数学一轮总第十七章坐标系与参数方程训练检测PDF理新人教B

年高考年模拟 版（教师用书） 第十七章 坐标系与参数方程 对应学生用书起始页码 考点一 坐标系与极坐标 （ 安徽， 分）以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的 正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单 位已知直线 的参数方程是 ， （ 为参数），圆 的极坐 标方程是 ，则直线 被圆 截得的弦长为（ ） 答案 由 ， 消去 得 ， ： ， ： ， 即（） ， （，）， 点 到直线 的距离 ， 所求弦长 故选 （ 安徽， 分）在极坐标系中，圆 的垂直于极 轴的两条切线方程分别为（ ） （）和 （）和 （）和 （）和 答案 在直角坐标系中，圆的方程为 ，即（ ） 从而垂直于 轴的两条切线方程分别为， ， 即 （）和 （ 北京， 分）在极坐标系中，直线 与圆 交于 ， 两点，则 答案 解析 直线与圆的直角坐标方程分别为 和 ，则该圆的圆心坐标为（，），半径 ，圆心（，）到直 线的距离 ，所以 为该圆的直径，所以 思路分析 将直线与圆的极坐标方程分别化为直角坐标方 程后，计算圆心到直线的距离可得直线经过圆心，从而可得 即为直径 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及直 线与圆的位置关系，属中等难度题 （ 北京， 分） 在极坐标系中，点 ， ()到直线 （ ） 的距离为 答案 解析 由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点 ， ()对应的直角坐标为（， ），直线（ ） 对应的直角坐标方程为 ，由点到直线的距离公式可 得，所求距离为 （ ） （ 重 庆， ， 分 ） 已 知 直 线 的 参 数 方 程 为 ， （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极 轴建 立 极 坐 标 系， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ， ()，则直 线 与 曲 线 的 交 点 的极 坐 标 为 答案 （，） 解析 直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程 为 （），故直线 与曲线 的交点为（，），对 应极坐标为（，） （ 广东， 分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线 的极 坐 标 方 程 为 () ， 点 的 极 坐 标 为 ， ()，则点 到直线 的距离为 答案 解析 将直线 的极坐标方程 () 化为直角 坐标方程为 由 ， ()得 点的直角坐标为（，），从而点 到直线 的距离 （） （ 广东， 分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标 系中，曲线 和 的方程分别为 和 以 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，则曲线 和 交点的直角坐标为 答案 （，） 解析 由 得 ，其直角坐标方 程为 ， 的直角坐标方程为 ，由 ， 得 和 的交点为（，） 第十七章 坐标系与参数方程 （ 重 庆， ， 分 ） 已 知 直 线 的 参 数 方 程 为 ， （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （ ， ）， 则直 线 与 曲 线 的 公 共点 的 极 径 答案 解析 直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程 为 ，故直线 与曲线 的交点坐标为（，）故该点的极 径 （ 陕西， 分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标 系中，点 ， ()到直线 () 的距离是 答案 解析 由 () ，得 ， 直线的直角坐标方程为 ， 又点 ， ()的直角坐标为（ ，）， 点到直线的距离 () （ 天津， 分）已知圆的极坐标方程为 ，圆心 为 ，点 的极坐标为 ， ()，则 答案 解析 由 得 ，即 ，即（） ， 圆心 （，），又由点 的极坐标为 ， ()可得点 的直角坐标为（， ）， （）（ ） （ 北京， 分）在极坐标系中，点 ， ()到直线 的距离等于 答案 解析 由极坐标方程与直角坐标方程的互化关系可知，在 极坐标系中，点 ， ()对应的直角坐标为（ ，），直线 对应的直角坐标方程为 ，所以点到直线的距离 为 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考 查学生对问题的分析和转化能力，熟记极坐标方程与直角 坐标方程的互化公式是求解的关键 （ 江苏， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在平面 直 角 坐标 系 中， 已 知 直 线 的 参 数 方 程 为 ， （ 为参数），椭圆 的参数方程为 ， （ 