数，则akb=ab mod k (ab除以k的余数)，于是对于a,b,cNk, 可设abek+m，acfk+n，e,f,m,n为自然数，0m,nk。则ak b =ab mod k=m，ak c= ac mod k=n。当mnk时，a(b+c) mod k=(ab mod k)+ (ac mod k)= mn当mnk时，a(b+c) mod k=(ab mod k)+ (ac mod k)k = mnk将以上两式合并成一个式子：a(bc) mod k=(ab mod k