数学理及评分标准

数学参考答案及评分标准（第 1 页 共 5 页） 2017 年福州市高中毕业班质量检测 理科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应 给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （1）D （2）B （3）C （4）C （5）A （6）C （7）A （8）D （9）D （10）A （11）C （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （13）3 （14）36 （15）80 m （16）2 三、解答题： 本大题共 6 小题， 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换及基本不等式等 基础知识， 考查运算求解能力， 考查化归与转化思想、 函数与方程思想等 满分 12 分 【解析】 （）tan3coscosccaBbA， sintan3 sincossincosCCABBA， 2 分 sintan3sin3sinCCABC， 4 分 0C，sin0C ， tan3C ，60C 6 分 （）2 3c ，60C ， 由余弦定理 222 2coscababC得： 22 122abababab 9 分 12ab， 1 =sin3 3 2 ABC SabC 11 分 当且仅当2 3ab时，ABC面积取最大值3 3 12 分 (18) 本小题主要考查空间直线与直线、 直线与平面的位置关系及二面角等基础知识， 考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分 【解析】 （）连接BD交AC于N，连接MN， 依题意知/ABCD，ABNCDN， 1 分 2 BNBA NDCD ， 1 2 PMMB， 2 BNBM NDMP ，在BPD中，/MNPD， 3 分 又PDMAC平面，MNMAC平面. /PDMAC平面 5 分 数学参考答案及评分标准（第 2 页 共 5 页） （ ） 平 面PAD 平 面ABCD，PADABCDAD平面平面，PAAD， PAPAD平面，PAABCD平面，又ADAB，从而,PA AD AB两两垂直， 以A为原点，分别以,AD AB AP的方向为, ,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 所示依题意12APADAB，又 1 2 PMMB， 2 2 0,0,00,2,00,0,101,1,0 3 3 ABPMC ， ， 7 分 2 2 0 01 ,0= 1,1,0 3 3 APAMAC ， ， ， PAABCD平面， 1 0,0,1nAP为平面BAC的一个法向量 8 分 设 2 , ,nx y z为平面MAC的法向量， 则 2 2 0, 0, nAM nAC 22 0, 33 0, yz xy 令1,1,1xyz 则， 2 1, 1,1n 为平面MAC的一个法向量， 10 分 12 12 12 13 cos, 313 nn n n nn ， 二面角MACB的余弦值为 3 3 12 分 (19) 本小题主要考查随机抽样方法、 随机变量分布列和数学期望等基础知识， 考查运算求解 能力、 数据处理能力、 应用意识， 考查必然与或然思想、化归与转化思想满分 12 分 【解析】 （）抽出的前7人的后三位考号分别为:310,503,315,571,210,142,188. 4 分 （）的可能取值为0,1,2,3. 5 分 0P 3 4 3 7 4 35 C C ,1P 21 43 3 7 18 35 C C C , 2P 12 43 3 7 12 35 C C C , 3P 3 3 3 7 1 35 C C . 9 分 故随机变量的概率分布列为： 10 分 所以 418121 0123 35353535 E 9 7 . 12 分 (20) 本小题主要考查直线与圆、直线与抛物线位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考 查化归与转化思想满分 12 分 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 数学参考答案及评分标准（第 3 页 共 5 页） 【解析】 ()设,P x y为曲线C上任意一点, 因为曲线C上的点,P x y到点0,1F的距离比它到直线3y 的距离小2， 所以点P到点F的距离等于它到直线1y 的距离， 2 分 所以曲线C是以F为焦点,直线1y 为准线的抛物线，其方程为 2 4xy 4 分 () （ ） 依 题 意 直 线l的 方 程 为1ykx， 代 入 2 4xy得 2 440 xkx， 2 ( 4 )160k 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 1212 4 ,4.xxk xx 5 分 因为BFBA,即 1 221212 2 1 (1)(,),1 x xyxxyy x ， 22 1212 1221 ()161 212 41 xxxxk x xxx ，即 2 11 421 1 1 k ； 7 分 因为 1 2 2 3 ，,所以 11 1 1 2 ，,又函数 1 ( )f xx x 在 1 ,1 2 单调递减, 所以 2 5 422 2 k ，, 22 . 44 k 8 分 （）因为 2 4xy，所以 2 4 x y ， 2 x y 则切线PA方程为 2 11 1 () 24 xx yxx PB方程为 2 22 2 () 24 xx yxx 得 22 1212 244 xxxx x ， 12 1 ()2 2 xxxk， 将代入得1y ，所以2 , 1Pk 10 分 P到直线AB的距离 2 2 2 |22| 2 1 1 k dk k 1 | 2 AMP SAMd ， 1 | 2 BNP SBNd ， 2 1 | | 4 AMPBNP SSAMBNd 因为 12 | | 1,| | 1,AMAFyBNBFy 所以 22 12 12 | |1 16 xx AMBNy y 2 2 1 4 AMPBNP d SSk ， 当且仅当0k 时, AMPBNP SS 取最小值1 12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、 不等式等基础知识， 考查推理论证能力、 运算求解能力、 数学参考答案及评分标准（第 4 页 共 5 页） 创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想 等满分 12 分 【解析】 （） x fxea， 1 分 f x在0 x 处的极小值为2， 00, 02. f f 即 10, 12. a b 3 分 1, 1. a b 4 分 （）( )( )+ln1ln1 x g xf xxeaxbx 1 ( ) 1 x g xea x ， 5 分 设 1 1 x h xea x ，则 2 1 1 x h xe x ， 当0 x时， 2 1 1,1 1 x e x ， 6 分 2 1 0 1 x h xe x ， 1 1 x h xea x 在0,上为增函数 7 分 02h xha，即 1 ( )2 1 x g xeaa x 8 分 当2a时，( )0g x，( )ln1 x g xeaxbx在0,上为增函数， 当0 x时， 01g xgb ，符合题意； 9 分 当2a 时，由 1 1 x h xea x 在0,上为增函数， 且 020ha， ln 11 lne0 ln1ln1 a haa aa ， 则存在 0 (0,ln )xa，使得 0 ()0h x， 10 分 于是( )g x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (,)x 上单调递增，则有 0 ()(0)1g xgb ， 此时( )1g xb不恒成立，不符合题意 11 分 综上可得实数a的取值范围为(,2 12 分 (22) 本小题考查极坐标方程和参数方程等基础知识， 考查运算求解能力， 考查数形结合思想、 化归与转化思想等满分 10 分 【解析】 （）将曲线C的极坐标方程 2222 cos3sin12化为普通方程为 22 1 124 xy ，则其左焦点为 2 2,0，则2 2m ， 2 分 将直线l的参数方程 2 , 2 2 2 xmt yt 与曲线C的方程 22 1 124 xy 联立， 化简可得 2 220tt， 4 分 数学参考答案及评分标准（第 5 页 共 5 页） 则 1 2 | | | 2FAFBt t. 5 分 （）由曲线C的方程 22 1 124 xy ，可设曲线C上的任意 一点P的坐标为 2 3cos ,2sin， 7 分 则以P为顶点的内接矩形周长为 42 3cos2sin16sin0 32 ， 9 分 因此该内接矩形周长的最大值为 16 10 分 (23) 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、 不等式的证明等基础知识， 考查运算求解能力、 推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分