为参数）设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长 解析 椭圆 的普通方程为 将直线 的参数方程 ， 代入 ，得 () ，即 ，解得 ， 所以 本小题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方 程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力 （ 课标全国， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， （ 为参数）以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极 坐标系，曲线 的极坐标方程为 () （）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （）设点 在 上，点 在 上，求的最小值及此时 的直角坐标 解析 （）的普通方程为 的直角坐标方程为 （ 分） （）由题意，可设点 的直角坐标为（ ， ）因为 是直线，所以的最小值即为 到 的距离 （）的最小 值，（） () （ 分） 当且仅当 （）时，（）取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 ， () （ 分） 方法总结 利用圆的参数方程表示出圆上的动点，从而利用 三角函数求其最值，这样可以极大简化运算过程 本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程 的互化关系以及参数方程的应用考查考生对基础知识和基 本技能的应用能力正确利用曲线的参数方程是求解第（） 问的关键 （ 湖南，（）， 分）选修 ：坐标系与参数方程 已知直线 ： ， （ 为参数）以坐标原点为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （）设点 的直角坐标为（， ），直线 与曲线 的交点为 ，求的值 解析 （） 等价于 将 ， 代入即得曲线 的直角坐标方程为 年高考年模拟 版（教师用书） （）将 ， 代入，得 设这个方程的 两个实根分别为 ，则由参数 的几何意义即知， （ 辽宁， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极 坐标系 圆 ，直线 的极坐标方程分别为 ， () （）求 与 交点的极坐标； （）设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点已知直 线 的参数方程为 ， （ 为参数），求 ， 的值 解析 （）圆 的直角坐标方程为 （） ， 直线 的直角坐标方程为 解 （） ， 得 ， ， ， 所以 与 交点的极坐标为 ， ()， ， () （ 分） 注：极坐标系下点的表示不唯一 （）由（）可得， 点与 点的直角坐标分别为（，），（，） 故直线 的直角坐标方程为 由参数方程可得 ，所以 ， ， 解得 ，（ 分） 以下为教师用书专用（） （ 安徽， 分）在极坐标系中，圆 上的点到 直线 （）距离的最大值是 答案 解析 圆 化为直角坐标方程为 ，即 （） ，直线 （） 化为直角坐标方程为 圆心（，）到直线 的距离 （ ） （） 又圆的半径为 ，则圆上的点到直线距离的最大值是 （ 上海， 分）如图，在极坐标系中，过点 （，）的 直线 与极轴的夹角 若将 的极坐标方程写成 （） 的形式，则 （） 答案 () 解析 解法一：由点斜式得直线的直角坐标方程为 （）由 ， 得 ， 即 () 解法二：设直线上任意一点 （，），在 中，由正弦定 理得 () ，即 () 评析 本题考查了直线的极坐标方程，极坐标方程与直角 坐标方程互化 （ 陕西， 分） （坐标系与参数方程选做题） 直线 与圆 相交的弦长为 答案 解析 将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为 ，（） 所求的弦长等于 () 评析 本题考查直线和圆的位置关系，将极坐标方程化为 直角坐标方程是关键 （ 安徽， 分）在极坐标系中，圆 的圆心到 直线 （）的距离是 答案 解析 由题意将极坐标方程转化为普通方程 圆 ：（） ，圆心 （，）直线 ： 故圆心 到直线 的距离 评析 本题考查了圆与直线的极坐标方程与普通方程的转 化，以及点到直线的距离公式，考查了学生的运算求解能力 （ 江苏， 分）选修 ：坐标系与参数方程 已知圆 的极坐标方程为 () ，求圆 的半径 解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，极 轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系 圆 的极坐标方程为 ， 化简，得 则圆 的直角坐标方程为 ， 即（） （），所以圆 的半径为 （ 辽宁， 分）选修 ：坐标系与参数方程 将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来 的 倍，得曲线 （）写出 的参数方程； （）设直线 ： 与 的交点为 ，以坐标原点为 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 