数学考点专项突破空间向量与空间角和距离一讲义pdf

空间向量、角和距离（一）空间向量、角和距离（一） 教 师：苗金利 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义 - 第 1 页 - 空间向量、角和距离（一）空间向量、角和距离（一） 内容提要：内容提要： 一、 空间向量一、 空间向量 空间向量在新课标中，应用于立体几何的角和距离有所加强。 1、相关定义 2、共线向量定理 3、共面向量定理 4、空间向量基本定理 5、空间两向量的夹角 6、向量的直角坐标运算 二、空间角和距离的计算二、空间角和距离的计算 1、角（线面角、二面角）的计算、角（线面角、二面角）的计算 sincos, AB n AB n ABn = = ? ? ? ? ? ? ? ? 12 12 12 coscos, nn nn nn = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2、点到面的距离计算、点到面的距离计算 PA n d n = ? ? ? ? - 第 2 页 - 例题分析例题分析 例例 1 （1）若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放在同一点，则这些向量的终 点构成的图形是_. （2）下列等式中，使 M、A、B、C 共面的有_. OMOAOBOC= ? ? ? ? 111 532 OMOAOBOC=+ ? ? ? ? 0MAMBMC+= ? ? 0OMOAOBOC+= ? ? ? ? （3）命题 S：ab= ? 是命题 R：ab= ? 的_条件. （4）若ab= ? 且非零向量, a b ? ? 不平行，则,ab+ ? ,ab ? 的夹角为_. 例例 2 矩形 ABCD 所在平面外一点 P，连接 PA、PB、PC、PD.求证：,PABPBCPCDPDA 的重心共面于，判定并证明面与平面 ABCD 的位置关系. 例例 3 四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是一个平行四边形，(2, 1, 4),(4,2,0),( 1,2, 1).ABADAP= = ? ? ? （1）求证：PA 底面 ABCD； （2）求四棱锥PABCD的体积； （3）对于向量 111 ( ,),ax y z= ? 222 (,),bxyz= ? 333 (,),cxy z= ? 定义一种运算： 123 ()abcx y z=+ ? ? 23 1 x y z 31 2 x y z 132 x y z 21 3 x y z 32 1 x y z - 第 3 页 - 试计算()ABADAP ? ? ? 的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运 算()ABADAP ? ? ? 的绝对值的几何意义. 例例 4 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点E是正方形 11 BCC B的中心， 点F、G分别是棱 111 ,C D AA的中点.设点 11 ,E G 分别是点E，G在平面 11 DCC D内的正投影. （1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面 11 DCC D内的正投 影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线 1 FG平面 1 FEE； （3）求异面直线 11 E GEA与所成角的正弦值. - 第 4 页 - 参参 考考 答答 案案 例 1、 （1）圆； （2）； （3）必要不充分； （4） 2 例2、 （1）E、F、G、C 四点共面 LFLELG=+ ? ? ? ? ()() ()() 22222 33333 22 33 LFPFPLPNPKKNKMKHKMKH PMPKPHPKLELG =+=+ =+=+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得证 （图见视频） （2）平行 证明： 2 3 PLPE PKPM = LEKM? LE?面ABCD 同理EF面ABCD 又LEEFE= 面ABCD 例3、 （1）证明：1 422( 1)00AP AD= + = ? ? ? 2( 1)( 1)2( 4)( 1)0AP AB= + + = ? ? ? ? APADAPAB 又ABADA= PA面ABCD （2）解： sin ABCD SABADAB AD= ? ? ? ? ? 又 63 cos 21 2 5105 AB AD AB AD AB AD = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 sin 35 AB AD = ? ? ? 32 2021 35 ABCD S= ? 1132 6202116 3335 P ABCDABCD VPA S = ? ? ? （3）( ) 22( 1)42( 4)( 1)( 4)24( 1)( 1)48AB ADAP= + = ? ? ? ? 是四棱锥体积的3倍 它的几何意义是以AB、AD、AP为过一个顶点的三条棱的平行六面体的体积 例4、解： （1）依题作点E、G在平面 11 DCC D内的正投影 1 E、 1 G，则 1 E、 1 G分别为 1 CC、 1 DD 的中点，连结EE1、 1 EG、ED、DE1，则所求为四棱锥 11FG DEE 的体积，其底面 11FG DE面 积为 111111 EDGRtFGERtFGDE SSS += 221 2 1 22 2 1 =+=， 又 1 EE面 11FG DE，1 1 =EE， 3 2 3 1 1 1111 = EESV FGDEFGDEE . （2） 以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴， 得) 1 , 2 , 0( 1 E、) 1 , 0 , 0( 1 G， 又) 1 , 0 , 2(G，)2 , 1 , 0(F，) 1 , 2 , 1 (E， 则) 1, 1, 0( 1 =FG，) 1, 1 , 1 (=FE，) 1, 1 , 0( 1 =FE， 01) 1(0 1 =+=FEFG，01) 1(0 11 =+=FEFG，即FEFG 1 ， 11 FEFG ， 又 1 FEFEF=，