的 中点且与 垂直的直线的极坐标方程 解析 （）设（，）为圆上的点，在已知变换下变为 上 第十七章 坐标系与参数方程 的点（，），依题意，得 ， ， 由 得 () ，即曲线 的方程为 故 的参数方程为 ， （ 为参数） （）由 ， 解得 ， 或 ， 不妨设 （，），（，），则线段 的中点坐标为 ， ()，所求直线斜率为 ，于是所求直线方程为 ()，化为极坐标方程，并整理得 ， 即 （ 辽宁， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ：（） （）在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写 出圆 ，的极坐标方程，并求出圆 ，的交点坐标 （用极坐标表示）； （）求圆 与 的公共弦的参数方程 解析 （）圆 的极坐标方程为 ， 圆 的极坐标方程为 解 ， 得 ， ， 故圆 与圆 交点的坐标为 ， ()， ， () （ 分） 注：极坐标系下点的表示不唯一 （）解法一：由 ， 得圆 与 交点的直角坐标分 别为（， ），（， ） 故圆 与 的公共弦的参数方程为 ， （ ） (或参数方程写成 ， （ ）)（ 分） 解法二：将 代入 ， ， 得 ，从而 于是圆 与 的公共弦的参数方程为 ， () （ 分） 评析 本题考查坐标系与参数方程，考查学生的运算求解 能力、转化与化归思想 考点二 参数方程 （ 北京， 分） 曲线 ， （ 为参数） 的对 称中心（ ） 在直线 上在直线 上 在直线 上在直线 上 答案 曲线 ， （ 为参数）的普通方程为（ ） （），该曲线为圆，圆心（，）为曲线的对称中心， 其在直线 上，故选 （ 湖北， 分）（选修 ：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系已知直线 的极坐标方程为 （ ） ，曲 线 的参数方程为 ， （ 为参数）， 与 相交于 ， 两 点，则 答案 解析 直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方 程为 由 ， 得 ，即 ， 则 （ 湖北， 分）选修 ：坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程是 ， （ 为参数），以坐标原点为 极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方 程是 ，则 与 交点的直角坐标为 答案 （ ，） 解析 曲线 为射线 （）曲线 为圆 设 为 与 的交点，如图，作 垂直 轴于点 因为 ，所以，又因为 ，所以 与 的交点 的直角坐标为（ ，） （ 重庆， 分）在直角坐标系 中，以原点 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为 的直线与曲线 ， （ 为参数）相交于 ， 两点，则 答案 解析 极坐标方程 的普通方程为 ， 代入 ， ， 得 ， 当 时，；当 时， 两个交点坐标分别为（，），（，）从而 （ 课标全国， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，圆 的方程为（） （）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程； （）直线 的参数方程是 ， （ 为参数）， 与 交于 ， 两点， ，求 的斜率 年高考年模拟 版（教师用书） 解析 （）由 ， 可得圆 的极坐标方程 （ 分） （）在（）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 （）（ 分） 设 ， 所对应的极径分别为 ，将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得 于是 ， （ 分） （ ） （ 分） 由 得 ， （ 分） 所以 的斜率为 或 （ 分） 方法总结 利用数形结合的思想方法及整体运算的技巧极 大地提高了解题效率 本题考查直线和圆的极坐标方程；极坐标的几何 意义的应用；利用方程的思想方法是求解的关键 （ 课标全国， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， （ 为 参数，）在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标 系中，曲线 ： （）说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程； （）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若 曲线 与 的公共点都在 上，求 解析 （）消去参数 得到 的普通方程 （） 是以（，）为圆心， 为半径的圆（ 分） 将 ， 代入 的普通方程中，得到 的极坐 标方程为 （ 分） （）曲线 ，的公共点的极坐标满足方程组 ， （ 分） 若 ，由方程组得 ，由 ， 可得 ，从而 ，解得 （舍 去），或 （ 分） 时，极点也为 ，的公共点，在 上（ 分） 所以 （ 分） 本题考查选修 中极坐标与参数方程的内容， 对极坐标的考查仍然集中在极坐标与直角坐标的相互转化， 同时，增加了对极坐标方程组的求解的考查，使学生增加了 对极坐标的认识参数方程部分，本题仅考查了“消参” 的 内容 （ 陕西， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ， （ 为参 数）以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 的 极坐标方程为 （）写出 的直角坐标方程； （） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标 解析 （）由 ，得 ， 从而有 ， 所以 （ ） （）设 ， ，又 （， ）， 则 () ， 故当 时，取得最小值， 此时， 点的直角坐标为（，） （ 课标， 分）选修 ：坐标系与参数方程 已知曲线 ： ，直线 ： ， （ 为参数） （）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求的最大值与最小值 解析 （）曲线 的参数方程为 ， （ 为参数） 直线 的普通方程为 （）曲线 上任意一点 （ ， ）到 的距离为 则 （）， 其中 为锐角，且 当 （） 时，取得最大值，最大值为 当 （） 时，取得最小值，最小值为 （ 江苏， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在 平 面 直 角 坐 标 系 中， 已 知 直 线 的 参 数 方 程 为 ， （ 为参数），直线 与抛物线 相交于 ， 两 点，求线段 的长 解析 将直线 的参数方程 ， 代入抛物线方程 ，得 ，解得 ， 所以 （ 课标全国， 分）选修 ：坐标系与参数方程 已知动点 ， 都在曲线 ： ， （ 为参数）上，对应参 数分别为 与 （）， 为 的中点 （）求 的轨迹的参数方程； （）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的 轨迹是否过坐标原点 解析 （） 依题意有 （ ， ）， （ ， ），因此 （ ， ） 的轨迹的参数方程为 ， （ 为参数，） （） 点到坐标原点的距离 （ 第十七章 坐标系与参数方程 ） 当 时，故 的轨迹过坐标原点 以下为教师用书专用（） （ 湖南， 分） 在直角坐标系 中，已知曲线 ： ， （ 为参数）与曲线 ： ， （ 为参数，） 有一个公共点在 轴上，则 答案 解析 把曲线 的参数方程化为普通方程为 ， 曲线 的普通方程为 ，直线 与 轴的交 点为 ， ()，即 评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系，把曲线的参数 方程化成普通方程是求解的关键 （ 福建，（）， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系已知点 的极坐标为， ()，直线 的 极坐标方程为 () ，且点 在直线 上 （）求 的值及直线 的直角坐标方程； （）圆 的参数方程为 ， （ 为参数），试判断直线 与圆 的位置关系 解析 （）由点 ， ()在直线 () 上，可得 所以直线 的方程可化为 ， 从而直线 的直角坐标方程为 （）由已知得圆 的直角坐标方程为（） ， 所以圆 的圆心为（，），半径 ， 因为圆心 到直线 的距离 ， 所以直线 与圆 相交 评析 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数 方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 （ 福建，（）， 分）选修 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系已知直线 上两点 ， 的极坐标分别为 （，）， ， ，圆 的参数方程为 ， （ 为 参数） （） 设 为线段 的中点，求直线 的平面直角坐标 方程； （）判断直线 与圆 的位置关系 解析 （） 由题意知， 的平面直角坐标分别为（， ）， 又 为线段 的中点， 从而点 的平面直角坐标为 ， ，故直线 的平面直角坐标方程为 （）因为直线 上两点 ， 的平面直角坐标分别为（，）， ， ，所以直线 的平面直角坐标方程为 又圆 的圆心坐标为（， ），半径 ， 圆心到直线 的距离 ，故直线 与 圆 相交 评析 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数 方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷） 一、坐标系与极坐标解答题 以极坐标系为背景，考查极 坐标系中的距离、参数、交 点、弦长的计算，要求能够 进行极坐标与直角坐标系 方程的相互转化 平面直角坐标系 伸缩变换； 极坐标的基本概 念，用极坐标刻画 极坐标系中点的 位置，与直角坐标 的相互转化； 能给出简单图形 的极坐标方程 课标， 分 二、参数方程解答题 利用消元法（代入消元、加 减消元、平方消元）及三角 恒等式，将参数方程与普通 方程相互转化，并结合直线 与圆锥曲线的参数方程进 行综合考查 参数方程及参数的 意义，直线、圆和圆 锥曲线的参数方程 课标全国 ，分 课标 ，分 课标全国 ，分 年高考年模拟 版（教师用书） 对应学生用书起始页码 坐标系与极坐标 （）极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做 极点 ；自极 点 引一条射线 ，叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个角 度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就 建立了一个极坐标系 设 是平面内一点，极点 与点 的距离 叫做点 的 极径 ，记为 ；以极轴 为始边，射线 为终边的 叫做点 的极角，记为 有序数对 （，） 叫做点 的极坐标， 记为 （，） 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ， 可取任意实数 （）直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点， 轴的正半轴作为极轴，并 在两种坐标系中取 相同 的长度单位设 是平面内任意一点， 它的直角坐标、极坐标分别为（，）和（，），则 ， ， ， （） （）直线的极坐标方程：若直线过点 （，），且与极轴所 成的角为 ，则它的方程为 （） （ ） 几个特殊位置的直线的极坐标方程： （）直线过极点：和 ； （）直线过点 （，）且垂直于极轴： ； （）直线过点 ， ()且平行于极轴： （）圆的极坐标方程：圆心为 （，），半径为 的圆的方 程为 （） 几个特殊位置的圆的极坐标方程： （）圆心位于极点，半径为 ： ； （）圆心位于 （，），半径为 ： ； （）圆心位于 ， ()，半径为 ： 参数方程 （）参数方程的意义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 ， 都是某个变数 的函数 （）， （）， 并且对于 的每一个允许 值，由上述方程组所确定的点 （，） 都在这条曲线上，则该方程 叫做这条曲线的参数方程，联系变数 ， 的变数 叫做参变数， 简称 参数 注意：相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程 （）常见曲线的参数方程的一般形式 （）经过点 （，），倾斜角为 的直线的参数方程为 ， （ 为参数）设 是直线上的任一点，则 表示有 向线段 的数量 （）圆的参数方程为 ， （ 为参数） （）圆锥曲线的参数方程 椭圆 （）的参数方程为 ， （ 为参数）， 双曲线 （，）的参数方程为 ， （ 为参数）， 抛物线 的参数方程为 ， （ 为参数） 注：曲线上任一点的坐标都可用一个参数表示，变元只有 一个特别对于圆、圆锥曲线有很大用处参数方程化为普通方 程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、三角恒等式 消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形无 论极坐标方程、参数方程还是普通方程，在进行互化时，一定要 注意变量的范围，要注意转化的等价性 对应学生用书起始页码 方法 极坐标方程及应用 求曲线的极坐标方程的一般步骤： 建立适当的极坐标系，设 （，）是曲线上任意 一点 由曲线上的点所适合的条件，列出 和 之间的 关系式 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极 坐标方程 证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程 的推导过程正确，化简过程都是同解变形，则这 一证明可以省略 （ 课标， 分）选修 ：坐标系与参数 方程 在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ：（） （ ） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 ，的极坐标方程； （）若直线 的极坐标方程为 （），设 与 的交点为 ，求 的面积 解析 （）因为 ， ，所以 的极坐标方 程为 ，的极坐标方程为 （ 分） （）将 代入 ，得 ，解得 ， ，故 ，即 由于 的半径为 ，所以 的面积为 （ 分） 规律总结 直角坐标（，）化为极坐标（，）的步骤： （）运用 ， （）； 第十七章 坐标系与参数方程 （）在，）内由 （）求 时，先由直角坐标 的符号特征判断点所在的象限和极角 的范围，再求 的值 直角坐标方程 把 ， 代入 构造 ， ， 的形式，整体代换 极坐标方程 （ 贵州遵义一模， 分）已知在一个极坐标 系中，点 的极坐标为 ， () （）求出以 为圆心， 为半径长的圆的极坐标方程（写出 解题过程）并画出图形； （）在极坐标系中，以圆 所在极坐标系的极点为原点，极 轴为 轴的正半轴建立直角坐标系，点 是圆 上任意一点， （， ）， 是线段 的中点，当点 在圆 上运动时，求点 的轨迹的普通方程 解析 （）如图，设圆 上任意一点 （，），则 或 由余弦定理得 () ， 圆 的极坐标方程为 () （）在直角坐标系中，点 的坐标为（， ），可设圆 上任 意一点 （ ， ）， 设 （，），由 （， ）， 是线段 的中点， 得 的参数方程为 ， ， （ 为参数） 点 的轨迹的普通方程为（） 方法 参数方程及应用